Добавил:

ukusezha Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

Вычислительная математика

Файл:

ВМ методичка с сдо

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.02.2025

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Рассмотрим сначала прямые методы. Наиболее известным является метод Гаусса, поскольку другие методы являются, как правило, его модификацией.

5.2. Прямые методы решения СЛАУ

Количество операций для решения системы ~ n3 . Матрица A либо неявно обращается, либо представляется в виде произведения матриц удобных для обращения.

В первом случае матрица Aпоследовательно преобразуется с помощью элементарных (эквивалентных) преобразований:

1.Перестановка столбцов и строк.

2.Умножение столбцов и строк на число.

3.Прибавление к строке (столбцу) другой строки, умноженной на число. Каждое элементарное преобразование можно представить в виде матри-

цы Li , в результате последовательного умножения A на Li , она преобразуется в единичную матрицу:

Ln..L2L1A x Ln..L1b

5.2.1. Метод Гаусса (Метод исключений)

Формально, метод Гаусса основан на последовательном применении мат-

риц

	1	0	0				a
					1		a
	0	lii	0	; lii	1	; lij	ij
Li							aii	(5.2.1.1)
Li					aii			(5.2.1.1)
	0	l	0		aii
		ij
	0	lni	0
	0	lni	0

Пример для матрицы (3 3):

a111

0 0

a11

a12

a13

a21

1 0

a21

a22

a23

a11

a32

a31

a33

a11

a12

a13

a11

0 a22

a23

a11

a12 a31

a13 a31

0 a

a11

Действие матрицы Li

преобразуют элементы i -го столбца матрицы A

ниже диагонали в нулевые (т.е. исключают их).

5.2.2.Вычислительная схема метода Гаусса

Вкаждом уравнении выделяется ведущий элемент, на который производится деление; пусть это будет a11. Делим первое уравнение на a11:

	a1 j		b
c1 j		g1	1
c1 j	a11	g1	a11
	a11		a11

Все остальные элементы преобразуются по схеме:

1 a a

a1 j

;

b 1 b a

(5.2.2.1)

i i1

x1 c12 x2 ... c1n xn
	a221 x2	... a21n xn
	a221 x2	... a21n xn
................................

	a 1 x	... a 1 x
	n2 2	nn n

b21

bn1

На втором шаге ведущим элементом выбирается a22(1) , на него делится вторая строка, а все остальные элементы преобразуются по формуле:

c		c21j		; g	b21	;
c		a 1		; g	a 1	;
2 j		a 1	2		a 1
2 j			2
	22				22
									(5.2.2.2)
aij2 aij1 ai12	a21j		; bi 2 bi1 ai12				b21		;

	a 1
	a 1						a	1
	22							22

Элементы во втором столбце с i 2 становятся равны 0. В результате таких преобразований, мы приходим к верхней треугольной матрице с единичной диагональю:

	1	c12 ...
	0	1 ...

... ... ...

	0	0 ...

c1n c2n

...

			x1			g1

			x2			g2
			...			...
			...			...


			xn			gn

Преобразование к верхней треугольной матрице называется прямым хо-

дом.

Далее следует обратный ход: начиная с xn , последовательно вычисляются компоненты вектора:

xn gn ; xn 1 gn 1 cn 1,n xn ;

	n
xk gk	cki xi , k n, n 1, ,1.	(5.2.2.3)
	i k 1
В машинных расчетах в качестве ведущего элемента обычно выбирается
максимальный элемент i - го столбца с	j i или строки aij с i j .

Эта строка (или столбец) переставляются на место i -ой строки (столбца). Такой выбор уменьшает ошибки округления. При ручных расчетах элементы

матрицы записываются вместе с элементами вектора b в расширенную матрицу:

a	a	a	b
a	a	a	b
11	12	13	1
a21	a22	a23	b2	далее
	a32	a33	b3
a31	a32	a33	b3

из соображений удобства выбирают ведущий элемент, а преобразование остальных элементов на одном шаге прямого хода метода Гаусса проводят по правилу прямоугольника. В матрице выделяется прямоугольник, на главной диагонали которого расположены ведущий и преобразуемый элементы.

Пусть aii - ведущий элемент, тогда

a(1)	a	kt	akiait	.	(5.2.2.4)

kt			aii

Из преобразуемого элемента вычитается произведение элементов, стоящих на побочной диагонали, деленное на ведущий элемент.

5.2.3. Ортогонализация матриц
Матрица называется ортогональной, если A AT	D	, D - диаго-
нальная матрица, т.е. в ней отличны от нуля только диагональные элементы,
если A AT E , то A - ортонормированная матрица. Любая неособенная
матрица A может быть представлена в виде: A R T ,	R - ортогональная, а T
– верхняя треугольная матрица с единичной диагональю.


Рассмотрим матрицу А, как набор вектор – столбцов ai ,	A [a1		a2	an ] -


вектора ai - линейно независимы, т.к. det A 0. Выберем первый столбец

матрицы R	- r1, равным a1			; ri	a1.
							0 позволяет по-
Запишем a2	t12r1	r2 ,	условие ортогональности R r1			, r2	0 позволяет по-

лучить t12 :

, t

r , a

r , r

r1, r1

следовательно, известен и вектор r2

t12r1. Аналогичным образом пред-

t23

ставляется и a3

t13 r1

r3, где

r1, a3 ,

, a3

, r1

, r2

В общем случае получим выражения:

k 1

rk ak tik i 1

Покажем, что tik - элементы матрицы Т.


a1	r1

a2	t12 r1	r2	, или иначе:
			, или иначе:
a3	t13 r1	t23 r2	r3


ri , tik	ri , ak		.	(5.2.3.1)

	ri	, ri

Действительно:

a11

a21

a31

a12	a13	r11	r12	r13		1		t12	t13
a22	a23		r22	r23			0	1	t23
a22	a23	r21	r22	r23			0	1	t23
a	a	r	r	r		0		0	1 .
32	33	31	32	33				.
.			.	.	.			.	.

5.2.4. Решение системы уравнений методом ортогонализации

Оптимальной является следующая схема, основанная на свойствах векто-

ра r . Запишем систему

A x

в виде: a1

x1 a2

an xn

0, (i>j).

Из структуры векторов r

следует, что ri , a j

Умножаем систему слева на rn :

rn a1

x2 an xn rn b

в уравнении остается одно слагаемое: rn

rn b .

rn , b

;

, an

(1)

n 1

1 1

n r a


Полученную систему умножим на rn 1, находим
	r , b n i

xi	i	;	b i b i 1
	ri , ai

xn 1и вычисляем

n i 1 n i 1

x a .

b 2 и т.д.

(5.2.4.1)

5.3.Итерационные методы решения СЛАУ

5.3.1.Метод простой итерации

Многие итерационные методы могут быть сведены к процессу простой итерации. При этом исходное уравнение тем или иным способом должно быть сведено к уравнению


x	Bx	b	(5.3.1.1)

Здесь x - неизвестный вектор, b - заданный вектор правой части, B - за-

данная матрица коэффициентов (оператор). Например, если задана СЛАУ (5.1), то непосредственно принимая

	B I A,				(5.3.1.2)
где I - единичная матрица, приходим к (5.3.1.1).
Процесс простой итерации строится следующим образом:
			k 0,1,2,...
x(k 1)	Bx	(k ) b ,	k 0,1,2,...		(5.3.1.3)

В качестве начального приближения x(o) можно принять				x	(o) b .

Заметим, что переход от (5.1) к (5.3.1.1) может быть выполнен не единственным способом, что приводит к различным модификациям метода простой итерации. Так, метод (5.3.1.3) с преобразованием (5.3.1.2) известен в литерату-

ре как метод Ричардсона. Другие методы простой итерации будут рассмотрены в разделе 5.3.2.

Процесс простой итерации может быть эквивалентно записан также в виде ряда по степеням оператора B , т.е., в виде, так называемого, ряда Неймана

x b Bb B2b

... Bib

(5.3.1.4)

i 0

Если матрица B постоянна (не зависит от номера итерации k ), то такой

итерационный процесс называется стационарным.

Пусть

x - «гипотетическое» точное решение, строго удовлетворяющее

(k) x(k) x - ошибка на k -м шаге. Подставляя в фор-

x Bx b , а x

мулу простой итерации получаем для соотношения ошибок на

k 1 и k -м

(k 1)

(k)

Для

нормы

ошибки:

шаге x

B x

x(k 1)

x(k )

x(1)

Отсюда следует достаточное условие сходимости процесса простой итерации:

B , 1.

Действительно, тогда

x(k 1)

x(1)

Оператор с

1 называется сжимающим, а процесс (5.3.1.2),

(5.3.1.3) для него сходящимся, т.к. ошибка убывает с каждым шагом,

незави-

симо от её начальной величины.

Спектральным радиусом матрицы (конечномерного оператора)

B назы-

вается (B) max

, где

i - собственные числа оператора B (см. 5.4).

Для любой нормы справедливо соотношение (B)

Доказывается, что необходимым и достаточным условием сходимости

процесса простой итерации (5.3.1.3) является

(B) < 1,

(5.3.1.5)

при этом итерации сходятся не хуже геометрической прогрессии со знаменателем q (B).

Условие (5.3.1.5) является, как правило, сильным ограничением при

непосредственном применении метода (5.3.1.2), (5.3.1.3) к заданной СЛАУ.

Выбор нового оператора B с другим спектром при эквивалентности исходной

системе (5.1) может значительно расширить область сходимости процесса про-

стой итерации с его участием:
		~
	(k 1)		~		k 0,1,2,...
x		Bx	(k ) b	,		(5.3.1.6)

В качестве условия выхода из вычислительного процесса по достижении заданной точности решения , аналогично (3.5.1), можно принять:

			1 q
			1 q
	x	(k 1) x(k )		, где q спектральный радиус B или какая-либо оценка
	x	(k 1) x(k )	q	, где q спектральный радиус B или какая-либо оценка
			q
другой нормы B .
				5.3.2. Метод Якоби и метод Зейделя
		Исторически одними из самых ранних итерационных методов являют-

ся метод Якоби и метод Зейделя, которые могут быть представлены в виде модификации метода простой итерации. Перепишем (5.1) в следующем виде

	1
x1 a11 (b1 a12 x2 a13x3 ... a1n xn )

....................................................

	1
xi	1		(bi ai1x1 .. aii 1xi 1 aii 1xi 1 .. ain xn ) (5.3.2.1)
xi			(bi ai1x1 .. aii 1xi 1 aii 1xi 1 .. ain xn ) (5.3.2.1)
	aii
....................................................

		1		(b a x a x	... a x
x		1				)
x						)
n				n n1 1 n2 2	nn 1 n 1
		ann

Используем (5.3.2.1)

для построения

процесса

итераций,

начиная с

, k 0,1,2,...:

x(0) b при k 0

xi(k 1)

(b a

x(k) ... a

x(k)

x(k) ... a

x(nk))

i,1

i,i 1

i 1

i,i 1

i 1

i,n

ai,i

i 1,2,...,n.

(5.3.2.2)

В матричных обозначениях метод Якоби можно записать следующим об-

разом.

Представим

C D A,

где

D -

диагональная

матрица,

,i 1,2,...,n ,

0,i j .

C - матрица с нулевой главной

i,i

i, j

диагональю. Тогда справедлива запись уравнения аналогично (5.3.1.6), где

D 1C ,

b D 1b

(5.3.2.3)

Матрица D 1-

диагональная и

D 1

1 A

, i 1,2,...,n. Необхо-

i,i

димые и достаточные условия сходимости метода Якоби

(D 1(D A)) 1

Другой известный метод простой итерации для случая, когда

B строит-

ся на основе матрицы с нулевой главной диагональю - это метод Зейделя. Он


отличается от метода Якоби тем, что при расчете								координат вектора x(k 1) на
текущей k 1-й		итерации			используются не только координаты вектора на
предыдущей k -й итерации
предыдущей k -й итерации					x(k ) , но и уже ранее найденные на текущей ите-

рации координаты вектора x(k 1) :
xi(k 1)	1		(b a		x(k 1)	... a	x(k 1) a		x(k)	... a	x(nk))
xi(k 1)			(b a		x(k 1)	... a	x(k 1) a		x(k)	... a	x(nk))
			i	i,1	1	i,i 1	i 1	i,i 1	i 1	i,n
	ai,i
i 1,2,...,n.					k 0,1,2,...:					(5.3.2.4)
В матричных обозначениях это соответствует представлению исходной
матрицы A как		A L D U , где L -нижняя треугольная матрица, D -

диагональная матрица, D i,i A i,i ,i 1,2,...,n и U - верхняя треугольная

матрица.

В отличие от метода Якоби действие оператора B на вектор предыдущей итерации разделяется здесь на две части:

~ (k )	D	1	(k 1)	D	1 (k )	(5.3.2.5)
Bx	D		Lx	D	Ux	(5.3.2.5)

и процесс его воздействия (но не результат!) нельзя свести к воздействию ка- кой-либо матрицы на вектор предыдущей итерации.

Метод Зейделя хорошо алгоритмизируется. Если известна скорость схо-

							(k ) .
димости метода, нет необходимости хранить оба вектора x(k 1) и						x	(k ) .
Достаточными условиями сходимости методов Якоби и Зейделя является
диагональное преобладание в матричных элементах:
				, q 1,	для всех i 1,2,...,n,
q	a		a
q	a		a
	i,i	j i	i, j
		j i

однако на практике область сходимости значительно шире и определяется условием (5.3.1.5) на спектральный радиус матрицы (5.3.2.3) для метода Якоби и оператора (5.3.2.5) для метода Зейделя. Для решения СЛАУ с ленточными матрицами метод Зейделя является превосходным инструментом. Так, для симметричных положительно определенных матриц он будет всегда сходящимся. Однако возможно улучшение сходимости как метода Зейделя, так и любого другого метода простой итерации с помощью изложенного ниже метода оптимального спектрального параметра.

5.3.3. Метод оптимального спектрального параметра (ОСП) для простой итерации

Рассмотрим случай, когда спектр оператора B выходит за границы единичного круга на комплексной -плоскости собственных чисел. В этом случае ряд простой итерации (5.3.1.3) расходится.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Вычислительная математика

#
06.02.20252 Мб2ВМ методичка с сдо.pdf
#
06.02.20251 Мб2численные методыА.Б. САМОХИН, В.В. ЧЕРДЫНЦЕВ, А.А. ВОРОНЦОВ.pdf

a12	a13	r11	r12	r13		1		t12	t13
a22	a23		r22	r23			0	1	t23
a22	a23	r21	r22	r23			0	1	t23
a	a	r	r	r		0		0	1 .
32	33	31	32	33				.
.			.	.	.			.	.

a12	a13	r11	r12	r13		1		t12	t13
a22	a23		r22	r23			0	1	t23
a22	a23	r21	r22	r23			0	1	t23
a	a	r	r	r		0		0	1 .
32	33	31	32	33				.
.			.	.	.			.	.

a12	a13	r11	r12	r13		1		t12	t13
a22	a23		r22	r23			0	1	t23
a22	a23	r21	r22	r23			0	1	t23
a	a	r	r	r		0		0	1 .
32	33	31	32	33				.
.			.	.	.			.	.