Множества Пересечение множеств — содержит элементы, принадлежащие множеству а и б.

Внутренняя точка — входит во множество вместе со своей окрестностью.

Граничная точка — некоторые точки окрестности не входят во множество.

2. Выпуклые множества:крайняя точка,гиперплоскость,теорема о разделяющей гиперплоскости,опорная гиперплоскость,выпуклая оболочка.

Гиперплоскость

Это подпространство, размерностью на 1 меньше изначального пространства.

Теорема о разделяющей гиперплоскости

Имеются два множества в двумерном пространстве. Гиперплоскость будет представлять из себя одномерную прямую линию. Эта линия будет проходить между двух пространств, разделяя их друг от друга.

Опорная гиперплоскость

Как я понял, опорная гиперплоскость, это просто когда гиперплоскость касается круга и имеет одну точку пересечения с ним.

Выпуклая оболочка

Выпуклой оболочкой множества X называется наименьшее выпуклое множество,

содержащее X. «Наименьшее множество» здесь означает наименьший элемент по отношению к вложению множеств, то есть такое выпуклое множество, содержащее данную фигуру, что оно

содержится в любом другом выпуклом множестве, содержащем данную фигуру.

3. Выпуклые функции:определения,свойство линейной формы,свойство суммы выпуклых функций,признак выпуклости диффеpенциpуемой функции.

Выпуклая функция (выпуклая вниз)

Непрерывная на интервале интервале ( , ) функция , называется выпуклой вниз , если для любых точек , и любого числа справедливо неравенство:

Например квадратичная парабола Если непрерывная функция выпукла вниз на интервале ( , ), то для любых его точек

, график функции на отрезке расположен ниже хорды, стягивающей концевые точки графика на этом отрезке (см. рис.1, а)).

Выпуклая функция (выпуклая вверх)

Например:

Если непрерывная функция выпукла вверх на интервале ( , ), то для любых его точек

, график функции на отрезке расположен выше хорды, стягивающей концевые точки графика на этом отрезке (см. рис.1, b)).

Вправой части неравенства стоит значение функции в произвольной точке

, расположенной на отрезке , содержащемся в интервале ( , ). Левая часть в неравенства выражает собой ординату точки координатной плоскости, абсцисса

которой равна , и которая лежит на прямолинейном

отрезке (хорде), соединяющем точки и графика функции .

Свойство линейной формы

Линейная форма функции:

Так как линейная функция является одновременно выпуклой и вогнутой функцией, то вытекает следующее утверждение.

Если — линейная функция (но не постоянная), заданная на выпуклом замкнутом

ограниченном многограннике X, то минимумы (максимумы) достигаются в угловых

точках. Если при этом точка минимума (максимума) не единственна, то множество точек минимума (максимума) является выпуклым. Все минимумы (максимумы) являются глобальными. Таким образом, при поиске минимума (максимума) линейной функции на выпуклом замкнутом ограниченном многограннике достаточно рассмотреть угловые точки многогранника.

Свойство суммы выпуклых функций

Сумма выпуклых на выпуклом множестве Х функций является выпуклой функцией.

Доказательство:

выполняются неравенства:

Сложив эти неравенства, для функции получаем:

Заметим, что теорема будет справедливой и в случае суммы произвольного конечного числа выпуклых функций.

Признак выпуклости дифференцируемой функции

Для того, чтобы дифференцируемая на (a, b) функция была выпукла вниз (вверх) на этом

интервале, необходимо и достаточно, чтобы её производная функция ′ не убывала (не возрастала) на этом интервале.