Проводники и диэлектрики в электрическом поле

2.61. Точечный заряд находится на расстоянии от проводящей плоскости. Какую работу надо совершить против электрических сил, чтобы медленно удалить этот заряд на очень большое расстояние от плоскости.

Решение. Точечный заряд находится на некотором расстоянии от проводящей плоскости.

Используем метод изображений: рисуем наш заряд и проводящую поверхность, а с противоположной стороны, относительно поверхности, рисуем «заряд-близнец», имеющий те же характеристики, но отрицательный заряд.

Ответ: .

2.66. Точечный заряд находится на расстоянии от проводящей плоскости. Определить поверхностную плотность зарядов, индуцированных на плоскости, как функцию расстояния от основания перпендикуляра, опущенного из заряда на плоскость.

Решение. Сделаем рисунок:

Используем метод изображений: симметрично относительно проводящей плоскости помещаем виртуальный заряд .

Проведем вектора напряженности от зарядов. Определим вектор с помощью принципа суперпозиции (результирующий вектор напряжённости равен векторной сумме векторов напряженности полей, создаваемых каждым из зарядов).

Результирующий вектор направлен горизонтально. Для его нахождения будем суммировать лишь горизонтальные составляющие векторов напряжённости.

Напряженность у поверхности проводника:

Ответ:

2.67. Прямая бесконечно длинная нить имеет заряд на единицу длины и расположена параллельно проводящей плоскости на расстоянии от неё. Найти:

а) модуль силы, действующей на единицу длины нити;

б) распределение поверхностной плотности заряда на плоскости (здесь – расстояние от прямой на плоскости, где максимально).

Решение. а) Для того, чтобы найти силу, действующую на нить, используем метод изображений, электрическое поле «изображения нити», находящееся на расстоянии от плоскости, с другой стороны плоскости будет создавать электрическое поле, действующее на заряд плоскости.

Пусть нить заряжена положительно. Тогда вектор направлен от нити к плоскости. Модуль вектора напряжённости электрического поля на расстоянии от нити:

Тогда сила, с которой проводящая плоскость действует на заряженную нить:

Или в расчёте на единицу длины нити:

Ответ: .

б) Рассматриваемая задача подразумевает использование метода изображений.

В любой точке на проводящей плоскости напряжённость электрического поля равна нулю. Рассмотрим эквивалентную ситуацию, поместив симметрично относительно данной плоскости на расстоянии от неё заряженную нить с линейной плотностью заряда («изображение» нити с плотностью ). Вклад самой плоскости рассматривать не будем.

При таком изменении силовые линии электрического поля будут полностью совпадать, то есть согласно теореме единственности полученное поле будет тем же, что и при рассмотрении ситуации, когда вторая нить отсутствует.

Рассмотрим напряжённость электрического поля, создаваемую данными нитями.

Воспользуемся принципом суперпозиции для вектора :

Так как заряды, создающие вектора и , одинаковы, то результирующая напряжённость электрического поля направлена горизонтально. Её модуль на расстоянии от обеих нитей:

Напряжённость электрического поля вблизи заряженной с поверхностной плотностью проводящей плоскости согласно теореме Гаусса:

Так как поле заряженной плоскости совпадает с полем, полученным нами с помощью метода изображений, то можем записать:

Таким образом, распределение заряда на плоскости:

Ответ: .

2.70. Найти потенциал незаряженной проводящей сферы, вне которой на расстоянии от ее центра находится точечный заряд .

Решение.

Вычислим потенциал сферы в её центре. Точечный заряд своим полем создает на сфере индуцированный заряд с неравномерным распределением заряда на поверхности.

Разобьем поверхность сферы на бесконечно малые площадки с зарядами . Потенциал каждого точечного заряда в центре сферы:

Согласно принципу суперпозиции потенциала:

Поскольку заряд сферы по условию равен нулю, следовательно .

Ответ: .

2.72. Точечный заряд находится на расстоянии от центра незаряженного сферического слоя проводника, радиусы которого , . Найти потенциал в точке .

Решение. Под действием точечного заряда происходит перераспределение заряда в слое проводника, в результате чего на внутренней поверхности появляется индуцированный заряд , а на внешней - .

Потенциал в точке найдём как сумму потенциалов, создаваемых всеми зарядами в данной точке:

где – потенциал, создаваемый зарядом , расположенным на внутренней части сферического слоя, а – потенциал, создаваемый расположенным снаружи зарядом

Потенциал, создаваемый точечным зарядом на расстоянии , по определению:

С учётом (2) можем переписать потенциал в точке :

Ответ: .

2.73 Система из двух концентрических проводящих сфер. На внутренней сфере радиуса a находится положительный заряд . Какой заряд следует поместить на внешнюю сферу радиуса , чтобы потенциал внутренней сферы стал = 0? Как будет зависеть при этом от расстояния r до центра системы? Изобразить примерный график .

Решение. 1) Полный потенциал внутренней сферы складывается из потенциала, создаваемого положительным зарядом , помещенным на внутреннюю сферу радиуса , и потенциала, создаваемого зарядом, помещенным на внутреннюю сферу радиуса .

Из (1) следует, что:

По определению потенциала электрического поля:

где – искомый заряд.

Подставив (3) в (2), получаем:

2) Если , то потенциал будет равен разности потенциалов от внутренней сферы:

Примерный график для данного случая:

3) Если (т. е. ищем потенциал точки вне сфер), то будет равен сумме потенциалов наружной и внутренней сфер.

Примерный график:

Ответ: ; , если и если .

2.77. Найти электрическую силу, которую испытывает заряд, приходящийся на единицу поверхности проводника, в точке, где  = 46 .

Решение.

– напряженность электрического поля снаружи проводника

можно найти как напряженность однородно заряженной плоскости.

По теореме Гаусса для вектора :

В качестве гауссовой поверхности для вычисления потока возьмем цилиндр.

Так как вектор перпендикулярен всем возможным нормалям к боковой поверхности цилиндра, то:

Получили напряжённость электрического поля снаружи проводника:

Сила, действующая на площадку площадью :

Сила, действующая на единицу поверхности проводника:

Ответ: .

2.78. Металлический шарик радиуса имеет заряд . Найти модуль результирующей силы, которая действует на заряд, расположенный на одной половине шарика.

Решение. Выделим на поверхности шарика элемент площадью .

На этот элемент действует сила:

Выделим элемент, симметричный относительно первого.

С помощью принципа суперпозиции определим Она направлена вдоль оси , следовательно для нахождения достаточно сложить проекции на ось .

Пользуясь выражением для элемента площади в сферической системе координат ( ), находим:

Поверхностная плотность заряда по определению:

Используя (4), получаем:

Ответ: .

2.79. Незаряженный проводящий шар радиуса поместили во внешнее однородное поле, в результате чего на поверхности шара появился индуцированный заряд с поверхностной плотностью , где const, - полярный угол. Найти модуль результирующей электрической силы, которая действует на весь индуцированный заряд одного знака.

Решение.

Сила, действующая на участок площади , со стороны электрического поля:

Возьмём симметричные относительно оси точки.

Проведём вектора силы. Определим направление с помощью принципа суперпозиции. Как видно из рисунка, результирующий вектор направлен горизонтально. Для его нахождения достаточно сложить проекции на ось .

Элемент площади поверхности в сферической системе координат:

С учётом (3) можем вычислить поверхностный интеграл из (2):

Ответ: .

2.83. Точечный заряд находится в центре шара из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью . Найти поляризованность как функцию радиус-вектора относительно центра системы, а также заряд внутри сферы, радиус которой меньше радиуса шара.

Решение. 1) Рассмотрим шар из диэлектрика. В центре шара расположен сторонний заряд.

Теорема Гаусса для вектора электрического смещения:

Предположим, что точечный сторонний заряд . Тогда направлен от данного заряда ( ) и сонаправлен с нормалью к поверхности шара.

В теореме Гаусса получаем:

Находим модуль вектора :

Используем связь между векторами и :

Отсюда можем найти напряжённость электрического поля, создаваемую данным сторонним зарядом:

Модуль вектора поляризации также связан с напряжённостью электрического поля:

Перейдём от модуля к вектору ( ):

Чтобы перейти от модуля, к вектору умножим правую часть на :

2) Для вычисления заряда воспользуемся теоремой Гаусса для вектора :

Ответ: ; .