Среди нелинейных эконометрических моделей рассматривают следующие классы нелинейных уравнений: …

внешне нелинейные внешне линейные

внутренне нелинейные

внутреннее линейные

Структурной формой модели называется система ____ уравнений.

фиксированный

взаимосвязанных

независимых

рекурсивных

Т

Тенденция временного ряда характеризует совокупность факторов, …

оказывающих сезонное воздействие оказывающих единовременное влияние

оказывающих долговременное влияние и формирующих общую динамику изучаемого

показателя

не оказывающих влияние на уровень ряда

У

Укажите верные характеристики коэффициента эластичности:

коэффициент эластичности показывает на сколько процентов изменится значение

результирующего фактора при изменении на один процент объясняющего фактора

коэффициент эластичности является постоянной величиной для всех видов моделей

коэффициент эластичности показывает на сколько изменится значение результирующего фактора при изменении объясняющего фактора на одну единицу

по значению коэффициента эластичности можно судить о силе связи объясняющего фактора

с результирующим

Укажите последовательность этапов оценки параметров нелинейной регрессии Y = a + b*X + c*X².

3 оцениваются параметры регрессии b0, b1, b2

1 выполняется замена переменной X2 на Z

2 задается спецификация модели в виде Y = b0 + b1*X +b2*Z, где b0 = a; b1 = b; b2 =c

4 определяются исходные параметры из тождеств: a = b0; b = b1; c = b2

Укажите последовательность этапов проведения теста Голдфелда-Квандта для парной линейной регрессии.

4 вычисление статистики Фишера

1 упорядочение наблюдений по возрастанию значений объясняющей переменной

3 оценка сумм квадратов отклонений для регрессий по k-первым и k-последним наблюдений

2 оценка регрессий для k-первых и k-последних наблюдений

Укажите справедливые утверждения по поводу критерия Дарбина-Уотсона: (неск)

позволяет проверить гипотезу о наличии автокорреляции первого порядка

изменяется в пределах от 0 до 4

равен 0 в случае отсутствия автокорреляции применяется для проверки гипотезы о наличии гетероскедастичности остатков

Укажите существующие классы эконометрических систем: (неск)

система нормальных уравнений система стандартных уравнений

система одновременных уравнений

система независимых уравнений

Укажите требования к факторам, включаемым в модель множественной линейной регрессии: (неск)

между факторами не должна существовать высокая корреляция

факторы должны быть количественно измеримы

факторы должны иметь одинаковую размерность факторы должны представлять временные ряды

Установите соответствие между названием модели и видом ее уравнения:

1.линейная

2.полиномиальная

3.показательная

4.полулогарифмическая

4 у = а*lnx*e;

2y = a + bx + cx² + e;

3y = abx *e;

1 y = a + bx + e

Установите соответствие между наименованиями элементов уравнения Y=b0+b1X+e и их буквенными обозначениями:

1.параметры регрессии

2.объясняющая переменная

3.объясняемая переменная

4.случайные отклонения

3Y

4e

1 b0, b1

2 X

Установите соответствие между эконометрическими терминами и их определениями.

1.автокорреляция уровней временного ряда

2.коэффициент автокорреляции уровней временного ряда

3.автокорреляционная функция

4.коррелограмма

3 последовательность коэффициентов автокорреляции первого, второго и т.д. порядков

4 график зависимости значений автокорреляционной функции от величины лага

1 корреляционная зависимость между последовательными уровнями ряда

2 коэффициент линейной корреляции между последовательными уровнями

Ф

Фиктивными переменными в уравнении множественной регрессии являются …

качественные переменные, преобразованные в количественные

комбинации из включенных в уравнение регрессии факторов, повышающие адекватность модели

Оцените качество модели. Проинтерпретируйте ее.

1)У нас есть значения ошибки, через которые мы находим значения t по критерию Стьюдента для оценки значимости параметров уравнения. Параметр/ошибка=t. Находим t табличное, сравниваем с ним полученные значения: если t>tтабл, то отвергаем нулевую гипотезу о незначимости. Параметр значим.

2)Определяем значимость уравнения через критерий Фишера: Fрасч=t(b1)^2 так как

нулевую гипотезу о незначимости. Уравнение значимо.

Уравнение может быть значимым, но какой-то из параметров можно быть незначимым

Для модели, которую мы хотим выбрать допустимо, чтобы свободный член был незначим, главное чтобы были значимы параметры при переменных (если какой-то из них незначим, то вообще нецелесообразно выбирать эту модель)

Если все значимы это не значит, что значимо все уравнение

И если уравнение незначимо, то и незначимы коэф корреляции и детерминации

3)Находим r через R^2, чтобы определить тесноту связи по шкале Чеддока.

4)Проверяем случайные остатки на наличие автокорреляции через критерий ДарбинаУотсона. Определяем уровень значимости (95%) и количество объясняющих переменных. Определяем количество наблюдений и в соответствии с этим находим значения DL и DU по таблице. Нам дано DW, которое мы сравниваем с полученными значениями и определяем в какой зоне находится.

∑n (êt−êt−1)2 dw= t=2 n 2

∑t=1 êt

Табличные значения dw1, dw2 для , n, df=m 0<dw<dw1 есть автокорреляция; dw1<dw<dw2 зона неопределенности;

dw2<dw<2 и 2<dw<4–dw2 нет автокорреляции; 4–dw2<dw<4–dw1 зона неопределенности; 4–dw1<dw<4 есть автокорреляция.

Фактическое значение критерия d сравнивается с табличными. Если d <2, то возможны следующие варианты:

−при d <нижней границы нулевая гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается и делается вывод о наличии положительной автокорреляции в остатках;

−при d> верхней границы нулевая гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается, т. е. делается вывод об отсутствии корреляционной связи последующих

остатков с предыдущими;

− при dl ≤ d ≤ du нельзя ни отвергнуть, ни принять нулевую гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках, т. е. необходимы дальнейшие исследования, например, по большему числу наблюдений.

Если фактическое значение d> 2, что означает отрицательную автокорреляцию, то с пороговыми табличными значениями сравнивается величина 4 – d.

Наличие автокорреляции приводит к ухудшению качества МНК-оценок параметров регрессии, а также к завышению тестовых статистик, по которым проверяется качество модели (создается искусственное улучшение качества модели относительно её действительного уровня точности). Т.е. оценки перестают быть эффективными, дисперсии заниженные, а коэффициенты корреляции и детерминации могут быть неверными, прогноз ухудшается.

5)В случае, если модель не совсем точно описывает взаимосвязь имеющихся данных и будет некорректно использовать её в дальнейшем для анализа и прогноза, поэтому следует постараться устранить автокорреляцию остатков.

R^2=0,9931 => r=0,9965

Для оценки качества модели мы используем критерий стьюдента, Фишера

Во-первых, tтабл=2,03, следовательно, t(b0)>tтабл, t(b1)>tтабл => свободный член и коэффициент регрессии значимы. Во-вторых, критерий Фишера F=t(b1)^2=19600, а критическое значение Fтабл=4,14. F>Fтабл, уравнение регрессии с вероятностью 95% статистически значимо.

В-третьих, R^2=0,9931, значит, вариация результата на 99,31% объясняется вариацией фактора.

r=0,9965, значит, согласно шкале Чеддока, связь между располагаемым доходом и фактором времени очень тесная.

В четвертых, DL=1,40 DU=1,52 DW=0,173 0<0,173<1,4

0<dw<dl

Таким образом, наблюдается положительная автокорреляция остатков, следовательно, мы отклоняем нулевую гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков. С вероятностью 95% принимаем альтернативную гипотезу о наличии положительной автокорреляции в остатках.

Табличные значения dw1, dw2 для , n, df=m 0<dw<dw1 есть автокорреляция; dw1<dw<dw2 зона неопределенности;

dw2<dw<2 и 2<dw<4–dw2 нет автокорреляции; 4–dw2<dw<4–dw1 зона неопределенности; 4–dw1<dw<4 есть автокорреляция.

Наличие автокорреляции приводит к ухудшению качества МНК-оценок параметров регрессии, а также к завышению тестовых статистик, по которым проверяется качество модели (создается искусственное улучшение качества модели относительно её действительного уровня точности). Т.е. оценки перестают быть эффективными, дисперсии заниженные, а коэффициенты корреляции и детерминации могут быть неверными, прогноз ухудшается.

Таким образом, модель не совсем точно описывает взаимосвязь имеющихся данных и будет некорректно использовать её в дальнейшем для анализа и прогноза, поэтому следует постараться устранить автокорреляцию остатков.

2. Для некоторой модели регрессии получена последовательность остатков:

Являются ли эти остатки гомоскедастичными? Что можно сказать о качестве модели?

10

5

0

-5

-10

Вариант 1: Ось х-х

Ось у-остатки e

Остатки гетероскедастичны-непостоянство дисперсии случайных остатков

с увеличением выровненного значения результата дисперсия остатков увеличивается

Вариант 2

Остатки гетероскедастичны, они не соответствуют требованиям, предъявляемым к ним. Уравнение регрессии не может быть использовано в дальнейшем для анализа и прогноза.

Методы выявления гетероскедастичности:

1)Графический;

2)Аналитический – тесты (основаны на предположении, что дисперсия остатков определяется значениями факторов, включенных в уравнение регрессии):

Гольдфельда–Квандта (F-критерий, F<Fтабл гомоскедастичность)

С помощью коэффициента корреляции рангов Спирмена ( 0 гомоскедастичность) Уайта (Проверяем уравнение по F–критерию и в случае, если оно незначимо, говорим о гомоскедастичности остатков)

Парка (Проверяем уравнение по F–критерию и в случае, если оно незначимо, говорим о гомоскедастичности остатков)

Глейзера (Проверяем уравнение по F–критерию и в случае, если оно незначимо, говорим о гомоскедастичности остатков)

Если хотя бы один текст показал гетероскедастичность, остатки гетероскедастичны.

Оценка: Остатки гетероскедастичны, они не соответствуют требованиям, предъявляемым к ним. Уравнение регрессии не может быть использовано в дальнейшем для анализа и прогноза.

а) Гольдфельда–Квандта;

i N(0; se2i) n 2*(m+2)+1

Упорядочивание по x;

Деление совокупности на три части, n1=n3;

Регрессии (1) и (3) в той же форме, что первоначальная регрессия;

F=SS(остмакс); SS(остмин)

Fтабл( , df1=df2=n1–m–1);

F<Fтабл гомоскедастичность.

б) С помощью коэффициента корреляции рангов Спирмена;

Ранг xi: rangxi;Ранг | ̂i|: rang|êi|;

di=rangxi–rang|êi|;

6 ∑n d2

=1– i=1 i ; n (n2−1)

0 гомоскедастичность

t =r√1−r√n−22;

|t |<tтабл( ; df=n–2).

в) Уайта;

[c12*x1*x2+ +cp-1, p*xp-1*xp] – необязательная часть

Проверяем уравнение по F–критерию и в случае, если оно незначимо, говорим о гомоскедастичности остатков.

При небольшом количестве наблюдений вывод может оказаться ложным. г) Парка;

ln 2=b0+b1*lnxj+

̂

Проверяем уравнение по F–критерию и в случае, если оно незначимо, говорим о гомоскедастичности остатков.

д) Глейзера.

| |=b̂ 0+b1*xjk+

k=1; –1; 0,5; –0,5; 2; -2

Проверяем уравнение по F–критерию и в случае, если оно незначимо, говорим о гомоскедастичности остатков.

3. На основе семи наблюдений построены две линейные модели для описания поведения объясняемой переменной у, которые различаются наборами объясняющих переменных:

а) в первой используются объясняющие переменные х1 и х2, б) во второй используются объясняющие переменные х3 и х4. Для обеих моделей подсчитаны остатки:

модель а): 3, 3, 1, -4, -2, 3, -4; модель б): 2, 3, 2, -3, -2, 1, -3.

Какая модель в большей степени поясняет изменение объясняемой переменной?

где сумма квадратов случайных остатков меньше модели а)= 64, модели б)=40, следовательно, модель б) лучше

Проверяем случайные остатки на наличие автокорреляции через критерий ДарбинаУотсона.

1)Определяем уровень значимости (95%)

2)нам дано количество объясняющих переменных для каждой модели, в каждой по

2.

3)Определяем количество наблюдений по количеству данных случайных остатков

4)И в соответствии с этим находим значения DL и DU по таблице.

5)Рассчитаем DW по формуле, затем сравниваем с полученными значениями и определяем в какой зоне находится.

∑n (êt−êt−1)2 dw= t=2 n 2

∑t=1 êt

Табличные значения dw1, dw2 для , n, df=m 0<dw<dw1 есть автокорреляция; dw1<dw<dw2 зона неопределенности; dw2<dw<2 и 2<dw<4–dw2 нет автокорреляции; 4–dw2<dw<4–dw1 зона неопределенности; 4–dw1<dw<4 есть автокорреляция.

Фактическое значение критерия d сравнивается с табличными. Если d <2, то возможны следующие варианты:

−при d <нижней границы нулевая гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается и делается вывод о наличии положительной автокорреляции в остатках;

−при d> верхней границы нулевая гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается, т. е. делается вывод об отсутствии корреляционной связи последующих остатков с предыдущими;

−при dl ≤ d ≤ du нельзя ни отвергнуть, ни принять нулевую гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках, т. е. необходимы дальнейшие исследования, например, по большему числу наблюдений.

Если фактическое значение d> 2, что означает отрицательную автокорреляцию, то с пороговыми табличными значениями сравнивается величина 4 – d.

Наличие автокорреляции приводит к ухудшению качества МНК-оценок параметров регрессии, а также к завышению тестовых статистик, по которым проверяется качество модели (создается искусственное улучшение качества модели относительно её действительного уровня точности). Т.е. оценки перестают быть эффективными, дисперсии заниженные, а коэффициенты корреляции и детерминации могут быть неверными, прогноз ухудшается.

6)Таким образом, модель не совсем точно описывает взаимосвязь имеющихся данных и будет некорректно использовать её в дальнейшем для анализа и прогноза, поэтому следует постараться устранить автокорреляцию остатков.

ИЛИ

Через критерий Дарбина-Уотсона найдём DW, а потом через него выразим значение автокорреляции

4. Используя следующие данные, определите параметры парного линейного уравнения регрессии:

х̅ = 20; у̅ = 10; Эх̅ = 0,6

Проинтерпретируйте полученные результаты и коэффициент эластичности.

Эластичность – показатель силы связи

Свободный член интерпретации не имеет.

Коэфф регрессии: при изменении фактора (х) на единицу измерения результат (у) в среднем изменится на … единицы измерения.

Эластичность: при изменении фактора на 1% от своего среднего уровня результат в среднем изменится на 0,6% от своего среднего уровня.

5. По данным 15-летних наблюдений построена следующая регрессионная модель:

Где ВНП – валовой национальный доход, млрд. долл.; М – объем денежной массы, млрд. долл.

Найдите недостающие показатели. Оцените качество модели и проинтерпретируйте ее.

1)У нас есть значения t по критерию Стьюдента для оценки значимости параметров уравнения

2)Находим t табличное, сравниваем с ним полученные значения: если t>tтабл, то отвергаем нулевую гипотезу о незначимости. Параметр значим.

3)Определяем значимость уравнения через критерий Фишера: Fрасч=t(b1)^2 так как парная линейная регрессия или . если F>Fтабл, то отвергаем нулевую гипотезу о незначимости. Уравнение значимо.

Уравнение может быть значимым, но какой-то из параметров можно быть незначимым

Для модели, которую мы хотим выбрать допустимо, чтобы свободный член был незначим, главное чтобы были значимы параметры при переменных (если какой-то из них незначим, то вообще нецелесообразно выбирать эту модель)

Если все значимы это не значит, что значимо все уравнение

И если уравнение незначимо, то и незначимы коэф корреляции и детерминации