Добавил:

MrNswgsw Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Физика

Файл:

Колебания.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.03.2025

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

ВВЕДЕНИЕ

Колебания – процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. Колебания свойственны многим явлениям природы: высокая степень периодичности вращения планет вокруг Солнца и связанная с этим смена времён года; вращение Земли вокруг своей оси и связанные с этим колебания освещенности днём и ночью; движение Луны вокруг Земли, вызывающее приливы и отливы на океанском побережье.

В колебательных процессах различной природы обнаруживаются закономерности, которые описываются общими математическими методами. Поэтому результаты, полученные при исследовании колебаний и волн в механике, могут быть перенесены в оптику или радиотехнику.

Из множества видов периодических процессов в физике выделяют механические и электромагнитные колебания, играющие большую роль в технике и в жизнедеятельности человека. Ниже будут рассмотрены наиболее важные с технической точки зрения свободные и вынужденные колебания в механической системе и в электрическом контуре.

1. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ

1.1.Общие понятия и определения

Колебания называются периодическими, если значения физических величин, характеризующих механическое состояние системы, повторяются через равные промежутки времени. Напомним, что под механическим состоянием системы следует понимать совокупность координат и скоростей тел, входящих в систему [1]. Таким образом, повторение состояния материальной точки, совершающей колебания, это не только повторение той же самой величины отклонения от положения равновесия, но и повторение величины и направления её скорости.

На рис.1 показаны три простейшие системы, в которых можно наблюдать механические колебания: тело на пружине, совершающее колебания в вертикальном направлении, классический маятник и шарик, катающийся по вогнутой поверхности. Общее во всех трёх случаях – наличие силы, направленной к положению равновесия системы. В первом случае это результирующая сил тяжести и упругости. Во втором случае это результирующая сил натяжения нити и тяжести. В третьем случае - результирующая сил реакции опоры и тяжести, также направленная к положению равновесия. В последних двух случаях результирующие силы,

аналогичные по действию с упругой силой, называют квазиупругими силами.

Таким образом, наличие в системе упругой или квазиупругой силы, направленной к положению равновесия, следует считать необходимым условием для свободных колебаний в данной системе.

Периодом колебаний T называется минимальное время, через которое состояние системы повторяется.

Частотой колебаний называется величина

1 T

(1.1) которая равна числу полных колебаний

за единицу времени.

Наиболее важными являются гармонические колебания, для которых величина, характеризующая их, например отклонение материальной точки от положения равновесия x (t), изменяется во времени по законам синуса

или косинуса. В этом случае скорость материальной точки dx dt x и её ускорение d 2 x dt 2 x будут также изменяться по гармоническому закону.

На практике колебания часто бывают гармоническими или могут быть представлены как результат суперпозиции нескольких или бесконечного числа гармонических колебаний.

1.2. Свободные колебания без затухания в механической системе

Свободными называются колебания, возникающие в системе, предоставленной самой себе после некоторого внешнего воздействия, выведшего систему из состояния устойчивого равновесия.

На рис.2 показана такая система, состоящая из шарика массой m и горизонтально расположенной пружи-

ны жесткостью	k , прикрепленной	к
неподвижной стене. Пусть x – смеще-
ние центра инерции шарика от
положения равновесия. Выведенный		из положения равновесия (x 0) в
		5

результате сжатия пружины

или её растяжения

(x 0)

шарик будет

совершать колебания в горизонтальной плоскости.

Пусть масса пружины пренебрежимо мала по сравнению с массой шарика. Если считать силу трения равной нулю, то по 2-му закону Ньютона ускорение шарика равно:

где

am1 (P N Fупр ) ,

-сила тяжести шарика; N - сила реакции опоры;

(1.2)

Fупр

- сила

упругости.

Сила упругости направлена к положению равновесия и при небольших деформациях пружины пропорциональна смещению r шарика от положения равновесия:

F	kr
упр

;

(F	)	x	kx
упр		x

Проецируя (1.2) на ось x, и			обозначая
(a)x	x , получим уравнение второго закона
	x	1	(0 0 kx)

	m

проекцию вектора ускорения Ньютона для шарика в виде:

		k	x
		m

Коэффициент

- положительное число. Введём обозначение

k		2	.
	m	ω	.
	m	0
		0

(1.3)

Таким образом, получаем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

x ω2 x 0

(1.4)

В физике систему, описываемую уравнением (1.4), называют гармоническим осциллятором. Нетрудно убедиться, что решение уравнения (1.4) имеет вид гармонического колебания:

x a0 cos(ω0t φ0 ) ,			(1.5)
где a0	и	φ0	- постоянные

величины. Их определяются воздействием при системы из равновесия. Величина

значения

начальным

выведении

положения

, равная

максимальному значению отклонения от положения равновесия, называется амплитудой колебаний (рис. 3). Величина

φ ω0t φ0

(1.6)

называется	фазой колебаний, φ0	- начальная фаза колебаний, т.е.	фаза
колебаний	в момент времени	t 0 . Таким образом, начальная	фаза

колебаний зависит от выбора начала отсчета времени. Величина, равная скорости изменения фазы, называется циклической или круговой частотой:

	0		d	(1.7)
			dt

Так как фаза линейно зависит от времени, то
	d	.

	dt	t

Изменению фазы 2 соответствует промежуток времени, равный периоду колебаний t T0 . Следовательно,

0	2	.				(1.8)
0	T	.				(1.8)
	T
	0
Учитывая формулу (1.1), получаем связь циклической частоты						с частотой
колебаний.
0 2 0						(1.9)
Из формул (1.8) и (1.3) находим
T0	2		2	m	.	(1.10)
T0			2	k	.	(1.10)
				k
	0

Период колебаний шарика тем меньше (а частота, соответственно, тем больше), чем меньше его масса и чем больше коэффициент упругости пружины.

Из формул (1.8) – (1.10) следует, что период колебаний, частота и циклическая частота являются характеристиками системы, так как определяются её параметрами: массой шарика и коэффициентом жесткости пружины. Поэтому характеристики T0 , ν0 ,ω0 называются собственным пе-

риодом, собственной частотой и собственной циклической частотой соответственно.

На рис.4 приведены графики зависимости от времени отклонения от

положения					равновесия								x(t) ,			скорости
шарика		x(t)			,	его потенциальной Wпот. (t)
и кинетической Wкин. (t) энергии:
x a0 cos(ω0t φ0 )											;
x(t) dx		dt		a ω sin(ω t φ ) ;
		dt					0			0		0		0
							0			0		0		0
W	(t) k		x2				1		ka2 cos2				(ω	t φ				) ;
W	(t) k								ka2 cos2				(ω	t φ			0	) ;
пот.				2			2				0		0				0
				2			2
W	(t) m			x2				1		ma2ω2 sin2				(ω		t φ				) .
W	(t) m									ma2ω2 sin2				(ω		t φ			0	) .
кин.				2			2				0	0			0				0
				2			2

За начало отсчета времени

(t 0)

взят момент прохождения шариком

положе-ния равновесия при его движении впра-во в сторону увеличения деформации растяжения пружины. Таким образом, начальная фаза

колебаний на	рис.4: 0	2 . Из	графиков	также следует, что при
прохождении	положения	равновесия	(x 0)	скорость шарика и его

кинетическая энергия максимальны, а потенциальная энергия равна нулю.

Когда отклонение шарика максимально

( x a0 ) , его скорость и

кинетическая энергия становятся равными нулю, а потенциальная энергия достигает наибольшего значения.

Полная энергия шарика складывается из потенциальной и кинетической. В рассматриваемой системе на шарик действуют только консервативные силы. Поэтому для гармонических колебаний выполняется закон сохранения полной механической энергии [1] . Полная механическая энергия, равная максимальным значениям потенциальной и кинетической энергии, постоянна:

W	W	(t) W	(t)	1	ka	2	1	2	ω	2	const.
								ma
полн	пот	кин		2	0		2	0	0

(1.11)

1.3. Свободные колебания без затухания математического маятника

Математический маятник – система, состоящая из невесомой


нерастяжимой нити длиной l	и подвешеного			к ней тела массой m ,
линейными		размерами			которого		можно
пренебречь по сравнению с длиной нити (рис.5).
	Отклоним		маятник		от	положения
равновесия		на угол		(рис.5) и отпустим его.
Тогда под действием квазиупругой силы,
результирующей силы				натяжения нити и силы
тяжести, маятник начнет движение к положению
равновесия		0 .	Под действием момента сил
движение тела будет происходить по дуге
окружности		радиуса		l . Согласно		основному
уравнению		динамики		вращательного			движения

угловое ускорение материальной точки равно:

В (1.12)

ε	M	Z		.	(1.12)
		Z	I
			I	Z
				Z
M Z	- момент сил,				действующих на

материальную точку, относительно оси			Z ,
перпендикулярной	плоскости	рисунка	и

проходящей через точку подвеса маятника; IZ - момент инерции

материальной точки относительно оси Z:

IZ	ml	2	.

Момент силы натяжения нити относительно оси силы тяжести:

M Z

mgl sin .

(1.13)

равен нулю. Момент

(1.14)

На рис.5 при движении маятника слева направо вектор элементарного углового перемещения dφ направлен к нам перпендикулярно плоскости

рисунка [1] и соответствует уменьшению угла отклонения маятника от положения равновесия ( ):

dφ d .

Угловое ускорение равно второй производной угла поворота φ [1] по времени:

ε φ

(1.15)

Подстановка формул (1.13) – (1.15) уравнению:

		g
		l
		l

в 1.12 приводит к дифференциальному

sin 0 .

В случае малых отклонений математического маятника от положения равновесия sin . Вводя обозначение

g	2	,
l	ω0	,
l

получаем уравнение гармонического осциллятора (1.4):

02 0 .

(1.16)

Таким образом, при малых отклонениях математического маятника от положения равновесия его колебания происходят по гармоническому закону (1.5). Период колебаний согласно (1.16) будет равен:

	2π
T0	2π	2	l	.	(1.17)
T0		2	l	.	(1.17)
	ω0		g
	ω0

1.4. Свободные колебания без затухания физического маятника

Абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести относительно неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр инерции, называется физическим маятником [1]. На рис.6 изображён физический маятник, центр инерции которого находится в точке C . Расстояние от центра инерции до оси вращения равно l . Ось вращения Z направлена на наблюдателя. Если маятник отклонить от положения равновесия на угол (рис.6) и отпустить, он под действием квазиупругой силы начнет двигаться к положению равновесия ( 0) .

Траектория движения центра инерции - дуга Момент силы тяжести

M	Z

окружности радиуса относительно оси Z :

mgl sin .

Согласно основному вращательного движения центра инерции равно:

ε	M		Z	mgl sin
ε

	I	Z		I	Z
		Z			Z

уравнению динамики угловое ускорение

	,	(1.18)

где	IZ -	момент	инерции твердого тела
относительно оси			Z . Подстановка формулы
(1.15)	в (1.18) приводит к дифференциальному
уравнению:

В случае маятника

Вводя обозначение

mgl		ω
		2
I		0
I	Z
	Z

		mgl		sin 0 .
		I		sin 0 .
		I	Z
			Z
	малых отклонений физического
от	положения равновесия				sin .
,					(1.19)

получаем уравнение гармонического осциллятора (1.4):

Таким образом, при малых отклонениях физического маятника от положения равновесия его колебания происходят по гармоническому закону (1.5). При этом период колебаний согласно (1.19) будет равен:

T	2π		2π	I	Z
T			2π		Z	mgl
0	ω					mgl
0
		0
		0

(1.20)

Из сравнения формул (1.20) для периода колебаний физического маятника и (1.17) для периода колебаний математического маятника видно, что

математический маятник с длиной

l	I	Z
			ml
пр.

будет иметь такой же

период колебаний, как рассматриваемый физический маятник. Величина называется приведённой длиной физического маятника, и формулу (1.20) записывают в следующем виде:

T0 2π 2π lпр. g

ω0

1.5. Свободные колебания с затуханием в механической системе. Апериодический процесс

Во	всякой	реальной
колебательной	системе	всегда
присутствуют	неконсервативные

силы - силы трения, действие которых приводит к уменьшению полной механической энергии системы. В случае свободных колебаний, когда убыль энергии не восполняется за счет внешнего источника, происходит

затухание колебаний.
В	отличие	от	ранее

рассмотренной модели, состоящей из шарика расположенной пружины жесткостью k (см.

массой рис.2),

и горизонтально модели на рис.7

учитывается наличие силы трения

Fтр

направление которой

противоположно направлению вектора скорости шарика .
На рис.7 используются ранее	введённые (рис.2) обозначения:	x –
смещение центра инерции шарика	от положения равновесия; x 0	–
соответствует деформации сжатия, а	x 0 – деформации растяжения пру-

жины. Выведенный из положения равновесия, шарик будет совершать свободные колебания в горизонтальной плоскости.

Ограничимся рассмотрением небольших отклонений от положения равновесия и небольшой скоростью движения шарика, когда величину силы трения с хорошей степенью точности можно считать пропорциональной величине скорости:

где

F	μ ,
тр

- коэффициент трения (сопротивления).

(1.21)

Пренебрегая массой пружины по сравнению с массой шарика, с учётом всех сил, действующих в нашей модели, запишем уравнение 2-ого закона Ньютона:

a	1	(P N F	F ) ,	(1.22)

	m	упр	тр

где P - сила тяжести шарика;		N - сила реакции опоры;		Fупр kr - сила

упругости; Fтр μ - сила трения.

Проецируя (1.22) на ось
(Fтр )x μ( )x μx ,	получим
шарика в виде:
		x	1
		x	m
			m
Введём обозначения:	k		2	,
Введём обозначения:	m	ω0		,
	m

образом:

x , и учитывая, что	(a)	x	x ,	(F	)	x	kx ,
		x		упр		x

уравнение второго закона Ньютона для

(0 0 kx μx) .			(1.23)
μ	2α .	Перепишем (1.23)	следующим
m

x 2αx ω2 x 0.	(1.24)
0

Полученное уравнение представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Если сопротивлением среды (трением) можно

пренебречь, то

μ 0, α 0

и уравнение (1.24) переходит в уравнение

гармонического осциллятора (1.4).

Решение уравнения (1.24) будем искать в виде колебательного процесса с амплитудой колебаний, изменяющейся во времени:

x(t) a(t) cos(ωt φ0 ) ,

(1.25)

где

a(t), ω, φ	0

- величины, которые необходимо определить. Запишем

выражения для первой x(t) и второй x(t) a cos(ωt φ0 ) aωsin(ωt φ0 ) ;

x(t)

производных по времени:

x(t) a cos(ωt

φ	) 2aωsin(ωt
0

φ	) aω	2	cos(ωt

0

φ	)
0

После подстановки полученных выражений в (1.24) и группировки членов получаем:

a 2 a (ω
	2
	0

ω2 )a cos(ωt

φ	) 2ω a αa sin(ωt
0

φ	)
0

Т.к. синус и косинус выражения, стоящие в образом, получаем два

не могут одновременно быть равными нулю, то квадратных скобках, должны равняться нулю. Таким уравнения:

1. a 2αa (ω	2	2	)a 0;
1. a 2αa (ω	0	ω	)a 0;
	0
2. a αa 0 .
Второе уравнение можно переписать:
			da	αdt .
			a	αdt .
			a
После интегрирования получаем:
			ln a αt const.

Константу интегрирования представляют в виде ln a0 , где a0 - любое

вещественное число, смысл которого будет выяснен ниже. Потенцируя, получим для величины a(t) следующее выражение:

a(t) a e αt .	(1.26)
0

Подстановка

a(t) ,

a a0αe

αt

щение

на

величину a0e

αt

приводит

уравнению

для

определения

ω :

2α

(ω

ω ) 0

Отсюда:

(1.27)

ω0

Таким

образом,

если

α ω0 ,

вещественная

величина,

решение

дифференциального

уравнения

(1.24) имеет вид:

x(t) a0e

αt

cos(ωt φ0 )

(1.28)

при любых значениях

φ0 .

a α	e	αt
2		αt
0

в первое уравнение и сокра-

График функции (1.28) приведён на рис.8.

Пунктирная кривая представляет собой зависимость амплитуды колебаний

a(t) a e	αt
a(t) a e
0

от времени (1.26). Из этой зависимости следует, что быстрота затухания

колебаний в системе определяется величиной

стоящей в

показателе экспоненты и, таким образом, зависит от наличия диссипативных сил, действующих в системе. Эта величина является характеристикой колебательной системы и называется коэффициентом затухания. Формулу (1.26) для амплитуды можно представить в виде:


a(t) a0e	t	,	(1.29)

где величина называется временем релаксации и связана с
коэффициентом затухания соотношением
1			(1.30)

Из формулы (1.29) видно, что за время, равное времени релаксации, амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Как видно из выражения (1.28) x(t 0) x0 a0 cos φ0 , где

0 -

начальная фаза колебаний, величина которой определяется моментом начала отсчета времени. Постоянные a0 и 0 не являются

характеристиками колебательной системы, а определяются начальными условиями.

Период затухающих колебаний вычисляется по формуле:

T	2π	2π
T	ω	ω	2	α	2
	ω	ω		α

			0

(1.31)

Рост силы сопротивления в системе приводит к возрастанию коэффициента затухания α и согласно (1.27) уменьшению частоты колебаний ω , а согласно (1.31) к увеличению периода колебаний Т .

Величина, показывающая, во сколько раз амплитуда колебаний уменьшается за время, равное периоду колебаний, называется декрементом затухания:

a a(t а величина

(t)	e	αT	,


T )
ln	a(t)		αT

	a(t T )

(1.32)

(1.33)

называется логарифмическим декрементом затухания.

С учетом формулы (1.30) можем написать

т.е. логарифмический числу колебаний Ne

T	1	,	(1.34)
	N	,	(1.34)
	N
	e

коэффициент затухания – это величина обратнаяT , в течение которых амплитуда убывает в е раз.

Для характеристики колебательной системы используется понятие добротности Q , которая обратно пропорциональна логарифмическому декременту затухания:

Увеличение силы срыву колебаний. Если

	Q π		.					(1.35)
		λ
трения (сопротивления) в системе								приводит к
α ω0	, из (1.27) следует,			что	ω 0 ,			и согласно
	(1.28)		в	системе				происходит
	апериодический процесс:
		x(t) a e αt cosφ				0	.	(1.36)
			0			0
	Если	α ω0 из (1.27)			следует, что ω -
	комплексное число и решение уравнения
	(1.24) будет иметь другой вид, отличный
	от (1.28). На рис.9 показаны два варианта
	для	зависимости				x(t) возвращения

системы к положению равновесия. Кривая 1 соответствует апериодическому

процессу, описываемому формулой (1.36). Кривая 2 соответствует процессу, когда системе, выведенной из положения равновесия, сообщают некоторую начальную скорость, так что она имеет достаточный запас энергии для прохождения положения равновесия.

2. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ

2.1Физические основы генерации свободных колебаний

вэлектрическом контуре

Рассмотрим	электрическую			цепь
(рис.10), состоящую из последовательно
соединенных элементов:			конденсатора
емкостью C , катушки индуктивностью					L и
сопротивления	R .	В	положении
переключателя «1» конденсатор заряжается
от источника постоянного		напряжения			U0 .
При этом на обкладках конденсатора
появляются заряды, равные по величине и противоположные по знаку:
		q	q	q	U C
				0	0
В конденсаторе	накапливается энергия				электрического поля	2	[2].
В конденсаторе	накапливается энергия				электрического поля	0,5CU0	[2].

После перевода ключа в положение «2» начинается разряд конденсатора через катушку индуктивности и сопротивление.

Из-за явления самоиндукции нарастание силы тока в цепи происходит постепенно. Уменьшение энергии электрического поля в конденсаторе сопровождается увеличением энергии магнитного поля

0,5LI 2 [3], обусловленного током, текущим через катушку индуктивности. При полном разряде конденсатора ток через катушку индуктивности,

благодаря явлению самоиндукции [3], не прекратится. Начнется процесс перезарядки обкладок конденсатора, и сила тока будет уменьшаться. После полной перезарядки конденсатора сила тока в цепи станет равной нулю, и начнется возрастание силы тока, текущего в противоположном направлении. Таким образом, в рассматриваемой цепи могут возникнуть свободные колебания напряжения, заряда и тока, связанные с взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей [4].

Наличие в цепи активного сопротивления приводит к необратимой потере энергии, в результате чего будет наблюдаться затухание колебаний либо их отсутствие.

Согласно второму правилу Кирхгофа сумма падений напряжения в замкнутом контуре равна алгебраической сумме электродвижущих сил, действующих в контуре:

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Физика

#
14.03.2025238 Кб3Protokol_k_laboratornoy_rabote_4_4.doc
#
14.03.202573 Кб1Protokol_k_laboratornoy_rabote_4_5.doc
#
14.03.20252 Мб0Волны.pdf
#
14.03.202527 Кб0Вопросы по второму сему.doc
#
14.03.20253 Мб2задачи2сем.pdf
#
14.03.20252 Мб6Колебания.pdf
#
14.03.20252 Мб2Магнетизм.pdf
#
14.03.202528 Кб1Протокол к лабораторной работе 5.3.docx
#
14.03.202545 Кб0Протокол к лабораторной работе 5.4.docx
#
14.03.20257 Мб6физика задачи.pdf
#
14.03.2025429 Кб1физика методичка Салля.docx