Эконометрика все что есть к экзамену
.pdf
Строим матрицу коэффициентов при переменных, отсутствующих в данных уравнениях
(bi, j; i g; bg, j=0).
Ранг матрицы K–1, где K – количество эндогенных переменных в системе уравнение идентифицируемо. Если не выполняется, то неидентифицируемо
Приведенная форма (просто сказать, что эндогенные переменные так и оставляем в левой части, а экзогенные и лаговые пишем все по порядку в правой части после коэффициентов) В этой системе не будет приведенной форме, поскольку она не имеет решения Поэтому система внизу просто для примера!!!!!
= А1 + 11 + 12 + 1 { = 2 + 21 + 22 + 2= 3 + 31 + 32 + 3
Вид системы: одновременных лучше не говорить, но на всякий случай
4) Независимых уравнений;
y1 = b10 + ∑pi=1 b1ixi + e1
{¼
yk = bk0 + ∑pi=1 bkixi + ek
ошибки не коррелируют друг с другом
эндогенные переменные не зависят друг от друга
5) Рекурсивных уравнений;
y1 = b10 + ∑pi=1 b1ixi + e1
y2 = b20 + ∑pi=1 b2ixi + c21y1 + e2
¼
yk = bk0 + ∑pi=1 bkixi + ∑kj=1−1 ckjyj + ek
результативный признак одного уравнения системы в каждом последующем уравнении является фактором наряду с одной и той же совокупностью факторов х
т.е. зависимая переменная одного уравнения выступает в качестве фактора в другом, но зависимая переменная второго не является фактором первого
6) Одновременных (взаимозависимых) уравнений.
y1 = b10 + ∑pi=1 b1ixi + ∑kj=2 c1jyj + e1
{¼
yk = bk0 + ∑pi=1 bkixi + ∑kj=1−1 ckjyj + ek
эндогенные переменные взаимозависимы
результативный признак одного уравнения входит во все другие уравнения системы в качестве фактора наряду с той же совокупностью факторов х
14.По следующим данным постройте линейное уравнение регрессии, вычислите линейный коэффициент корреляции и коэффициент эластичности:
̅̅̅ху = 100; х̅ = 10; у̅ = 8; х̅2 = 136; у̅2 = 100
Проинтерпретируйте полученные результаты.
̅̅̅̅− ̅ 1) b1 = ̅̅̅̅2 2− ̅
При изменении х на 1 ед изм. у изменится в среднем на b1 ед. изм.
2) из МНК: b0=ycp-b1*xcp
свободный член не интерпретируется
3) с полученными результатами построим уравнение регрессии: y=b0+b1x+e
4) Э = 1 хср
уср
При изменении х на 1% от своего среднего уровня (х=10), у в среднем изменится на ….% от своего среднего уровня (у=8)
|
|
|
̅̅̅̅̅̅̅2 |
− ̅ |
2 |
2 |
|
5) |
2 |
= ( |
( |
|
) |
) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
̅̅̅̅̅̅ |
− ̅ |
|
) |
|
||
2 |
|
( |
|
|
|
|||
= ( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У нас нет n, но они потом взаимоуничтожатся при делении
|
2 |
= 12 |
2 |
6) |
|
||
2 |
|||
|
|
|
|
Вариация фактора на …% объясняет вариацию результата
7)Извлечем корень – получим коэффициент корреляции Согласно шкале Чеддока определим связь между фактором и результатом
b1=(100-10*8)/(136-10^2)=5/9=0,5556 b0=ycp-b1*xcp=8-0,5556*10=2,444 y=2,444+0,5556x+e
При изменении х на 1 ед изм. у изменится в среднем на 0,5556 ед. изм.
Э=b1*хср/уср=0,5556*10/8=0,6945
При изменении х на 1% от своего среднего уровня (х=10), у в среднем изменится на 0,6945% от своего среднего уровня (у=8)
СКО х= (х^2ср-хср^2)^0,5=(136-10*10)^0,5=6
дисп х=36
СКО у=(y^2ср-yср^2)^0,5=(100-8*8)^0,5=6
дисп у=36 r^2=b1*СКОх^2/СКОу^2=0,5556^2*36/36=0,309
Согласно шкале Чеддока, связь между фактором и результатом умеренная r^2=0,3087
Вариация х на 30,87% объясняется вариацией У
15. Рассматривается следующая модель:
= 0 + 1 + 2 + 1
{ = 0 + 1 −1 + 2 + 2= 0 + 1 + 3
= + +
где ct – объем потребления; it – объем инвестиций; yt – величина дохода; gt – объем государственных расходов; Tt – процентная ставка; , , − неизвестные параметры, – случайные остатки.
Имеет ли эта система решение и, если имеет, то каким способом?
Эндогенные переменные: ct, it, Tt, yt Экзогенные переменные: gt Лаговые переменные: yt-1
Эндогенными переменными называют зависимые переменные, стоящие, как правило, в левой части системы; их число должно быть равно числу уравнений в системе. Экзогенными переменными называют переменные, влияющие на эндогенные, но не зависящие от них и не коррелирующие с ошибками.
Лаговые – переменные, взятые за предыдущие периоды времени.
Необходимое условие:
H – число эндогенных переменных в данных уравнениях.
D – число предопределенных переменных, отсутствующих в данных уравнениях (все кроме эндогенных)
Необходимо сравнить H и D+1:
а) H<D+1 уравнение сверхидентифицируемо;
б) H=D+1 уравнение точно идентифицируемо; в) H>D+1 неидентифицируемо;
Уравнение 1: H=3, D=2 уравнение точно идентифицируемо Уравнение 2: H=2, D=0 неидентифицируемо
Уравнение 3: H=2, D=2 уравнение сверхидентифицируемо Уравнение 4: проверка не требуется, оно является тождеством
Таким образом, система неидентифицируема (система не имеет решений)
Система точно идентифицируема, если можно найти ее решение и оно единственное. Система сверхидентифицируема, если можно найти решение, но оно не единственное. Система неидентифицируема, если она не имеет решений.
Метод нахождения параметров каждого структурного уравнения:
Если уравнение сверхидентифицируемо, то используем только ДМНК Если уравнение точно идентифицируемо, то используем и ДМНК и КМНК
Косвенный метод наименьших квадратов:
1)Система точно идентифицируема (уравнение точно идентифицируемо);
2)Приведенная форма модели;
3)Метод наименьших квадратов для приведенной формы модели;
4)Алгебраические преобразования приведенной формы модели с целью получения структурной формы модели.
Двухшаговый метод наименьших квадратов:
1)Система (уравнение) точно или сверхидентифицируема;
2)Приведенная форма модели;
3)МНК для приведенной формы модели;
4)Для каждого уравнения регрессии структурной формы модели: а) Найти эндогенные переменные–факторы; б) Рассчитать выровненные значения для этих переменных;
в) Применить МНК с исходными данными, в которых эндогенные переменные–факторы заменены их выровненными значениями.
Достаточное условие:
Строим матрицу коэффициентов при переменных, отсутствующих в данных уравнениях
(bi, j; i g; bg, j=0).
Ранг матрицы K–1, где K – количество эндогенных переменных в системе уравнение идентифицируемо. Если не выполняется, то неидентифицируемо
Приведенная форма (просто сказать, что эндогенные переменные так и оставляем в левой части, а экзогенные и лаговые пишем все по порядку в правой части после коэффициентов) В этой системе не будет приведенной форме, поскольку она не имеет решения Поэтому система внизу просто для примера!!!!!
= А1 + 11 + 12 + 1 { = 2 + 21 + 22 + 2
= 3 + 31 + 32 + 3
16. Рассматривается следующая модель:
= 0 + 1−1 + 2 + 1 { = 0 + 1 + 2 + 2
= 0 + 1 + 3= +
где yt, yt-1, xt, zt, gt, kt – переменные; a, b, c – неизвестные параметры, – случайные остатки.
Имеет ли эта система решение и, если имеет, то каким способом?
Эндогенные переменные: yt, zt, xt, kt Экзогенные переменные: gt Лаговые переменные: yt-1
Эндогенными переменными называют зависимые переменные, стоящие, как правило, в левой части системы; их число должно быть равно числу уравнений в системе. Экзогенными переменными называют переменные, влияющие на эндогенные, но не зависящие от них и не коррелирующие с ошибками.
Лаговые – переменные, взятые за предыдущие периоды времени.
Необходимое условие:
H – число эндогенных переменных в данных уравнениях.
D – число предопределенных переменных, отсутствующих в данных уравнениях (все кроме эндогенных)
Необходимо сравнить H и D+1:
а) H<D+1 уравнение сверхидентифицируемо;
б) H=D+1 уравнение точно идентифицируемо; в) H>D+1 неидентифицируемо;
Уравнение 1: H=2, D=1 уравнение точно идентифицируемо
Уравнение 2: H=2, D=1 уравнение точно идентифицируемо
Уравнение 3: Н=2, D=2 уравнение сверхидентифицируемо Уравнение 4: проверка не требуется, оно является тождеством
Таким образом, система сверхидентифицируема (система имеет несколько решений) Система точно идентифицируема, если можно найти ее решение и оно единственное. Система сверхидентифицируема, если можно найти решение, но оно не единственное. Система неидентифицируема, если она не имеет решений.
Метод нахождения параметров каждого структурного уравнения:
Если уравнение сверхидентифицируемо, то используем только ДМНК Если уравнение точно идентифицируемо, то используем и ДМНК и КМНК
Для уравнения 1: ДМНК, КМНК Для уравнения 2: ДМНК, КМНК Для уравнения 3: ДМНК Для уравнения 4: -
Косвенный метод наименьших квадратов:
1)Система точно идентифицируема (уравнение точно идентифицируемо);
2)Приведенная форма модели;
3)Метод наименьших квадратов для приведенной формы модели;
4)Алгебраические преобразования приведенной формы модели с целью получения структурной формы модели.
Двухшаговый метод наименьших квадратов:
1)Система (уравнение) точно или сверхидентифицируема;
2)Приведенная форма модели;
3)МНК для приведенной формы модели;
4)Для каждого уравнения регрессии структурной формы модели: а) Найти эндогенные переменные–факторы; б) Рассчитать выровненные значения для этих переменных;
в) Применить МНК с исходными данными, в которых эндогенные переменные–факторы заменены их выровненными значениями.
Достаточное условие:
Строим матрицу коэффициентов при переменных, отсутствующих в данных уравнениях
(bi, j; i g; bg, j=0).
Ранг матрицы K–1, где K – количество эндогенных переменных в системе уравнение идентифицируемо. Если не выполняется, то неидентифицируемо
1) В 1 уравнении отсутствуют zt, kt, gt
Уравнение |
zt |
kt |
gt |
2 |
-1 |
0 |
b2 |
3 |
0 |
c1 |
0 |
4 |
1 |
-1 |
1 |
Ранг=3 3=4-1 уравнение идентифицируемо И так далее Приведенная форма:
= 1 + 11 − 1 + 12 + 1
= 2 + 21 − 1 + 22 + 2 { = 3 + 31 − 1 + 32 + 3
= 4 + 41 − 1 + 42 + 4
Вид системы: одновременных уравнений лучше не говорить, но на всякий случай
7) Независимых уравнений;
y1 = b10 + ∑pi=1 b1ixi + e1
{¼
yk = bk0 + ∑pi=1 bkixi + ek
ошибки не коррелируют друг с другом
эндогенные переменные не зависят друг от друга
8) Рекурсивных уравнений;
y1 = b10 + ∑pi=1 b1ixi + e1
y2 = b20 + ∑pi=1 b2ixi + c21y1 + e2
¼
yk = bk0 + ∑pi=1 bkixi + ∑kj=1−1 ckjyj + ek
результативный признак одного уравнения системы в каждом последующем уравнении является фактором наряду с одной и той же совокупностью факторов х
т.е. зависимая переменная одного уравнения выступает в качестве фактора в другом, но зависимая переменная второго не является фактором первого
9) Одновременных (взаимозависимых) уравнений.
y1 = b10 + ∑pi=1 b1ixi + ∑kj=2 c1jyj + e1
{¼
yk = bk0 + ∑pi=1 bkixi + ∑kj=1−1 ckjyj + ek
эндогенные переменные взаимозависимы
результативный признак одного уравнения входит во все другие уравнения системы в качестве фактора наряду с той же совокупностью факторов х
17.По следующим данным постройте линейное уравнение регрессии, вычислите линейный коэффициент корреляции и коэффициент эластичности:
̅̅̅ху = 120; х̅ = 10; у̅ = 10; х̅2 = 149; у̅2 = 125
Проинтерпретируйте полученные результаты.
̅̅̅̅− ̅ 1) b1 = ̅̅̅̅2 2− ̅
При изменении х на 1 ед изм. у изменится в среднем на b1 ед. изм.
2) из МНК: b0=ycp-b1*xcp
свободный член не интерпретируется
3) с полученными результатами построим уравнение регрессии: y=b0+b1x+e
4) Э = 1 хср
уср
При изменении х на 1% от своего среднего уровня (х=10), у в среднем изменится на ….% от своего среднего уровня (у=8)
|
|
|
̅̅̅̅̅̅̅2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
5) 2 |
= ( |
( |
− ̅ |
) |
) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
̅̅̅̅̅̅ |
− ̅ |
|
) |
|
|||||
2 |
|
|
( |
|
|
|
||||||
= ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У нас нет n, но они потом взаимоуничтожатся при делении
|
2 |
= 12 |
2 |
6) |
|
||
2 |
|||
|
|
|
|
Вариация фактора на …% объясняет вариацию результата
7)Извлечем корень – получим коэффициент корреляции Согласно шкале Чеддока определим связь между фактором и результатом
b1=(XYcp-Xcp*Ycp)/(X^2cp-Xcp^2)=(120-10*10)/(149-10^2)=20/49=0,4082 b0=ycp-b1*xcp=10-0,4082*10=5,918
y=5,918+0,4082x+e
При изменении х на 1 ед изм. у изменится в среднем на 0,4082 ед. изм.
Э=b1*хср/уср=0,4082*10/10=0,4082
При изменении х на 1% от своего среднего уровня (х=10), у в среднем изменится на 0,4082% от своего среднего уровня (у=10)
СКО х= (х^2ср-хср^2)^0,5=(149-10*10)^0,5=7 СКО у=(y^2ср-yср^2)^0,5=(125-10*10)^0,5=5
r=(XYcp-XcpYcp)/(СКОх*СКОу)=(120-10*10)/(7*5)=0,5714
Согласно шкале Чеддока, связь между фактором и результатом заметная r^2=0,3265
Вариация х на 32,65% объясняется вариацией У
18. При оценивании модели пространственной выборки обычным методом наименьших квадратов получено уравнение регрессии:
у̂ = 3 + 0,6х1 − 1,2х2
Уравнение регрессии случайных остатков на квадраты факторов имеет вид:
2 = 2 + 0,3х12 + 0,1х22; 2 = 0,2
Зная, что объем пространственной выборки равен 200, проверить гипотезу о гомоскедастичности остатков. Сделать выводы о качестве модели.
Проверить выполнение гомоскедастичности – постоянства дисперсии случайных остатков
– можно визуально(графически) или с помощью тестов.
Графически необходимо построить график зависимости случайных остатков от выровненного значения результата. Если гомоскедастичность, то случайные остатки будут параллельны оси Ох, во всех других случаях – гетероскедастичность.
Можно провести тест Уайта. Проверяем уравнение по F–критерию и в случае, если оно незначимо, говорим о гомоскедастичности остатков. Незначимость - если F<Fтаб.
|
2 |
( − −1) |
|
|
= |
|
|
|
. |
(1− 2) |
|
|||
19. По 30 годовым данным о числе банкротств (yt), уровне безработицы (x1t), краткосрочной процентной ставке (x2t), объеме новых заказов в момент времени t (x3t) было построено уравнение регрессии:
ln( ̂ ) = 5,12 + 0,31 ln( 1 ) + 0,52ln( 2 ) − 0,81 ln( 3 ) 2 |
= 0,62 = 0,49 |
||
|
|
скорр |
|
Ошибка (2,1) (0,18) |
(0,21) |
(0,29) |
|
Оцените качество модели. Проинтерпретируйте ее.
1)У нас есть значения t по критерию Стьюдента для оценки значимости параметров уравнения.
Находим t табличное, сравниваем с ним полученные значения: если t>tтабл, то отвергаем нулевую гипотезу о незначимости. Параметр значим.
2)Определяем значимость уравнения через критерий Фишера: Fрасч=t(b1)^2 так как парная
|
2 |
( − −1) |
|
|
линейная регрессия или = |
|
|
|
. если F>Fтабл, то отвергаем нулевую гипотезу |
(1− 2) |
|
|||
онезначимости. Уравнение значимо.
Уравнение может быть значимым, но какой-то из параметров можно быть незначимым
Для модели, которую мы хотим выбрать допустимо, чтобы свободный член был незначим, главное чтобы были значимы параметры при переменных (если какой-то из них незначим, то вообще нецелесообразно выбирать эту модель)
Если все значимы это не значит, что значимо все уравнение
И если уравнение незначимо, то и незначимы коэф корреляции и детерминации
3)Интерпретация параметров, если они значимы:
Коэффициент регрессии
для множественной: первый скорее всего не значим, b1=0,31
при изменении фактора x1 на 1 ед. измерения результат в среднем изменится на 4 ед. измерения при неизменном значении фактора х2,х3.
4)
Находим R^2 через R^2скорр
Вариация фактора на …% объясняет вариацию результата
5) Находим r через R^2, чтобы определить тесноту связи по шкале Чеддока.
. 
Находим r через R^2, чтобы определить тесноту связи по шкале Чеддока.
4) Проверяем случайные остатки на наличие автокорреляции через критерий ДарбинаУотсона. Определяем уровень значимости (95%) и количество объясняющих переменных. Определяем количество наблюдений и в соответствии с этим находим значения DL и DU по таблице. Нам дано DW, которое мы сравниваем с полученными значениями и определяем в какой зоне находится.
∑n (êt−êt−1)2 dw= t=2 n 2
∑t=1 êt
Табличные значения dw1, dw2 для , n, df=m 0<dw<dw1 есть автокорреляция; dw1<dw<dw2 зона неопределенности;
dw2<dw<2 и 2<dw<4–dw2 нет автокорреляции; 4–dw2<dw<4–dw1 зона неопределенности; 4–dw1<dw<4 есть автокорреляция.
Фактическое значение критерия d сравнивается с табличными. Если d <2, то возможны следующие варианты:
−при d <нижней границы нулевая гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается и делается вывод о наличии положительной автокорреляции в остатках;
−при d> верхней границы нулевая гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается, т. е. делается вывод об отсутствии корреляционной связи последующих остатков с предыдущими;
−при dl ≤ d ≤ du нельзя ни отвергнуть, ни принять нулевую гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках, т. е. необходимы дальнейшие исследования, например, по большему числу наблюдений.
Если фактическое значение d> 2, что означает отрицательную автокорреляцию, то с пороговыми табличными значениями сравнивается величина 4 – d.
Наличие автокорреляции приводит к ухудшению качества МНК-оценок параметров регрессии, а также к завышению тестовых статистик, по которым проверяется качество модели (создается искусственное улучшение качества модели относительно её действительного уровня точности). Т.е. оценки перестают быть эффективными, дисперсии заниженные, а коэффициенты корреляции и детерминации могут быть неверными, прогноз ухудшается.
5)В случае, если модель не совсем точно описывает взаимосвязь имеющихся данных и будет некорректно использовать её в дальнейшем для анализа и прогноза, поэтому следует постараться устранить автокорреляцию остатков.
20. Исследуется зависимость рентабельности (в %) от производительности труда (тыс. руб. на одного рабочего) и среднего возраста производственного оборудования (лет).
Парные коэффициенты корреляции равны: между рентабельностью и производительностью труда 0,96, между рентабельностью и средним возрастом
оборудования -0,97, между производительностью и средним возрастом оборудования - 0,959. Дайте их интерпретацию.
Найдите коэффициент множественной корреляции, если известно, что стандартизованный коэффициент регрессии по производительности труда равен 0,371, а по среднему возрасту оборудования равен -0,615. Проинтерпретируйте результат.
1) рентабельность-y производительность труда-x1
средний возраст производственного оборудования-x2
парный коэффициент корреляции между рентабельностью и производительностью труда ryx1=0,96
парный коэффициент корреляции между рентабельностью и средним возрастом оборудования ryx2= -0,97
парный коэффициент корреляции между производительностью труда и средним возрастом оборудования rx1x2=0,959
Так как |ryx1|>|rx1x2| (0,96>0,959) и |ryx2|>|rx1x2| (0,97>0,959), то включение обоих независимых переменных в уравнение множественной регрессии целесообразно. СКР-стандартизированный коэффициент регрессии
СКР=b*скох/скоуx1=0,371x2=-0,615
Коэффициент множественной корреляции:
Показывает тесноту связи между результатом y и переменной xj при исключении влияния (элиминировании) остальных переменных, включенных в уравнение регрессии.
Возведем в квадрат и на основе этого коэффициента сделаем вывод о том что при включении в уравнение регрессии х1 после переменной х2 остаточная дисперсия
сокращается на …. %. И при включении в уравнение регрессии х2 после переменной х1 остаточная дисперсия сокращается на …. %.
21. Рассматривается следующая модель:
= 0 + 1 |
+ 2 + 1 |
|
−1 |
|
|
= 0 + 1 + 2 + 2 |
||
{ = 0 + 1 + 2 + 3 |
+ 3 |
|
|
−1 |
|
= + +
где Ct – расходы на конечное потребление; Yt – ВНД; rt – процентные ставки; Mt – денежная масса; Gt – государственные расходы; a, b, c – неизвестные параметры; u – случайные остатки.
Имеет ли эта система решение и, если имеет, то каким способом?
Эндогенные переменные: Ct, It, rt, Yt Экзогенные переменные: Mt, Gt Лаговые переменные: Ct-1, rt-1
Эндогенными переменными называют зависимые переменные, стоящие, как правило, в левой части системы; их число должно быть равно числу уравнений в системе. Экзогенными переменными называют переменные, влияющие на эндогенные, но не зависящие от них и не коррелирующие с ошибками.
Лаговые – переменные, взятые за предыдущие периоды времени.
Необходимое условие:
H – число эндогенных переменных в данных уравнениях.
D – число предопределенных переменных, отсутствующих в данных уравнениях (все кроме эндогенных)
Необходимо сравнить H и D+1:
а) H<D+1 уравнение сверхидентифицируемо;
б) H=D+1 уравнение точно идентифицируемо; в) H>D+1 неидентифицируемо;
Уравнение 1: H=2, D=3 уравнение сверхидентифицируемо
Уравнение 2: H=3, D=4 уравнение сверхидентифицируемо
Уравнение 3: Н=2, D=2 уравнение сверхидентифицируемо Уравнение 4: проверка не требуется, оно является тождеством
Таким образом, система сверхидентифицируема (система имеет несколько решений) Система точно идентифицируема, если можно найти ее решение и оно единственное. Система сверхидентифицируема, если можно найти решение, но оно не единственное. Система неидентифицируема, если она не имеет решений.
Метод нахождения параметров каждого структурного уравнения:
Если уравнение сверхидентифицируемо, то используем только ДМНК Если уравнение точно идентифицируемо, то используем и ДМНК и КМНК
Для уравнения 1: ДМНК Для уравнения 2: ДМНК Для уравнения 3: ДМНК Для уравнения 4: -
Косвенный метод наименьших квадратов:
1)Система точно идентифицируема (уравнение точно идентифицируемо);
2)Приведенная форма модели;
3)Метод наименьших квадратов для приведенной формы модели;
4)Алгебраические преобразования приведенной формы модели с целью получения структурной формы модели.
Двухшаговый метод наименьших квадратов: