эконометрика для очно-заочного 4 курс 2024-2025 год / 04-УП Базовый курс эконометрики (Писарева О.М., Черников Г.В.) 2024

Продемонстрируем вычисление математического ожидания для функции плотности распределения из предыдущего примера.

Отметим, что приближённо оценить значение математического ожидания можно по графику функции плотности распределения f(x) – оно соответствует

абсциссе центра тяжести фигуры, ограниченной графиком f(x).

Выше мы получили формулу для дисперсии произвольной случайной величины Х:

D(X ) M[(X M (X ))2 ] .

Преобразуем ее, воспользовавшись свойствами математического ожидания:

D(X ) M[(X M (X ))2 ] M[(X 2 2X M (X ) M (X )2 ] = M (X 2 ) 2M (X ) M (X ) M (X )2 M (X 2 ) M (X )2 .

В таком виде наиболее часто формулу применяют для практического вычисления дисперсии:

D(X ) M (X 2 ) M (X )2 .

Основные свойства дисперсии случайной величины X:

1)D Х 0;

2)D С 0, где С-константа;

3)D СX C2 D(X ) .

Для взаимно независимых случайной величин X и Y верно:

4) D (X Y ) D X D Y ,

4а) D (X1 X2 Xn ) D (X1) D (X2 ) D (Xn ) .

ЗАМЕЧАНИЕ

Дисперсия случайной величины Х характеризует степень разброса значений Х вокруг его математического ожидания.

Квадратическое отклонение случайной величины Х определяется формулой:

Если дисперсии случайных величин X1, X2 , Xn , ограничены в совокупности6, то какие бы значения эти случайной величины ни принимали, в

пределе при n их среднее X - перестает быть случайной величиной7, а

его значение равно среднему арифметическому математического ожиданий исходных величин M , т.е. X M , при n→∞.

Иными словами, значение любой отдельно взятой случайной величины Xi

– «непредсказуемо», однако, в сумме их случайное поведение нивелируется, причем чем их больше, тем меньше их среднее отличается от константы.

Этот факт выражается формулой:

где - сколь угодно малое положительное число.

В основе доказательства этого утверждения лежит неравенство Чебышева, которое утверждает, то для произвольной случайной величины Х выполняется:

P( X M (X ) ) 1 D(X ) .

2

1.8. ОСНОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Наиболее важными в практике применения являются следующие виды распределения случайных величин: биномиальное, Пуассона, равномерное, показательное, нормальное, χ2-распределение, Стьюдента, Фишера-Снедокора. Остановимся на их рассмотрении подробнее.

БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть X1, X2, ..., Xn - взаимно независимые одинаково распределенные

случайные величины принимающие значение 0 с вероятностью p, и 1 с вероятностью q 1 p .

Тогда их сумма X X1 X2 ... Xn имеет биномиальное распределение

с параметрами (n, p): X ~ Bin (n, p).

Случайная величина X может принимать целые значения от 0 до n. При

этом:

6Т.е. для любой случайной величины Xi, i=1, 2, …, n, дисперсия D(Xi) ≤ C< ∞, где С- некоторое число, не зависящее от n.

7Говорят, что среднее значение с вероятностью 1 становится константой.

P(X m) Cnm pm (1 p)n m

Математическое ожидание X:

M (X ) M (X1 X2 ... Xn ) nM (Xi ) np.

Дисперсия:

nDD (X ) (Xi ) n M (Xi2 ) M (Xi )2 n( p p2 ) npq .

Квадратическое отклонение:

(X ) npq .

ПРИМЕР

Случайная величина X подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей. Пусть произведено n = 400 испытаний, а вероятность появления события в одном испытании p =0.1. Тогда

X ~ Bin(400; 0,1);

M(X) = n p = 400 0,1 = 40; D(X) = n p q = 400 0,1 0,9 = 36.

ПРОСТЕЙШИЙ ПОТОК СОБЫТИЙ

Количественные характеристики происходящих во времени случайных процессов или событий, например, распад радиоактивных атомов, телефонные запросы к оператору, покупка/продажа акций на бирже и т.п., удобно отождествлять со случайной величиной, называемой потоком событий. Значения такой величины, определяются длительностью времени t и свойствами процесса.

В случае простейшего потока событий8, вероятность, что за время t произойдет ровно m событий, дается формулой закона распределения Пуассона:

Pt (k) ( kt!)k e t ,

где λ – параметр, характеризующий интенсивность потока, т.е. среднее число событий за единицу времени.

ПРИМЕР

8 Простейшим потоком событий называют последовательность событий, удовлетворяющую следующим трем свойствам. 1) Стационарность: вероятность появления очередного события не зависит от момента времени, а зависит лишь от длительности ожидания события. 2) Отсутствие последействия: на вероятность появления очередного события не влияет ни сколько событий произошло до него, никогда они произошли. 3) Ординарность: два (или более) событий не могут произойти одновременно; иными словами: все произошедшие события различимы по времени.

Рисунок 1.3 – Пример графика функции плотности равномерного распределения f(x) и функции распределения F(x).

Несложные вычисления дают следующие значения для математического ожидания, дисперсии и квадратического отклонения:

Пусть x1 и x2 [a, b]; P(x1 X x2 ) xb2 ax1 .

Если x1 [a, b], и x2 > b; P(x1 X x2 ) bb xa1 .

ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Показательный закон распределения случайной величины X ~ Exp [λ] определяется следующими функциями распределения и плотности распределения:

Графики f(x) и F(x) приведены на рисунке 1.4.

Рисунок 1.4 – Пример графика функции плотности показательного распределения f(x) и функции распределения F(x).

Это распределение часто возникает при решении различных задач теории вероятностей, связанных с оценкой времени безотказной работы прибора или машины. Значение случайной величины зависит от количества времени, отработанного машиной и подчиняться показательному закону.

Параметр λ означает среднее число отказов за единицу времени (или 1/λ – среднее время до первого отказа).

Таким образом, функция распределения сл. величины Х:

Рисунок 1.5 – Пример графика функции плотности нормального распределения f(x) и функции распределения F(x).

На нижнем рисунке 1.5 приведен график функции распределения:

Значения основных параметров нормально распределенной случайной величины Х:

Для практического вычисления вероятностей нормально распределенной случайной величины X вместо f(x) и F(x) часто используют нормированные функции: