МАТАН ЭКЗАМЕН / 38 / применение к вычислению пределов

Применение формулы Тейлора для нахождения пределов и приближённых вычислений.

 7.9.1. Нахождение пределов с помощью формулы Тейлора. Рассмотрим примеры: Понятие дифференциала функции Определение и геометрический смысл дифференциала

. Так как в знаменателе стоит х5, то при представлении функций, стоящих в числителе, по формуле Маклорена, мы должны брать многочлены не ниже пятой степени: ;  (следующий член разложения имеет шестую степень) ,

2. . Здесь мы в выкладках обязаны удерживать члены до четвёртой степени: 

поэтому .

  7.9.2. Приближённые вычисления с помощью формулы Тейлора. В разделе 6.8.4 Применение дифференциала в приближённых вычислениях мы пользовались выражением у(x+х) у(x)+ у'(x) х, которое, как теперь очевидно, содержит два первых члена формулы Тейлора. Формула Тейлора обобщает это выражение; она позволяет проводить более точные вычисления и оценивать точность этих вычислений. Рассмотрим следующий пример: требуется вычислить sin1 с погрешностью, не превышающей 0,00001. Остаточный член в форме Лагранжа для функции  имеет вид, следовательно . Подбором находим, что , следовательно, мы должны взять степени х вплоть до седьмой: