ИДЗ

По полученным данным можно построить общую траекторию спуска

(рисунок 2.2.3)

Рисунок 2.2.3 – Траектория спуска для функции f5(x) методом Нелдера-Мида

Рисунок 2.2.4 – Работа программы для функции f5(x) методом Быстрого спуска последние итерации

22

Рисунок 2.2.5 – График программы для функции f5(x) методом Быстрого спуска

Все необходимые данные и значения занесены в таблицу 2.2.

Таблица 2.2 – Результаты

23

Заключение

В ходе выполнения данной работы были изучены и применены на практике методы золотого сечения и дихотомии для минимизации одномерных функций, а также методы наискорейшего спуска и Нелдера-

Мида для минимизации многомерных функций с особенностью применения градиентного метода для минимизации многомерной функции.

24

Приложение А

Код программы для метода золотого сечения и дихотомии

using System; namespace Lab1_1

{

internal class Program

{

static void Main(string[] args)

{

int N = 0; double A = 0; double Y = 0;

List<double> xf1 = new List<double>(); List<double> xf2 = new List<double>(); List<double> xf3 = new List<double>(); List<double> yf1 = new List<double>(); List<double> yf2 = new List<double>(); List<double> yf3 = new List<double>();

Console.WriteLine("ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ");

Console.WriteLine("\nПервая функчия");

GoldenRatio(FirstFunction(), 0, 10, ref N, ref A, ref Y, ref xf1, ref yf1); Console.Write($"Входная тоцка: *A+, Минимальное знацение функчии = *Y+ Число итерачий: * N+\n");

A = Y = 0; N = 0; xf1.Clear(); yf1.Clear(); Console.WriteLine("\nВторая функчия");

GoldenRatio(SecondFunction(), 0, 10, ref N, ref A, ref Y, ref xf1, ref yf1); Console.Write($"Входная тоцка: *A+, Минимальное знацение функчии = *Y+ Число итерачий: * N+\n");

A = Y = 0; N = 0; xf1.Clear(); yf1.Clear(); Console.WriteLine("\nТретья функчия");

GoldenRatio(ThirdFunction(), 0, 10, ref N, ref A, ref Y, ref xf1, ref yf1); Console.Write($"Входная тоцка: *A+, Минимальное знацение функчии = *Y+ Число итерачий: * N+\n");

A = Y = 0; N = 0; xf1.Clear(); yf1.Clear();

Console.WriteLine("МЕТОД ДИХОТОМИИ");

Console.WriteLine("\nПервая функчия");

DihMeth(FirstFunction(), 0, 10, ref N, ref A, ref Y, ref xf2, ref yf2);

Console.Write($"Входная тоцка: *A+, Минимальное значение функчии = *Y+ Число итерачий: * N+\n");

A = Y = 0; N = 0; xf2.Clear(); yf2.Clear(); Console.WriteLine("\nВторая функчия");

DihMeth(SecondFunction(), 0, 10, ref N, ref A, ref Y, ref xf2, ref yf2);

Console.Write($"Входная тоцка: *A+, Минимальное знацение функчии = *Y+ Число итерачий: * N+\n");

A = Y = 0; N = 0; xf2.Clear(); yf2.Clear(); Console.WriteLine("\nТретья функчия");

DihMeth(ThirdFunction(), 0, 10, ref N, ref A, ref Y, ref xf2, ref yf2);

Console.Write($"Входная тоцка: *A+, Минимальное знацение функчии = *Y+ Число итерачий: * N+\n");

A = Y = 0; N = 0; xf2.Clear(); yf2.Clear();

}

static Operation FirstFunction()

{

double GetFunction(double x)

{

return 4 - 9 * Math.Exp(-Math.Pow(x - 3, 2));

}

return GetFunction;

}

static Operation SecondFunction()

25

{

double GetFunction(double x)

{

return 5 * (x - 2) * (x - 3) * (x - 1);

}

return GetFunction;

}

static Operation ThirdFunction()

{

double GetFunction(double x)

{

return x/5 + Math.Sin(5 * 3.14 * x + 2);

}

return GetFunction;

}

static (double, double, int) GoldenRatio(Operation Function, double a, double b, ref int N, ref double A, ref double Y, ref List<double> xf1, ref List<double> yf1)

{

double XB, XA;

const double Alph = 0.618; const double Bet = 0.382; while (Math.Abs(a - b) > 0.0001)

{

XB = a + Bet * Math.Abs(a - b); XA = a + Alph * Math.Abs(a - b); if (Function(XB) > Function(XA))

{

a = XB;

}

else

{

b = XA;

}

N++;

if (Function(a) < Function(b))

{

A = a; xf1.Add(a);

Y = Function(a); yf1.Add(Y);

}

else

{

A = b; xf1.Add(a);

Y = Function(b); yf1.Add(Y);

}

Console.WriteLine("{0}\t{1:F5}\t{2:F5}", N, A, Y);

}

if (Function(a) < Function(b))

{

A = a;

Y = Function(a); return (A, Y, N);

}

else

{

A = b;

Y = Function(b); return (A, Y, N);

}

}

static (double, double, int) DihMeth(Operation Function, double a, double b, ref int N, ref double A, ref double Y, ref List<double> xf2, ref List<double> yf2)

{

double Sigma = 0.00001; double X1; double X2;

while (Math.Abs(a - b) >= 0.0001)

{

X1 = (a + b - Sigma) / 2;

26

X2 = (a + b + Sigma) / 2;

if (Function(X1) > Function(X2))

{

a = X1;

}

else

{

b = X1;

}

N++;

A = (a + b) / 2; xf2.Add(A); Y = Function(a); yf2.Add(Y);

Console.WriteLine("{0}\t{1:F5}\t{2:F5}", N, A, Y);

}

A = (a + b) / 2; Y = Function(a); return (A, Y, N);

}

static (double, double, int) FibonachiMethod(Operation Function, double a, double b, ref int N, ref double A, ref double Y, ref List<double> xf3, ref List<double> yf3)

{

double X1, X2; int k, n = 0; k = 1;

long usl = Convert.ToInt64(NumberFib(1));

for (int i = 1; usl < (Math.Abs(a - b) / 0.0001); i++, n = i - 1) usl = Convert.ToInt64(NumberFib(i));

while (Math.Abs(a - b) >= 0.0001)

{

X1 = a + (NumberFib(n - k + 1) / NumberFib(n - k + 3) * (b - a)); X2 = a + (NumberFib(n - k + 2) / NumberFib(n - k + 3) * (b - a)); if (Function(X1) >= Function(X2))

{

a = X1; k++;

}

else

{

b = X2; k++;

}

N++;

A = (a + b) / 2; xf3.Add(A);

Y = Function((a + b) / 2); yf3.Add(Y); Console.WriteLine("{0}\t{1:F5}\t{2:F5}", N, A, Y);

}

A = (a + b) / 2;

Y = Function((a + b) / 2); return (A, Y, N);

}

static double NumberFib(int num)

{

return Convert.ToInt64((Math.Pow((1 + Math.Sqrt(5)) / 2, num) - Math.Pow((1 - Math.Sqrt(5)) / 2, num)) / Math.Sqrt(5));

}

delegate double Operation(double g); delegate int Operati(int n);

}

}

27

Приложение Б

Код программы для метода Нелдера-Мида

double Function_4(double x1, double x2)

{

double func = (9 * (x1 - 1) * (x1 - 1) + 5 * (x2 - 3) * (x2 - 3)); return func;

}

double Function_5(double x1, double x2)

{

double func = Math.Pow((x1 - 6), 2) + Math.Pow((x2 - 1), 2) + 30 * Math.Pow((x2 + x1 - 6), 2) + 6.5; //Math.Pow((x1 - 1), 2) + Math.Pow((x2 - 1), 2) + (50 * Math.Pow((x2 + (3 * x1) - 6), 2)) + 8.3;

return func;

}

double[] SearchMinF4(double[] x_1, double[] x_2, double[] x_3)

{

if (((Function_4(x_1[0], x_1[1]) < Function_4(x_2[0], x_2[1])) && (Function_4(x_1[0], x_1[1]) < Function_4(x_3[0], x_3[1]))) ||

((Function_4(x_1[0], x_1[1]) == Function_4(x_2[0], x_2[1])) && (Function_4(x_1[0], x_1[1]) < Function_4(x_3[0], x_3[1]))) ||

((Function_4(x_1[0], x_1[1]) == Function_4(x_3[0], x_3[1])) && (Function_4(x_1[0], x_1[1]) < Function_4(x_2[0], x_2[1]))))

return x_1;

if (((Function_4(x_2[0], x_2[1]) < Function_4(x_1[0], x_1[1])) && (Function_4(x_2[0], x_2[1]) < Function_4(x_3[0], x_3[1]))) ||

((Function_4(x_2[0], x_2[1]) == Function_4(x_1[0], x_1[1])) && (Function_4(x_2[0], x_2[1]) < Function_4(x_3[0], x_3[1]))) ||

((Function_4(x_2[0], x_2[1]) == Function_4(x_3[0], x_3[1])) && (Function_4(x_2[0], x_2[1]) < Function_4(x_1[0], x_1[1]))))

return x_2; return x_3;

}

double[] SearchMaxF4(double[] x_1, double[] x_2, double[] x_3)

{

if (((Function_4(x_1[0], x_1[1]) > Function_4(x_2[0], x_2[1])) && (Function_4(x_1[0], x_1[1]) > Function_4(x_3[0], x_3[1]))) ||

((Function_4(x_1[0], x_1[1]) == Function_4(x_2[0], x_2[1])) && (Function_4(x_1[0], x_1[1]) > Function_4(x_3[0], x_3[1]))) ||

((Function_4(x_1[0], x_1[1]) == Function_4(x_3[0], x_3[1])) && (Function_4(x_1[0], x_1[1]) > Function_4(x_2[0], x_2[1]))))

return x_1;

if (((Function_4(x_2[0], x_2[1]) > Function_4(x_1[0], x_1[1])) && (Function_4(x_2[0], x_2[1]) > Function_4(x_3[0], x_3[1]))) ||

((Function_4(x_2[0], x_2[1]) == Function_4(x_1[0], x_1[1])) && (Function_4(x_2[0], x_2[1]) > Function_4(x_3[0], x_3[1]))) ||

((Function_4(x_2[0], x_2[1]) == Function_4(x_3[0], x_3[1])) && (Function_4(x_2[0], x_2[1]) > Function_4(x_1[0], x_1[1]))))

return x_2; return x_3;

}

double[] SearchMedF4(double[] x_1, double[] x_2, double[] x_3)

{

if ((SearchMinF4(x_1, x_2, x_3) == x_1 && SearchMaxF4(x_1, x_2, x_3) ==

x_2) || (SearchMinF4(x_1, x_2, x_3) == x_2 && SearchMaxF4(x_1, x_2, x_3) == x_1)) return x_3;

if ((SearchMinF4(x_1, x_2, x_3) == x_1 && SearchMaxF4(x_1, x_2, x_3) ==

x_3) || (SearchMinF4(x_1, x_2, x_3) == x_3 && SearchMaxF4(x_1, x_2, x_3) == x_1)) return x_2;

return x_1;

}

28

double[] SearchMinF5(double[] _x1, double[] _x2, double[] _x3)

{

if (((Function_5(_x1[0], _x1[1]) < Function_5(_x2[0], _x2[1])) && (Function_5(_x1[0], _x1[1]) < Function_5(_x3[0], _x3[1]))) ||

((Function_5(_x1[0], _x1[1]) == Function_5(_x2[0], _x2[1])) && (Function_5(_x1[0], _x1[1]) < Function_5(_x3[0], _x3[1]))) ||

((Function_5(_x1[0], _x1[1]) == Function_5(_x3[0], _x3[1])) && (Function_5(_x1[0], _x1[1]) < Function_5(_x2[0], _x2[1]))))

return _x1;

if (((Function_5(_x2[0], _x2[1]) < Function_5(_x1[0], _x1[1])) && (Function_5(_x2[0], _x2[1]) < Function_5(_x3[0], _x3[1]))) ||

((Function_5(_x2[0], _x2[1]) == Function_5(_x1[0], _x1[1])) && (Function_5(_x2[0], _x2[1]) < Function_5(_x3[0], _x3[1]))) ||

((Function_5(_x2[0], _x2[1]) == Function_5(_x3[0], _x3[1])) && (Function_5(_x2[0], _x2[1]) < Function_5(_x1[0], _x1[1]))))

return _x2; return _x3;

}

double[] SearchMaxF5(double[] _x1, double[] _x2, double[] _x3)

{

if (((Function_5(_x1[0], _x1[1]) > Function_5(_x2[0], _x2[1])) && (Function_5(_x1[0], _x1[1]) > Function_5(_x3[0], _x3[1]))) ||

((Function_5(_x1[0], _x1[1]) == Function_5(_x2[0], _x2[1])) && (Function_5(_x1[0], _x1[1]) > Function_5(_x3[0], _x3[1]))) ||

((Function_5(_x1[0], _x1[1]) == Function_5(_x3[0], _x3[1])) && (Function_5(_x1[0], _x1[1]) > Function_5(_x2[0], _x2[1]))))

return _x1;

if (((Function_5(_x2[0], _x2[1]) > Function_5(_x1[0], _x1[1])) && (Function_5(_x2[0], _x2[1]) > Function_5(_x3[0], _x3[1]))) ||

((Function_5(_x2[0], _x2[1]) == Function_5(_x1[0], _x1[1])) && (Function_5(_x2[0], _x2[1]) > Function_5(_x3[0], _x3[1]))) ||

((Function_5(_x2[0], _x2[1]) == Function_5(_x3[0], _x3[1])) && (Function_5(_x2[0], _x2[1]) > Function_5(_x1[0], _x1[1]))))

return _x2; return _x3;

}

double[] SearchMedF5(double[] _x1, double[] _x2, double[] _x3)

{

if ((SearchMinF5(_x1, _x2, _x3) == _x1 && SearchMaxF5(_x1, _x2, _x3) ==

_x2) || (SearchMinF5(_x1, _x2, _x3) == _x2 && SearchMaxF5(_x1, _x2, _x3) == _x1)) return _x3;

if ((SearchMinF5(_x1, _x2, _x3) == _x1 && SearchMaxF5(_x1, _x2, _x3) ==

_x3) || (SearchMinF5(_x1, _x2, _x3) == _x3 && SearchMaxF5(_x1, _x2, _x3) == _x1)) return _x2;

return _x1;

}

double LimitF4(double[] x_max, double[] x_min, double[] x_med, double[] x_cen)

{

double sum = Math.Pow((Function_4(x_max[0], x_max[1]) - Function_4(x_cen[0], x_cen[1])), 2);

sum += Math.Pow((Function_4(x_med[0], x_med[1]) - Function_4(x_cen[0], x_cen[1])), 2);

sum += Math.Pow((Function_4(x_min[0], x_min[1]) - Function_4(x_cen[0], x_cen[1])), 2);

sum = sum / 3;

double result = Math.Sqrt(sum); return result;

}

double LimitF5(double[] xmax, double[] xmin, double[] xmed, double[] xcen)

{

double sum = Math.Pow((Function_5(xmax[0], xmax[1]) - Function_5(xcen[0], xcen[1])), 2);

sum += Math.Pow((Function_5(xmed[0], xmed[1]) - Function_5(xcen[0],

29

xcen[1])), 2);

sum += Math.Pow((Function_5(xmin[0], xmin[1]) - Function_5(xcen[0], xcen[1])), 2);

sum = sum / 3;

double result = Math.Sqrt(sum); return result;

}

double[] x1 = { 0, 0 }; double[] x2 = { -1, 0 };

double[] x3 = { -0.5, (Math.Sqrt(3) / 2) }; Console.WriteLine("1. f(x) = 9 * (x1 - 1)^2 + 5 * (x2 - 3)^2");

Console.WriteLine("2. f(x) = (x1 − 6)^2 + (x2 − 1)^2 + 30 * (x2 + x1 − 6)^2 + 6,5");

Console.WriteLine("Введите номер функчии, которую хотите решить:"); int choice = int.Parse(Console.ReadLine());

switch (choice)

{

case 1:

Console.WriteLine("Нацальные тоцки треугольника:");

Console.WriteLine($"({x1[0]}; {x1[1]}); ({x2[0]}; {x2[1]}); ({x3[0]}; {x3[1]:F3})");

Console.WriteLine(); int count = 0;

double[] xmax = SearchMaxF4(x1, x2, x3); double[] xmin = SearchMinF4(x1, x2, x3); double[] xmed = SearchMedF4(x1, x2, x3); double[] xcen = new double[2];

xcen[0] = ((xmin[0] + xmed[0]) / 2); xcen[1] = ((xmin[1] + xmed[1]) / 2); while (LimitF4(xmax, xmin, xmed, xcen) > 0.01)

{

double[] x1_ = new double[2]; double[] x2_ = new double[2]; double[] x3_ = new double[2]; double[] xotr = new double[2];

xotr[0] = xcen[0] + (xcen[0] - xmax[0]); xotr[1] = xcen[1] + (xcen[1] - xmax[1]);

if (Function_4(xotr[0], xotr[1]) < Function_4(xmin[0], xmin[1]))

{

double[] xras = new double[2];

xras[0] = xcen[0] + (2 * (xotr[0] - xcen[0])); xras[1] = xcen[1] + (2 * (xotr[1] - xcen[1]));

if (Function_4(xras[0], xras[1]) < Function_4(xmin[0], xmin[1]))

{

xmax[0] = xras[0]; xmax[1] = xras[1];

}

else

{

xmax[0] = xotr[0]; xmax[1] = xotr[1];

}

}

else

{

if (Function_4(xotr[0], xotr[1]) > Function_4(xmed[0], xmed[1]))

{

if (Function_4(xotr[0], xotr[1]) > Function_4(xmax[0], xmax[1]))

{

xmed[0] = xmin[0] + (0.5 * (xmed[0] - xmin[0])); xmed[1] = xmin[1] + (0.5 * (xmed[1] - xmin[1])); xmax[0] = xmin[0] + (0.5 * (xmax[0] - xmin[0])); xmax[1] = xmin[1] + (0.5 * (xmax[1] - xmin[1]));

30