МАТАН ЭКЗАМЕН / 39 / достаточные условия локального экстремума
.docxДостаточные условия локального экстремума
В предыдущих примерах мы видели, что хотя необходимое условие не гарантировало наличие экстремума в критической точке, мы смогли исследовать поведение функции в окрестности этой точки и выяснить, имеется ли в ней экстремум и если да, то какого рода. Однако для выяснения этого нам пришлось иной раз прибегать к искусственным преобразованиям функции, которые во общем случае могут быть не очевидны или затруднительны. В данном разделе мы рассмотрим несколько общих теорем, позволяющих исследовать поведение функции в критической точке.
Теорема 7.5 Пусть -- критическая точка функции . Если функция не убывает в некоторой левой окрестности точки и не возрастает в некоторой её правой окрестности , то точка -- точка локального максимума.
Если же функция не возрастает в некоторой левой окрестности и не убывает в некоторой правой окрестности , то точка -- точка локального минимума.
Доказательство. Если не убывает в , то при всех , поскольку из непрерывности . Точно так же, при всех . Выберем из чисел и наименьшее: и рассмотрим симметричную окрестность . При , очевидно, , то есть -- точка локального максимума.
Вторая половина утверждения теоремы сводится к первой, если положить и заметить, что функция не убывает в и не возрастает в ; локальный максимум функции соответствует локальному минимуму функции .
Замечание 7.4 Найденное достаточное условие локального экстремума гарантирует наличие экстремума в точке . Однако оно не является необходимым: можно найти такую функцию , которая имеет экстремум (например, минимум) в некоторой точке , однако не монотонна ни в какой левой окрестности и ни в какой правой окрестности этой точки. Примером может служить функция
График этой функции зажат между двумя параболами и и в окрестности точки 0 имеет бесконечно много промежутков монотонности, разделённых стационарными точками, так что не монотонна ни на каком интервале вида или . В точке 0 функция непрерывна (по теореме "о двух милиционерах") и имеет минимум, так как при всех .
Заметим кстати, что производная этой функции равна
Эта производная имеет в точке разрыв второго рода.
Теорема 7.6 Пусть -- критическая точка функции , и у этой функции существует производная в некоторой проколотой окрестности . Если при этом в левой окрестности имеет место неравенство , а в правой окрестности -- неравенство , то точка -- точка локального максимума; если же в левой окрестности выполнено неравенство , а в правой окрестности -- неравенство , то точка -- точка локального минимума. Наконец, если производная в левой и в правой окрестности имеет один и тот же знак, то точка не является точкой локального экстремума.
Доказательство. Доказательство первых двух утверждений теоремы сразу же следует из предыдущей теоремы и теоремы 7.2 о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции: из неравенства следует неубывание функции , а из неравенства -- её невозрастание. Последнее утверждение теоремы также очевидно.
Рис.7.25.Связь смены знака производной с локальными экстремумами
Доказанную теорему можно сформулировать следующим образом:
если производная меняет знак с на при переходе через критическую точку , то в этой точке -- локальный максимум функции ; если знак производной меняется с на , то в точке -- локальный минимум; если же знак производной при переходе через не изменяется, то локального экстремума в точке функция не имеет.
Следующая теорема позволяет обойтись для обнаружения экстремума исследованием функции только в точке (а не в её окрестности, как предыдущие теоремы), но зато требует привлечения второй производной.
Теорема 7.7 Пусть -- стационарная точка функции , и в этой точке существует вторая производная , причём . Тогда при точка есть точка локального максимума, а при -- локального минимума.
Доказательство. Поскольку , то по определению производной
Пусть . Тогда из существования предела следует, что для любого из некоторой достаточно малой проколотой окрестности точки выполняется то же неравенство для допредельного выражения, то есть
при . Поскольку, по предположению теоремы, -- стационарная точка, то , откуда , то есть имеет знак, противоположный знаку : при и при . Остаётся лишь применить теперь предыдущую теорему, из которой следует, что -- точка локального максимума.
Доказательство для случая совершенно аналогично.
Пример 7.24 Рассмотрим функцию . Её производная равна ; решая уравнение , находим стационарные точки функции : это . Чтобы определить поведение функции в этих стационарных точках, найдём вторую производную и выясним, какой она имеет знак в каждой из этих трёх точек. Имеем: . Отсюда , следовательно, в точке функция имеет локальный минимум; то же в точке , поскольку также равняется 8. В каждой из этих двух точек значение функции равно .
В точке получаем , поэтому в точке 0 функция имеет локальный максимум. Значение в этой точке равно 0.
Рис.7.26.Три локальных экстремума функции
Замечание 7.5 В последней теореме ничего не говорится о том, что происходит в стационарной точке в случае, когда . В этом случае в точке может быть как локальный экстремум (возможен и максимум, и минимум), так и не быть экстремума. В этом нас убеждают следующие три примера.
Пример 7.25 Функция имеет единственную стационарную точку . Вторая производная принимает в этой точке значение 0, сама же функция не имеет экстремума в точке 0.
Рис.7.27.Функция не имеет экстремума в стационарной точке 0
Пример 7.26 Функция также имеет единственную стационарную точку . Вторая производная принимает в этой точке значение 0, сама же функция имеет в точке 0 минимум.
Рис.7.28.Функция имеет минимум в стационарной точке 0, в которой
Пример 7.27 Функция также имеет единственную стационарную точку . Её вторая производная принимает в стационарной точке значение 0, а сама функция имеет в этой точке максимум.
Рис.7.29.Функция имеет максимум в стационарной точке 0, в которой
Для того, чтобы разобраться в поведении функции в такой стационарной точке , в которой , можно применить такую теорему:
Теорема 7.8 Пусть функция имеет -ю производную в некоторой окрестности точки и эта производная непрерывна в точке . Предположим, что
Тогда, если число -- нечётное, то в точке функция не имеет локального экстремума; если же число -- чётное, то при в точке функция имеет локальный максимум, а при -- локальный минимум.
Доказательство. Для доказательства заметим, что если разложить по формуле Тейлора в точке с остаточным членом в форме Лагранжа, то получим
(где лежит между и ), поскольку слагаемые со степенями бинома , меньшими , имеют, по предположению, нулевые коэффициенты. Следовательно, приращение функции можно представить в виде
Поскольку и непрерывна в точке , то в некоторой окрестности точки она сохраняет тот же знак, что у числа , в частности, знак числа при , близких к , -- тот же, что у числа .
Мы видим, что при нечётном приращение меняет знак при переходе через точку , поскольку меняет знак множитель в правой части. Значит, в этом случае локального экстремума в точке нет.
При чётном этот множитель положителен при всех , следовательно, приращение (при малых ) имеет тот же знак, что и : при (неравенство означает, что -- точка локального максимума) и при (неравенство означает, что -- точка локального минимума).
Замечание 7.6 Даже в этом усиленном виде ( теорема 7.8) достаточный признак экстремума, связанный со значениями производных высших порядков, не всегда отвечает на вопрос о том, есть ли локальный экстремум в стационарной точке. Дело в том, что, как мы видели выше, существуют такие функции, у которых все производные в некоторой точке обращаются в 0, и тем не менее функция отлична от 0 всюду, кроме этой точки. Примером может служить функция, которую мы рассматривали в главе 6 (замечание 6.2):
Эта функция имеет стационарную точку , характер которой нельзя распознать, применив теорему 7.8, поскольку при всех . Однако очевидно, что при всех , так что -- точка минимума функции .
Кроме того, заметим, что может быть не выполнено предположение о непрерывности производной -го порядка в точке , даже если эта производная существует при всех . В качестве примера рассмотрите самостоятельно функцию
Эта функция имеет минимум (равный 0) в точке . Производная этой функции существует при всех и равна
Найдите и исследуйте вторую производную этой функции.