МАТАН ЭКЗАМЕН / 29 / метод остроградского

Остроградского метод интегрирования рациональных дробей

Остроградского метод интегрирования рациональных дробей. Рассмотрим рациональную дробь – выражение вида , где числитель и знаменатель – многочлены степени m и n соответственно. При этом мы будем рассматривать случай, когда дробь правильная, т.е. когда , в противном случае сначала выделим «целую часть» дроби (см. Дробь рациональная, Дробь смешанная).  В случае, когда знаменатель рациональной дроби имеет несколько корней большой кратности и не имеет простых корней (т.е. корней кратности 1 – см. Корень многочлена), при ее интегрировании удобно применять метод Остроградского.  Суть метода состоит в том, что интеграл представляют в следующем виде: ,      (1)  где знаменатель подынтегральной функции правой части – многочлен  – имеет лишь простые корни, причем  они –  все различные корни многочлена Q_n(x); знаменатель первого слагаемого правой части – многочлен – частное от деления многочлена Q_n(x) на многочлен , а числители обоих слагаемых правой части – многочлены  и – многочлены с неопределенными коэффициентами, степени которых на 1 меньше степеней соответствующих знаменателей. После нахождения всех четырех многочленов правой части (это делается с помощью почленного дифференцирования выписанного выше равенства Остроградского (1)) полученный справа интеграл легко считается методом разложения на простейшие дроби, причем из-за того, что все корни знаменателя подынтегральной функции правой части простые, получаются табличные интегралы вида и/или , где p² – 4q < 0 – знаменатель дроби в подынтегральной функции последнего интеграла не имеет действительных корней