Лекции
.pdfТитульный лист материалов по дисциплине
(заполняется по каждому виду учебного материала)
|
Теория вероятностей, математическая |
|
ДИСЦИПЛИНА |
статистика и случайные процессы |
|
|
(полное наименование дисциплины без сокращений) |
|
ИНСТИТУТ |
Кибербезопасности и цифровых технологий |
|
КАФЕДРА |
_______Высшей математики________ |
|
|
|
(полное наименование кафедры) |
ВИД УЧЕБНОГО |
_____Лекции_______ |
|
МАТЕРИАЛА |
|
(в соответствии с пп.1-11) |
|
|
Бессарабская Ирина Эдуардовна, |
|
|
Беклемишев Сергей Андреевич, |
|
|
Ветренко Екатерина Александровна, |
|
|
Головешкин Василий Адамович, |
ПРЕПОДАВАТЕЛИ |
Ляшенко Виктория Сергеевна |
|
|
|
(фамилия, имя, отчество) |
СЕМЕСТР |
|
____IV, 2023-2024_________ |
|
|
(указать семестр обучения, учебный год) |
Лекция 1.
Тема: Случайные события и операции над ними. Классическое, геометрическое и статистическое определение вероятности.
Элементы комбинаторики.
1.Случайные события и операции над ними
Втеории вероятностей все окружающие явления рассматриваются следующим образом: проводится опыт (испытание), в результате которого происходят случайные события.
Испытанием – называется действие (опыт, эксперимент, наблюдение), которое можно повторить, не изменяя его условий. Например, извлечение наудачу карты из колоды – испытание. Бросание наудачу игральной кости (монеты) – испытание.
Существенно, что испытания в приведенных примерах (как и все испытания в данном курсе) выполняются наудачу, т.е. субъективный фактор здесь предполагается исключенным.
Результат, исход испытания называется событием. Случайные события в теории
вероятностей обычно обозначают прописными латинскими буквами A, B, C и т.д. Например, пусть испытание – бросание игральной кости. Тогда событиями явля-
ются, например, A – число выпавших очков – четно, B – число выпавших очков – больше 4, C– на верхней грани игральной кости выпала “5”.
Наблюдаемые нами явления (события) можно подразделить на следующие виды: достоверные, невозможные и случайные.
Событие называется достоверным, если в результате данного испытания оно обязательно произойдет. Достоверное событие будем обозначать через Е . Такое событие определено однозначно для каждого вида испытания.
Пример. Пусть испытание – бросание игральной кости. Тогда Е 1,2,3,4,5,6(m 10) (m 0) ..., где m – число выпавших очков.
Событие называется невозможным, если в результате данного испытания оно никогда не произойдет. Невозможное событие будем обозначать символом . Это событие определено однозначно для каждого вида испытания.
Пример. Пусть измеряется рост наудачу взятого человека. Тогда = (значение роста – отрицательное число) = (рост – более 100 км)
Случайным называют событие, которое в результате данного испытания может как произойти, так и не произойти.
Мера возможности осуществления такого события и есть его вероятность. Два события называются совместными, если появление одного из них не ис-
ключает возможности появления другого.
Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает возможность появления другого.
Пример. Испытание – извлечение карты из колоды. Если событие
А – извлечена карта красной масти, событие В – извлечена карта черной масти, то А и В – несовместны.
Пример. Пусть по мишени производится 3 выстрела и m – число попаданий в
мишень. Тогда события, например, |
(m 3) |
и |
(m 1) |
– несовместны. |
||||||
|
|
|||||||||
События |
А |
, A |
2 |
,...,A |
k |
называются единственно возможными для некото- |
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
рого испытания, если в результате испытания хотя бы оно из них обязательно наступает.
Пример. Пусть испытание – бросание игральной кости.
A 1,2,3 , B 3,4,5,6 , C 3,4,5 . Тогда события А и В – единственно возможны (т.к. не существует такого исхода бросания игральной кости, при котором ни А, ни В не наступило). Напротив, А и С не являются единственно возможными (т.к. при выпадении “6” ни А, ни С не наступают).
Говорят, что события |
А |
, A |
2 |
,...,A |
k |
образуют полную систему (группу), |
|
1 |
|
|
|
||
если эти события попарно несовместимы и единственно возможны. |
||||||
Пример. Пусть испытание – |
|
бросание игральной кости. Тогда события |
||||
А1 1 , A 2 2 ,...,A6 6 образуют полную систему. |
||||||
Пример. Пусть по мишени производится 3 выстрела и m – число попаданий в |
||||||
мишень. Тогда события, например, (m 0), (1 m 2), (m 3) |
образуют полную |
систему. |
|
Заметим, что при заданном типе испытания полная система событий определена, вообще говоря, неоднозначно.
|
Событие |
А |
противоположно событию А, если оно несовместно с событием |
|||
|
|
|||||
А и вместе с ним образует достоверное событие. |
|
|||||
|
Пример. Пусть испытание – бросание монеты. Тогда события А – выпадение |
|||||
“орла” и В – выпадение “решки” являются взаимно противоположными ( В А ). |
|
|||||
|
Пример. Пусть по мишени производится 3 выстрела, и m – число попаданий |
|||||
в |
мишень. |
|
Тогда |
события, |
например, (m 2) (m 0 или m 1) |
и |
(m 2) (m 2 или m 3) |
– взаимно противоположны. |
|
||||
События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.
Операции над событиями
Суммой событий A и B называется событие нии, по крайней мере, одного из событий A или B .
Аналогично определяется сумма нескольких событий.
Пример 1. Производится два выстрела по мишени. Пусть А– попадание при первом выстреле, В– попадание при втором выстреле. Тогда событие А+В означает попадание либо при первом выстреле, либо при втором, либо при обоих выстрелах.
Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий. Очевидно, что если А и В – несовместные события, то АВ является невозможным событием.
Пример 2. Производится два выстрела по мишени, А– попадание при первом выстреле, В– попадание при втором выстреле. Тогда событие АВ означает попадание при обоих выстрелах.
2. Классическое определение вероятности
Пусть некоторое испытание имеет n исходов, причем эти исходы
попарно несовместимы; единственно возможны; равновозможны. Пусть наступлению события А благоприятствует m исходов из n.
Тогда вероятность Р (А ) наступления события А (в одном испытании) опре-
деляется по формуле:
Р( А)
m n
,
где m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А;
n – общее число возможных элементарных исходов испытания.
Пример. В урне 5 белых и 6 зеленых шаров. Случайным образом из урны извлекают шар. Какова вероятность, что он белый?
Решение: Обозначим событие А={извлечён белый шар }.
Всего в урне 11 шаров. Следовательно, данное испытание имеет 11 равновозможных элементарных исходов (n =11), из которых 5 благоприятствуют наступлению события А (m =5). Следовательно, вероятность:
Р(А) =
m n
5 11
.
Пример. Одновременно бросаются три монеты. Найти вероятность того, что на двух из них выпадет “орел”.
Решение. Для удобства будем предполагать, что монеты некоторым образом занумерованы. Единичным исходом здесь является совокупный результат по трем монетам (другими словами, для того, чтобы задать единичный исход, надо сказать, что выпало на первой монете, на второй и на третьей). Очевидно, что общее число n исходов равно 8. Число m благоприятствующих исходов равно 3 – это исходы
«орел, орел, решка», «орел, решка, орел», «решка, орел, орел». Тогда |
Р (А ) |
m |
|
3 |
|
n |
8 |
||||
|
|
||||
|
|
|
.
Необходимо обратить внимание на то, что решение задач на классическое определение вероятности следует начинать с описания пространства элементарных исходов и выяснения того, что является в данной задаче испытанием, а что – результатом испытания (элементарным исходом).
Свойства вероятности
1.Вероятность достоверного события равна единице:
Р(А) = mn nn 1, (при m=n).
2.Вероятность невозможного события равна нулю:
Р (А) =
m |
|
0 |
|
n |
n |
||
|
0
, (при m=0).
3.Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей: 0 < P(A) <1.
4.Вероятность любого события удовлетворяет неравенству: 0 ≤ P(A) ≤ 1.
3. Статистическое определение вероятности
Пусть проведено N испытаний, в которых некоторое событие A наступает
N A |
раз. Тогда отношение |
N A |
называется частостью (долей) наступления собы- |
N
тия A в N испытаниях.
Пусть условия проведения некоторого испытания можно в точности воспроизвести неограниченное число раз. Тогда вероятностью Р (A ) наступления события A (в одном испытании) называется такое число, около которого группируются зна-
чения частости |
N A |
при неограниченном увеличении числа испытаний N . |
||||
N |
||||||
|
|
|
|
|
||
Символически это определение можно записать в виде |
||||||
|
|
P (A ) lim |
N |
A |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
N |
|
|||
|
|
N |
|
|
||
Отметим практическое следствие данного определения: если нас интересует значение вероятности наступления некоторого события А , то производят достаточно большое число испытаний N, по их результатам определяют значение частости
N A N
и затем полагают
P (A ) |
N |
A |
. |
|
|||
N |
|
||
|
|
|
Пример. По цели произвели 25 выстрелов, причем было зарегистрировано 20 попаданий. Найти относительную частоту попаданий в цель.
Решение: Относительная частота поражения цели W(A)
20 |
|
|
25 |
||
|
4 5
.
4. Геометрическое определение вероятности
Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрическую вероятность, понятие которой состоит в следующем: пусть в область G бросается наудачу точка. Выражение «бросается наудачу» понимается в том смысле, что брошенная точка может попасть в любую точку области G, вероятность попасть в какую-либо часть области G пропорциональна мере этой части (длине, площади, объему) и не зависит от ее расположения и формы. Требуется определить вероятность попадания данной точки в область g. Таким образом, если g – часть области G, А – событие, заключающееся в попадании брошенной точки в область g, то вероятность этого события определяется формулой:
mes g Р( А) mes G ,
где mes g – мера области g, mes G – мера области G.
Пример. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно большого круга.
Решение: Площадь кольца (фигуры g)
Sg (102 52 ) 75 .
Площадь большого круга (фигуры G)
S |
G |
|
10 |
2 |
|
100
.
Искомая вероятность
P 75 /(100 )
0,75
.
5. Элементы комбинаторики.
Комбинаторика – область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству.
Пусть есть некоторое множество из n элементов. Из этого множества можно образовать различные подмножества, то есть выборки, каждая из которых содержит m элементов (0 ≤ m ≤ n). Различают упорядоченные выборки (размещения), перестановки и неупорядоченные выборки (сочетания).
Размещения
Размещениями из n различных элементов по m элементов называют выборки, содержащие m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.
Число размещений из n элементов по m элементов обозначают формуле:
m |
n(n 1)(n 2)...(n m 1) |
n! |
A |
|
|
n |
|
(n - m)! |
|
|
A |
m |
|
|
n |
|
вычисляют по
Пример 1. В однокруговом турнире по футболу участвуют 8 команд. Сколько существует вариантов призовой тройки?
Решение:Так как порядок команд в призовой тройке важен, то мы имеем дело с размещениями. Тогда
A3 8
8! |
|
|
(8 3)! |
||
|
8! |
6 |
7 |
8 |
336 |
|
5! |
|||||
|
|
|
|
(вариантов).
Пример 2. Сколькими способами можно выбрать три лица на три различные должности из десяти кандидатов?
Решение: A103 |
10! |
|
|
10! |
8 9 10 720 (способов). |
||
|
|
|
|
|
|||
(10 3)! |
7! |
|
|||||
|
|
|
|
||||
Пример 3. Сколько можно составить телефонных номеров из 5 цифр так, чтобы в каждом отдельно взятом номере все цифры были различными?
Решение:
A 5 10
10! |
|
10! |
6 |
7 |
8 9 10 |
30240 |
|
(10 5)! |
5! |
||||||
|
|
|
|
|
(телефонных номеров).
Перестановки
Перестановками называют выборки, состоящие из n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.
Число всех возможных перестановок из n элементов обозначают Pn вычисляют по формуле:
|
n |
n(n 1)(n 2) ... 3 2 1 n! |
P A |
||
n |
n |
|
Пример 4. В финальном забеге на 100 метров участвуют 8 спортсменов. Сколько существует вариантов протокола забега?
Решение: В данном случае речь идёт обо всех перестановках из 8 элементов.
Тогда
P 8
8! 1 2 3 4 5 6 7 8
40320
(вариантов)
Пример 5. Сколькими различными способами могут разместиться на скамейке10 человек?
Решение:
Р10
10! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3628800
(способов)
Пример 6. Сколькими способами можно разместить 7 лиц за столом, на котором поставлено 7 столовых приборов?
Решение: P7 7! 1 2 3 4 5 6 7 5040 (способов).
Сочетания
Сочетаниями n из различных элементов по m элементов называют выборки, которые отличаются хотя бы одним элементом.
Число сочетаний вычисляют по формуле: |
C |
m |
|
n! |
. |
|
|
|
|||
|
n |
|
m!(n m)! |
||
|
|
|
|
|
Пример 7. Сколькими способами можно выбрать три лица на три одинаковые должности из десяти кандидатов?
Решение: |
C |
3 |
|
10! |
|
8 9 10 |
120 |
(способов). |
|
|
|||||||
|
|
|
||||||
10 |
|
3! 7! |
|
1 2 3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 8. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 7 членов, можно образовать из 14 преподавателей?
Решение. С147 |
14! |
|
|
8 9 10 11 12 13 14 |
3432 |
(экзаменационных комиссий). |
|
7! 7! |
1 2 3 4 5 6 7 |
||||||
|
|
|
|
||||
Пример 9. Сколькими способами можно выбрать три детали из ящика, содержащего 15 деталей?
Решение: C153 |
15! |
|
|
13 14 15 |
455 |
(способов). |
|
3! 12! |
1 2 3 |
||||||
|
|
|
|
||||
Справедливы формулы:
|
|
|
|
|
|
m |
|
A |
C |
m |
P C |
m |
|
A |
|
n |
|||||||
m |
|
|
|
||||
n |
|
n |
m |
n |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
m |
|
Свойства числа сочетаний: |
|||||||
1) |
С |
o |
1 |
|
|
|
|
|
|||
C |
n |
n |
|
||
2) |
1 |
|
|||
|
|
|
|||
C |
n |
C |
|
||
3) |
m |
n m |
|||
|
|
||||
|
n |
|
n |
4) |
C |
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
C |
n |
C |
|
C |
|
||
5) |
m |
m 1 |
m 1 |
||||
|
|
|
|||||
|
n |
|
n |
|
n 1 |
.
При решении задач комбинаторики используют следующие правила: Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов n способами, а другой объект В – k способами, то объект «либо А, либо В» можно выбрать n+k способами.
Правило произведения. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов n способами и после каждого такого выбора другой объект В – k способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана n k способами.
Формулы комбинаторики используются при решении задач на классическое определение вероятности.
Пример. Среди 100 электроламп 5 испорченных. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 лампы окажутся исправными?
Решение: Три лампы из ста можно выбрать
С |
3 |
|
|
100 |
|
способами. Лампы выбираются
наудачу. Это означает, что все эти способы выбора (все исходы) равновероятны. Число благоприятных исходов (все три лампы оказались исправными) подсчитыва-
ется аналогично. Из 95 исправных ламп 3 лампы можно выбрать
С |
3 |
|
95 |
||
|
способами.
Тогда
|
|
|
|
|
95! |
|
|
|
|
|
С |
3 |
|
3! 92! |
|
93 94 95 |
|
||
P( A) |
|
|
|
0,856. |
|||||
|
95 |
|
|||||||
С |
3 |
100! |
98 99 100 |
||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
100 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
3! 97! |
|
|
|
|
В общем случае вероятность получить выборку объёма k+r, где k элементов принадлежат одной группе, состоящей из n элементов, а r – другой, состоящей из m элементов, определяется формулой:
|
С |
r |
С |
k |
|
|
|
||
Р( А) |
|
m |
|
n |
С |
r k |
|
||
|
|
|||
|
m n |
|
||
|
|
|
|
|
.
Пример. В партии из 50 изделий 5 бракованных. Из партии выбираются наугад 6 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 6 изделий 2 окажутся бракованными.
Решение: Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 50, то есть числу сочетаний из 50
элементов по 6 (
C |
6 |
|
50 |
||
|
). Определим число исходов, благоприятствующих интересую-
щему нас событию А (среди 6 изделий 2 бракованных). Бракованные изделия могут
быть выбраны |
С |
2 |
различными способами, а хорошие - |
С |
4 |
|
|
|
|||
|
5 |
|
45 |
ципу умножения число всех наборов изделий, входящих
C |
2 |
C |
4 |
, откуда |
|
|
|||
|
5 |
|
45 |
способами. По прин- в событие А, равно
Р (А) =
С |
2 |
С |
4 |
|
10 |
148995 |
|
|
|
45 |
|
|
|||||
5 |
|
|
|
|
|
0, 0938 |
||
|
С |
6 |
|
15890700 |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
C |
2 |
|
5! |
|
4 5 |
10; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
5 |
|
2! 3! |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
С |
4 |
|
45! |
|
|
42 43 44 45 |
148995; |
||
|
|
|
|
||||||
45 |
4! 41! |
|
1 2 3 4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
С |
6 |
|
50! |
|
|
45 46 47 48 49 50 |
15890700. |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
50 |
|
6! 44! |
|
|
1 2 3 4 5 6 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
Пример. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры, и помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
Решение: Обозначим через А событие – набраны две нужные цифры.
Всего можно набрать столько различных цифр, сколько может быть составлено раз-
мещений из десяти цифр по две, то есть А102 .
Общее число возможных элементарных исходов равно А102 108!! 9 10 90 .
Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию А лишь один исход.
Следовательно, искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:
Р( А) 1 1 .
А102 90
Пример. В магазине было куплено 5 томов произведений известного писателя. Книги случайным образом расставили на полке. Какова вероятность того, что книги расставлены строго по возрастанию номера тома?
Решение:
Р( А) |
1 |
|
Р |
||
|
||
|
5 |
|
1 |
|
1 |
|
5! |
120 |
|||
|
|
0, 008
.
Лекция 2.
Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
1. Теоремы сложения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р (А+В)=Р (А)+Р (В)
Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А А |
... А ) P(A ) P(A ) ... P(A ). |
||||
1 |
2 |
n |
1 |
2 |
n |
|
|
Теорема сложения вероятностей совместных событий |
|||
|
Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих |
||||
событий без вероятности их совместного появления: |
|||||
|
|
|
Р (А+В)=Р (А)+Р (В) – Р (АВ). |
||
|
Следствие. Пусть |
события |
А1, А 2 |
,...,А k образуют полную систему, тогда |
|
сумма их вероятностей равна 1 т.е. |
|
|
|||
А А
1 1
|
|
|
|
|
|
|
Р (А |
1 |
) Р (А |
2 |
) ... Р (А |
k |
) 1. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Доказательство. Из определения полной |
системы |
следует, что |
||||||||||||||||
, А |
2 |
,...,А |
k , |
в |
частности, |
являются единственно возможными, |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
А |
2 |
... А |
k |
E |
. Тогда |
Р (А |
1 |
А |
2 |
... А |
k |
) Р (Е ). |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Вероятность достоверного события равна 1. События |
А1, А 2 ,...,А k , |
|||||||||||||||||
события
поэтому
в частно-
сти, являются попарно несовместными. Тогда из теоремы сложения вероятностей для несовместных событий следует требуемое утверждение.
Данное следствие при k 2 |
представляет важное свойство противоположных собы- |
тий: сумма вероятностей |
взаимно противоположных событий равна 1, т.е. |
тия
Р (А ) Р (А ) 1.
При решении задач часто вычисляется вероятность противоположного собы-
__ А , а затем находят вероятность прямого события А по формуле:
__
Р(А) = 1– Р ( А ).
Пример 1. В урне 10 белых, 15 зеленых, 20 синих и 25 красных шаров. Наудачу извлекают один шар. Какова вероятность, что извлеченный шар: а) белый; б) синий или красный; в) белый, зеленый или синий?
Решение: По условию n=10+15+20+25=70, то есть всего в урне 70 шаров. Обозначим события: Б={ извлечен белый шар };
К={ извлечен красный шар }; С={ извлечен синий шар }; З={ извлечен зеленый шар }.
10 |
|
1 |
|
|
а) Вероятность того, что извлечен белый шар: Р(Б) = |
|
|
. |
|
70 |
7 |
|||