ВМ методичка с сдо

13

8)Прямоугольный параллелепипед с высотой 25см, стороной основания 60 и диагональю основания 100см.

9)Равнобедренная трапеция со сторонами основания, равными 34 и 58см. и высотой равной 5см.

10)Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания равной 120см. и высотой равной 80см.

11)Конус с высотой равной 12см. и радиусом основания, равным 5см.

12)Прямоугольный параллелепипед с высотой 20см стороной основания 50 и диагональю основания 130см.

13)Цилиндр с образующей равной 60см. и главной диагональю равной

100см.

14)Равнобедренная трапеция со сторонами основания, равными 20 и 32см. и высотой равной 8см.

15)Правильная четырехугольная пирамида со стороной основания равной 24см. и высотой равной 5см.

16)Прямоугольный параллелепипед со стороной основания 12см, его диагональю 13см и высотой 40см.

2. Приближение функций

Во многих случаях функция задается таблично, то есть, известны её значения только в узловых точках (узлах):

Таблица 2.1

Необходимо построить функцию, приблизительно описывающую зависимость между узлами. Приближающая функция обычно берется в виде суммы элементарных функций. На практике используются степенные, показательные, тригонометрические функции. В дальнейшем будем рассматривать полиномиальное приближение, т.е. приближающая функция имеет вид:

14

Существуют два основных критерия (условия) построения приближающих функций. Критерий интерполяции требует, чтобы приближающая функция проходила через узлы. Критерий аппроксимации требует минимизации некоторого функционала.

2.1. Интерполяционные полиномы

Полином степени n однозначно определяется своими значениями в n+1 точке с попарно разными абсциссами: xi x j , если i j . Действительно,

выпишем согласно критерию интерполяции систему уравнений:

ственное решение, если xi x j так как в этом случае определитель не равен 0.

Существуют методы, позволяющие избежать непосредственного решения системы уравнений для нахождения ai .

2.2. Интерполяционный полином Лагранжа

Рассмотрим в начале n=1 (2.1):

Подставляя коэффициенты в 1(x) , получим:

двух линейных функций, независящих от ординат, умноженных на ординаты и обладающих свойством:

В этом состоит идея построения интерполяционного полинома Лагранжа. Для произвольного значения n запишем интерполяционный полином в виде:

n (x) y0 L0 (x) y1L1(x) ... yn Ln (x) ,

где Li полиномы степени не выше n, не зависящие от ординат, и обладающие

Li (x) (x x0 )(x x0 )...(x xi 1)(x xi 1)...(x xn ) ,

Ni

где Ni - коэффициент, который находится из условия Li (xi ) 1. В результате интерполяционный полином Лагранжа имеет вид:

Достоинства интерполяционного полинома Лагранжа является простота конструкции. При заданном наборе абсцисс узловых точек и выбранной расчетной

точке x*упрощается вычисления для различных ординат yi . Недостаток – до-

бавление (n+1)-ого узла (xn 1, yn 1 ) требует перерасчета всех слагаемых.

Погрешность вычисления: пусть f (x) – функция n+1 – раз дифферен-

цируемая и Pn (x) – приближающий её интерполяционный полином.

Интерполяционный полином Лагранжа при линейных преобразованиях x = at + b (t- новая переменная) – сохраняет свой вид.

2.3. Интерполяционный полином Ньютона

Пусть n=0, тогда P0 (x) y0 , если n=1, то выражение для полинома

струкция интерполяционного полинома Ньютона такова:

Pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )(x x1) a3 (x x0 )(x x1)(x x2 )an (x x0 )(x x1) (x xn 1)

Рассматривается равномерная сетка, т.е. xi x0 ih .

Для дальнейшего анализа вводится понятие конечных разностуй. Конечной разностью первого порядка называется величина

y(x) y(x h) y(x), x [x0 , xn ].

Конечная разность второго порядка определяется по первой

2 y(x) y(x h) y(x) y(x 2h) 2 y(x h) y(x)

щенным произведением. Его первая конечная разность равна:

17

Отсюда следует выражение для конечных разностей для обобщенного произведения высших порядков.

Подставляя x0 в Pn (x) , получим: a0 Pn (x0 ) y0 . Далее, определим

Общая формула имеет вид: ai (i) y0 . i!hi

В результате получаем первый интерполяционный полином Ньютона:

Построенный таким образом интерполяционный полином проходит через узловые точки.

Второй интерполяционный полином Ньютона позволяет начать интерполяцию с точки xn , т.е. улучшить точность приближения на правой границе интервала интерполяции

Pn (x) a0 a1(x xn ) a2 (x xn 1)(x xn )

a3 (x xn 2 )(x xn 1)(x xn ) an (x x1)(x xn 1) (x xn )

18

Из структуры полинома следует, что a0 yn .

Для построения 1-ого интерполяционного полинома Ньютона необходима 1-ая строка табл. 2.2. Для построения 2-ого интерполяционного полинома Ньютона необходима побочная диагональ таблицы. Обычно при машинных расчётах массив ординат узловых точек последовательно преобразуется в массив коэффициентов ai , так что они запоминаются в соответствующих элементах массива.

2.4. Примеры и задания для практических занятий

Пример: Дана таблица узлов. Построить интерполяционный полином Лагранжа и провести проверку табл. 2.3.

20

3y0 (x x0 )(x x1)(x x2 ) 6h3

N

Варианты задаются по номерам столбцов табл.2.4 и 2.5 в виде дробей: y ,

N x

например, 92 означает, что для узловых точек по х и у выбираются девятый и

второй варианты соответственно. Каждый студент должен получить три таких дроби для расчета интерполяционного полинома Лагранжа, первого и второго интерполяционного полинома Ньютона. Результат необходимо представить в

виде: P3 (x) a0 a1x a2 x2 a3 x3 ,

21

где коэффициенты правильные или не правильные дроби, не десятичные. Проверка производится подстановкой узловых точек.

Таблица 2.4

Таблица 2.5

2.5 Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов

Критерий аппроксимации требует, чтобы отклонение приближающей функции ют узлов бвло минимальным.

В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами (xi, yi), i = 0, 1, 2,... , n, где n – общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности (рис. 2.5)

22

Рис.2..1 Геометрическая интерпретации аппроксичации.

При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, многочлен), которая позволила бы "сгладить" экспериментальные погрешности, вычислять значения функции в точках, не содержащихся в исходной таблице.

Эта функциональная зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. В качестве критерия точности чаще всего используют критерий наименьших квадратов, т.е. определяют такую функциональную зависимость f(x), при которой среднеквадратичное отклонениеобращается в минимум:

Погрешность приближения оценивается величиной среднеквадратического уклонения

В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен

Формула (2.5.1) примет вид

= ∑( − ( ))2

=0