МАТАН ЭКЗАМЕН / 38 / разложение по формуле маклорена

Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена

1. Разложение функции f(x)=e^x в ряд Маклорена.

f(x)=f′(x)=f″(x)=…=f⁽ⁿ⁾(x)=…=e^x.

f(0)=f′(0)=f″(0)=…=f⁽ⁿ⁾(0)=…=1.

Составим для функции f(x)=e^x формально ряд Маклорена: 1+ .

Найдём области сходимости этого ряда.

 при любых x, следовательно, областью сходимости ряда является промежуток  (-∞;+∞). Заметим, что так как ряд сходится абсолютно, то   при любых хи тем более  при любых х. Так как f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=e^x и f⁽ⁿ⁺¹⁾(с)=e^с, то =e^c=0. Таким образом, имеет место разложение при x(-∞;+∞)

e^x=1+ .     (32)

2. Разложение функции f(x)=sinx в ряд Маклорена.

Вычислим производные данной функции.

f′(x)=cosx=sin(x+), f″(x)=-sinx=sin(x+),

f″′(x)=-cosx=sin(x+), f⁽⁴⁾(x)=sinx=sin(x+), …, f⁽ⁿ⁾(x)=sin(x+), … . Вычислим значения f(x) и производных в точке 0: f(0)=0, f′(0)=1, f″(0)=0, f″′(0)=-1, f⁽⁴⁾(0)=0, …, f^(2n-1)(0)=(-1)^n-1,f⁽²ⁿ⁾(0)=0.

Исследуем остаточный член ряда.

|R_n(x)|= = так как |sin(c+(n+1)|≤1. Переходя к пределу при n→∞, получаем  следовательно,  и . Рекомендуем показать самостоятельно, что областью сходимости ряда является промежуток (-∞;+∞). Таким образом, имеет место разложение при x(-∞;+∞):

sinx=x- .             (33)

3. Разложение функции y=cosx в ряд Маклорена. Дифференцируя ряд (33), получаем разложение при        x(-∞;+∞):

cosx=1- .            (34)

4. Биномиальный ряд.

Разложим в ряд Маклорена функцию f(x)=(1+x)^m, где m≠0 – любое действительное число. Для этого вычислим производные: f′(x)=m(1+x)^m-1, f″(x)=(m-1)m(1+x)^m-2, f″′(x)=(m-2)(m-1)m(1+x)^m-3, …, f⁽ⁿ⁾(x)=(m-n+1)…(m-2)^.(m-1)m(1+x)^m-n, … При x=0 получаем f(0)=1, f′(0)=m, f″(0)=(m-1)m,  f″′(0)=(m--2)(m-1)m, …, f⁽ⁿ⁾(0)=(m-n+1)…(m-2)(m-1)m, … .

Можно показать, что областью сходимости ряда является промежуток (-1;1) (на концах интервала ряд сходится или расходится в зависимости от конкретных значений m) и что . Таким образом, при x(-1;1) имеет место разложение:

(1+x)^m=1++++

+…+ .            (35)

Ряд (35) называется биномиальным рядом.

5. Разложение функции f(x)=lnx в ряд Тейлора. При x=0 функция f(x)=lnx не определена, поэтому её нельзя разложить в ряд Маклорена. Разложим её в ряд Тейлора, например, по степеням (x-1). Для этого, вычислим производные: f′(x)=x^-1, f″(x)=-1^.x^-2=-1!x^-2, f″′(x)=1^.2^.x^-3=2!x^-3, f⁽⁴⁾(x)=-1^.2^.     .3^.x^-4=-3!x^-4, …,  f⁽ⁿ⁾(x)=(-1)^n-1.  .(n-1)!x^-n, … .

При x=1 получаем: f(1)=0, f′(1)=1, f″(1)=-1!, f″′(1)=2!, f⁽⁴⁾(1)=-3!, …, f⁽ⁿ⁾(1)=(-1)^n-1(n-1)!, … .

Можно показать, что областью сходимости ряда является промежуток (0;2] и что . Таким образом, при x(0;2] имеет место разложение:

lnx=.             (36)

Заметим, что разложение функций в ряды Тейлора или Маклорена непосредственно часто связано с громоздкими вычислениями при нахождении производных и исследовании остаточного члена. На примерах покажем некоторые приёмы, позволяющие избежать этих трудностей.

Примеры.

1. Разложить в степенной ряд функцию .

В формуле (32) сделаем замену переменной x=-t², получим

 при            t(-∞;+∞). Переобозначая t на x, получим нужное разложение:

 при            x(-∞;+∞).

2. Разложить в степенной ряд функцию f(x)=.

Очевидно, f(x)=. Обозначим x²=t и воспользуемся биноминальным рядом при m=-1.

=

=1-t+t²-t³+…+(-1)^n.tⁿ+… , t(-1;1).          (37)

Возвращаясь к переменной x, получаем разложение при x(-1;1):

=1-x²+x⁴-x⁶+…+(-1)^n.x²ⁿ+… .         (38)

3. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x)=ln(1+x).

Проинтегрируем обе части равенства (37) от 0 до x при x(-1;1). Получим

или

ln(1+x)=x .          (39)

Можно показать, что ряд (39) имеет область сходимости     (-1;1].

4. Разложить в степенной ряд функцию f(x)=arctgx.

Проинтегрируем обе части равенства (38) от 0 до x при x(-1;1):

или

arctgx=x .         (40)

Можно показать, что ряд (40) имеет область сходимости     [-1;1].