15. Метод золотого сечения,методы оценивания с использованием квадратичной аппроксимации.

Методы оценивания с использованием квадратичной аппроксимации ((оцениваем местонахождение точки ))

должна быть непрерывной унимодальной и достаточно гладкой.

Выбираем точки эксперимента вычисляем функции в этих точках исходную функцию заменим на

Оценка точки :

Скорость сходимости – суперлинейная.

16. Метод средней точки,метод касательных,метод секущих.

Метод средней точки

https://vuzlit.com/895112/metod_sredney_tochki Пиздец машинный перевод аки гта са

Пусть - унимодальная, непрерывно дифференцируемая на отрезке функция и на этом отрезке точка x* является единственной стационарной точкой. Сведем задачу нахождения минимума функции f(x) к решению нелинейного уравнения

. (1.14)

Положим

Так как функция удовлетворяет условию (1.14), то она принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е.

.

Разделим отрезок пополам. Получим точку . Вычислим . Если , то -

искомый корень, и задача решена. Если не равно 0, то - число определенного знака: , либо . Тогда либо на концах отрезка , либо на концах отрезка значения функции f '(x) имеют разные знаки. Обозначим такой отрезок ]. Очевидно,

что , и длина отрезка в два раза меньше, чем длина отрезка . Поступим аналогично с отрезком . В результате получим либо корень , либо новый отрезок

, и т.д. (рис.1.4 ).

Рис. 1.4

Середина n-го отрезка . Очевидно, что длина отрезка будет равна , а т. к. , то

. (1.15)

Оценка (1.15) характеризует погрешность метода средней точки и указывает на скорость сходимости: метод сходится со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой

.

Если задана требуемая точность , то процесс вычислений следует закончить, когда

выполнится условие , после чего полагают .

Алгоритм 1.5 (Алгоритм метода средней точки).

Шаг 1. Ввести исходные данные: a, b, .

Шаг 2. Определить .

Шаг 3. Вычислить .

Шаг 4. Проверить критерий окончания вычислений. Если , , перейти к шагу 6, иначе - к шагу 5.

Шаг 5. Перейти к новому отрезку локализации . Если , то положить . Иначе положить . Перейти к шагу 2.

Шаг 6. Положить . Вычислить .

Реализация в пакете MathCAD 14 КРУТО

В итоге получаем f(x*) = -3.749, x*=0.382 с точностью за 15 итераций.