Добавил:

Kapibara228 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный университет управления

Предмет:

Эконометрика

Файл:

эконометрика для очно-заочного 4 курс 2024-2025 год / 04-УП Базовый курс эконометрики (Писарева О.М., Черников Г.В.) 2024

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.01.2025

Размер:

1.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2220 21 22 > Следующая >>>

x1				x y
x1					1 1
					x	y
x yT x2		y1	y2	yn

	x			xn y1
	x

x1 y2	x1 yn
x2 y2	x2 yn

		.
xn y2	xn yn

При работе с матрицами можно опираться на следующие утверждения:

-Если произведение A B возможно, то A B T BT AT ;

-для любой матрицы А произведение AT A возможно, а результат будет симметрической матрицей;

-для любой матрицы А выполняется: A E E A A ,

где Е -единичная матрица соответствующего размера.

1.4 Определители

Определитель квадратной матрицы A Rn n – это число, обозначаемое следующим образом:

	a11	a12	a1n
	a11	a12	a1n
	a21	a22	a2n
det A				.
	an1	an 2	ann

Вычисляется определитель по формуле:

				n
			det A a1k1 a2k2		ankn	,
				i 1
здесь			суммирование производится				по всевозможным произведениям вида
a1k	a2k	2	ank	, когда набор индексов			k1,k2 , ,kn пробегает все перестановки
1		2		n

натурального ряда чисел 1, 2, …, n, а знак выбирается в соответствии с четностью перестановки.

Для практического применения это формула мало пригодна. В простейшем случае определителя 2-го порядка можно применять формулу:

a11	a12	a a a a .
a11	a12	a a a a .
a21	a22	11	22	12	21
a21	a22

Определители высокого порядка обычно вычисляют путем разложения по строке или столбцу37, предварительно преобразовав исходную матрицу, используя следующие свойства определителя:

1)определитель единичной матрицы равен 1;

2)из произвольной строки или столбца можно вынести общий

множитель;

3)если к любой строке прибавить любую другую строку, умноженную на любое число, то определитель не изменится. То же касается и столбцов;

4)если поменять местами любые две строки (или столбца), то определитель изменит знак на противоположный;

5)при транспонировании матрицы определитель не меняется;

6)определитель произведения матриц равен произведению их определителей;

7)если в матрице все элементы какой-либо строки (или столбца) суть нули, то ее определитель равен 0.

Заметим, что свойство 7) эквивалентно следующему:

7а) если в матрице имеются две одинаковые строки (или столбцы), то ее определитель равен 0.

ПРИМЕР
	1	2	3
	4	5	6
Вычислить: det	4	5	6	.
	7	8	9
	7	8	9

Имеем:
	1	2	3		1	2	3		1	2	3		1	2	3
	1	2	3		1	2	3		1	2	3		1	2	3
	4	5	6	=	3	3	3	=3 6	1	1	1	8	1	1	1	= 0.
	7	8	9		6	6	6		1	1	1		0	0	0

Порядок действий: сначала мы вычли 1-ю строку из 2-ой и из 3-ей строки. Затем вынесли из второй строки общий множитель 3, а из третьей строки 6. И, наконец, из последней строки вычли вторую. Теперь вся 3-я строка состоит из нулей; следовательно, определитель равен 0.

37 Такой способ называют правилом Лапласа вычисления определителя.

Описанные в пп. 2)-4) операции называют линейными преобразованиями строк (столбцов) матрицы.

УТВЕРЖДЕНИЕ. Определитель диагональной, верхней или нижней треугольной38 матрицы равен произведению диагональных элементов:

a11a22 ann .

1.5. Миноры

С определителем матрицы тесно связано понятие минора. Если в произвольной (не обязательно квадратной) матрице удалить некоторые столбцы и (или) строки, так чтобы осталась квадратная матрица, то ее определитель называют минором.

										1	2	3
	Например, для матрицы									4	5	6		можно вычислить один минор 3-
	Например, для матрицы									4	5	6		можно вычислить один минор 3-
										7	8	9
										7	8	9
порядка:
			1	2	3
			1	2	3
M00			4	5	6	0 ,
			7	8	9
девять миноров 2-го порядка:
M11		5		6	3, M12		4	6	6 , ...,M33				1	2	3,
M11		5		6	3, M12		4	6	6 , ...,M33				1	2	3,
		8		9			7	9					4	5

а также девять миноров 1-го порядка – это просто элементы матрицы. Применяемая здесь индексация минора соответствует номеру строки и

столбца, исключаемому из исходной матрицы.

	2		5
Аналогично, для матрицы		0	1/ 2	можно получить три минора 2-го

		9	4

прядка, удаляя первую, вторую или третью строку:

M10	0	1/ 2	9	, M 20	2	5	53,	M30	2 5		1.


									0	1
	9	4	2		9	4			0	2
										2

38 В диагональной матрице все элементы, находящиеся вне главной диагонали равны 0; аналогично, в верхней (нижней) треугольной матрице все элементы под (над) главной диагональю равны 0.

Миноры можно применять для вычисления ранга матрицы (обозначают: rank A . Итак, ранг матрицы — это порядок максимального

ненулевого минора этой матрицы.

	1	2	3
	4	5	6
Поясним на примере матрицы A				.
	7	8	9

	1	2	3
	1	2	3
Самый большой минор в этой матрице M00	4	5	6	имеет порядок 3.
	7	8	9

Но он равен 0 (см. пример выше) и нам не подходит.

Далее, ищем ненулевой минор среди миноров порядка 2.

Минор M11	5	6	3 вполне подходит, поскольку не равен 0.
Минор M11	5	6	3 вполне подходит, поскольку не равен 0.
	8	9

Итак, мы нашли, что максимальный, не равный 0 минор имеет порядок 2. Следовательно, rank A 2 .

ЗАМЕЧАНИЕ

Если рассматривать столбцы матрицы как векторы, то ранг матрицы можно определить, как максимальное число линейно-независимых столбцов матрицы.

1.6. Обратная матрица
Квадратную матрицу A 1 Rn n называют обратной к матрице	A Rn n ,
если выполняется:
A 1 A A A 1 I ,
где I – единичная матрица, порядка n.
Из последнего следует:

(A 1 ) 1 A , т.е. обратная к обратной матрице – исходная.

Таким образом, две матрицы взаимно обратны, если их произведение – единичная матрица.

Укажем еще пару полезных свойств:

1)AB 1 B 1 A 1 ,

2)(AT ) 1 (A 1 )T .

Не у всякой квадратной матрицы существует обратная. Если матрица не имеет обратную, ее называют вырожденной.

УТВЕРЖДЕНИЕ

Квадратная матрица А порядка n имеет обратную (т.е. A – не вырождена) тогда и только тогда, когда ее определитель не равен 0. В этом случаеrank A n .

ЗАМЕЧАНИЕ

Иногда случается, что матрица хотя и не вырождена, но ее определитель «почти» 0. В этом случае говорят о плохой обусловленности матрицы. При обращении таких матриц возникают значительные вычислительные погрешности. То же относится и к решению линейных систем с такими матрицами.

Практическое вычисление обратной матрицы весьма трудоемкая процедура. Для матриц небольшого размера можно воспользоваться, например, методом Жордана-Гаусса (см. ниже). Для обращения «больших» матриц в настоящее время разработаны эффективные алгоритмы, реализованные в виде пакетов компьютерных программ.

1.7. Системы линейных алгебраических уравнений

Математическая реализация большинства эконометрических моделей представляет собой систему линейных алгебраических уравнений.

Традиционно систему из m уравнений с n неизвестными записывают в

виде:

a11 x1	a12 x2 a1n xn b1
a21 x1	a22 x2 a2n xn b2
		.

am1 x1	am 2 x2 amn xn bm

Однако, с практической точки зрения, ее удобнее представить в виде матричного произведения:

A X B ,

a11

a12

a1n

a22

a21

a2n

где

A =

X =

B =

am1

am 2

amn

При этом матрицу А называют основной матрицей системы, матрицустолбец В – правой частью. Априори А и В – заданы39. Решением системы является вектор X такой, что его элементы x1,x2 , , xn , будучи подставлены в

систему обращают каждую ее строку в тождество.

Отметим, что система линейных алгебраических уравнений может:

1)иметь единственное решение;

2)иметь бесконечно много решений, определяемых свободными параметрами;

3)не иметь решений вообще.

Одним из основных методов решения систем уравнений является метод

Гаусса. Суть метода состоит в следующем.
К	основной		матрице			системы		А справа	приписывают столбец В.
				R	m n 1		называют расширенной матрицей системы:
Полученную матрицу A				R			называют расширенной матрицей системы:
	a11	a12	a1n b1
	a21	a22	a2n b
						2
A =							.
	am1	am2	amn b
						m

Далее, последовательно,							путем	линейных	преобразований строк40,

матрицу A преобразуют так, чтобы в ее левой части получилась единичная матрица. При этом правая часть преобразованной A дает решение исходной системы.

Пренебрегая оптимальностью вычислительных процедур, рассмотрим алгоритм метода Гаусса на примере.

ПРИМЕР

Методом Гаусса решить систему:

39Если В нулевой вектор, то систему называют однородной.

40См. выше.

2 x1		5 x2 4 x3		7 x4	14
	3 x1	2 x2 x3		2x4 9 .
3 x		x	3 x	6 x	12
	1	2	3	4

РЕШЕНИЕ

Запишем расширенную матрицу системы, произведем вычисления, а в конце дадим пояснения:

																					1		5			2	7	7
				2 5					4 7					14							1		2			2	2	7
					3		2		1 2 9												3		2 1				2 9
	A				3		2		1 2 9												3		2 1				2 9
																	1													2
					3		1		3 6 12														1 3				6 12
					3		1		3 6 12										3				1 3				6 12

			1			5	2			7				7							1		5			2	7		7
			1			2	2			2				7							1		2			2	2		7
						2				2													2				2
						19			17																	14 17 60
			0			19	7		17					30							0		1			14 17 60
						2					2							3							19 19			19			4
					13				33														13				33
			0		13		3		33					33							0		13			3	33	33
			0			2	3			2				33							0		2			3	2	33
						2				2													2				2
		1		5		2			7					7						1			5	2			7		7
		1		2		2			2					7						1			2	2			2		7
				2					2														2				2
							14		17				60												14		17	60
		0		1			14		17				60							0			1		14		17	60
							19		19				19			5									19		19	19			6
						34			203				237														203	237
		0		0		34			203				237							0			0		1		203	237
		0		0		19			19				19							0			0		1		34	34
						19			19				19														34	34
1	5			0		525		356						1	0			0					75		7

	2					34		17															34		34
	2					34		17															34		34
						90		141															90		141
0	1			0		90		141						0	1			0					90		141		.
0	1			0		17		17						0	1			0					17		17		.
						17		17				7											17		17
												7
						203		237														203			237
0	0			1		203		237						0	0			1				203			237
0	0			1		34		34						0	0			1					34		34
						34		34															34		34

Шаг 1: разделим 1-ую строку на 2;

Шаг 2: из 2-ой строки вычтем 1-ую умноженную на 3; из 3-ей строки вычтем 1-ую умноженную на -3.

Шаг 3: разделим 2-ую строку на 192 ;

Шаг 4 из 3-ей строки вычтем 2-ую умноженную на 132 ;

Шаг 5: разделим 3-ую строку на 1934 ;

Шаг 6: из 1-ой строки вычтем 3-ю, умноженную на -2, а из 2-ой вычтем

3-ю, умноженную на 1419 ; Шаг 7: из 1-ой строки вычтем 2-ую, умноженную на 52 .

Преобразования окончены.

Полученную матрицу обратно преобразуем в систему уравнений. При этом полагаем x1, x2 и x3 базисными переменными, а оставшуюся x4 –

свободной (ее мы обозначим С и перенесем в правую часть системы); имеем:

	x		75 C		7	;

		1	34	34

			90 C	141;
	x	2
			17	17
x		203C		237			;
	3		34	34
x		C .
	4

Мы получили общее решение системы, зависящее от параметра С. Таким образом, задаваясь различными значениями С, мы будем получать различные решения исходной системы.

Приведенный выше алгоритм можно применять для обращения невырожденной квадратной матрицы A Rn n (метод Жордана-Гаусса).

Для этого составляем расширенную матрицу Rn 2n .

Она получается путем приписывания единичной матрицы справа к исходной.

a11	a12	a1n 1	0	0
	a22	a2n 0	1	0
a21
					.
A =
	an2	ann 0	0	1
an1

Путем линейного преобразования строк матрицы
Путем линейного преобразования строк матрицы										A , добиваемся, чтобы
слева получилась единичная матрица:
1			0 0		ˆ	ˆ		ˆ
1			0 0		a11	a12		a1n
	0		1	0	ˆ	ˆ		ˆ
	0		1	0	a21	a22		a2n
						ˆ	ˆ
					ˆ	ˆ	ˆ		.
	0		0 1		an1	an 2		ann


Правая часть полученной матрицы будет обратной к исходной:
			ˆ	ˆ		ˆ
			a11	a12	a1n
			ˆ	ˆ		ˆ
			a21	a22	a2n
		1
A			ˆ ˆ ˆ				.
			an1	an2	ann

1.8. Собственные числа и собственные векторы матрицы

Собственным вектором квадратной матрицы A Rn n называют ненулевой вектор-столбец x Rn , удовлетворяющий уравнению:

A x x ,

где параметр λ называемый собственным числом матрицы.

Для отыскания собственных векторов матрицы A, сначала необходимо найти все ее собственные числа. Для этого составляют характеристическое уравнение:

	a11	a12	...	a1n
	a11	a12	...	a1n
det(A I )	a21	a22	...	a2n	= 0.
	an1	an2	...ann

Раскрыв определитель, мы получим алгебраическое уравнение n-ой степени относительно λ.

ЗАМЕЧАНИЕ

Алгебраическое уравнение n-ой степени имеет ровно n корней (с учетом их кратности). В общем случае корни могут быть комплексными, что существенно затрудняет работу с ними. Однако, характеристическое уравнение, порождённое симметричной матрицей А, имеет только вещественные корни.

Найдя все собственные числа матрицы: λ1, λ2, …, переходят к отысканию собственных векторов. Для нахождения собственных векторов для каждого собственного числа λi необходимо решить систему уравнений:

(a11 i ) x1			a12 x2	a1n xn 0
	a21 x1		(a22 i ) x2 a2n xn 0
					.
					.
	an1 x1	an 2 x2		(ann i )xn 0

Эта однородная система всегда вырождена и ее решения зависят от свободных параметров. Таким образом, собственные векторы матрицы не определяются однозначно, а зависят от параметров.

ПРИМЕР

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

	2	1	2
	1	2	2
A				.
	2	2	5

РЕШЕНИЕ

Составляем характеристическое уравнение:

	2	1	2
	2	1	2
det(A E)	1	2	2	7 15 9 2 3 0.
	2	2	5

Его решениями являются: 1 1и 2 1– кратные корни, 3 7 . Для нахождения собственных векторов составляем систему:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2220 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке эконометрика для очно-заочного 4 курс 2024-2025 год

#
19.01.20251.65 Mб1004-УП Базовый курс эконометрики (Писарева О.М., Черников Г.В.) 2024.pdf
#
19.01.20256.84 Mб4ЛабРаб_Эконометрика_ 2023.pdf
#
19.01.20251.41 Mб2Учебное пособие Теория и практика аудита по МСА (1).pdf
#
19.01.20252.21 Mб4Эконометрика 2023.pdf
#
19.01.2025474.88 Кб3Эконометрика_доп.pdf