эконометрика для очно-заочного 4 курс 2024-2025 год / 04-УП Базовый курс эконометрики (Писарева О.М., Черников Г.В.) 2024

Произведение событий лежит в основе понятия взаимной независимости событий. События А и В взаимно независимы если выполняется следующее равенство:

P А В P А P B .

ПРИМЕР

Вероятности банкротства двух предприятий оценивают следующим образом: р1 = 0,1 и р2 = 0,15. Найти вероятность банкротства сразу обоих предприятий.

РЕШЕНИЕ

Пусть А – событие «обанкротилось 1-е предприятие», В – событие «обанкротилось 2-е предприятие». События А и В независимы.

Вероятность совместного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: P(А В) = P(А)∙P(B).

В нашем случае вероятность банкротства обоих предприятий Р = р1∙р2 = 0,1∙0,15 = 0,015.

Если А и В не являются независимыми, событие А может произойти одновременно с событием B. Рассматривая такую возможность, вводится понятие условной вероятности события А (при условии, что произошло В), что записывается следующим образом:

P(A | B) .

В этом случае формула для произведения событий примет вид:

P(A B) P(A) P(B | A) или P(A B) P(B) P(A | B) .

Суммой событий А В называют событие, состоящее в том, что произошло или событие A, или событие B, или оба одновременно.

Аналогично определяется сумма произвольного числа событий – означающее, что произошло хотя-бы одно событие.

УТВЕРЖДЕНИЕ

P(A B) P(A) P(B) P(A B).

Как уже указывалось ранее, события А и В называются несовместными, если они не могут произойти одновременно. В этом случае P(A B) 0 и,

следовательно, P(A B) P(A) P(B).

Обобщением предыдущего рассмотрения является формула полной вероятности.

УТВЕРЖДЕНИЕ

Пусть событие А может произойти только вместе с одним событием из полной группы несовместных событий: B1, B2 , , Bn .

Тогда:

P(A) P(B1) P(A| B1) P(B2 ) P(A| B2 ) ... P(Bn ) P(A| Bn ) .

ПРИМЕР

Имеются две урны с шарами. В первой находится 3 белых и 2 черных шара, во второй - 4 белых и 5 черных. Из первой урны наудачу вынимают один шар и кладут его во вторую урну. Затем, во второй урне шары перемешивают и наудачу достают один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?

РЕШЕНИЕ

Обозначим события этого эксперимента так:

В1 – из первой урны достали белый шар, В2 – черный.

Тогда событие А – из второй урны вынули белый шар, произойдет c В1 или с В2.

Имеем: P В1 52 , P В2 53 .

Если из первой урны достали белый шар и положили во вторую, то в ней стало 5 белых и 5 черных.

Учитывая это, вероятность вынуть белый шар из второй урны будет:

P(A| B1) 105 .

Наоборот, если сначала вынули черный шар, то вероятность окончательно получить белый будет другая:

P(A| B2 ) 104 .

Окончательно, применяя формулу полной вероятности, получим:

P(A) P(B1) P(A| B1) P(B2 ) P(A| B2 ) 52 105 53 104 1125 .

1.4. ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ

Рассмотрим последовательно проводимые n одинаковых испытаний. В

каждом таком испытании событие А может произойти с вероятностью p (или не

произойти с вероятностью (q 1 p) . Какова вероятность, что событие А

произойдет ровно m раз?

Ответ на этот вопрос дает формула Бернулли:

ПРИМЕР

Игральную кость бросают 5 раз. Какова вероятность того, что «6» выпадет ровно 2 раза?

РЕШЕНИЕ

Вероятность выпадения «6» при однократном бросании p 1/ 6,

q 1 p 5 / 6.

Далее, по формуле Бернулли, искомую вероятность можно оценить как:

Формулу Бернулли затруднительно использовать при больших m и n (или при малых p или q). Сложность связанна с тем, что Cnm становятся очень большими числами, а pm (или qn m ) наоборот, очень малыми. Решить эту проблему позволяет локальная формула Лапласа3:

Pn (m) npq1 (x) ,

где (x) 21 e x22 .

При использовании этой формулы, для заданных m и n сначала вычисляют x m npqnp , а затем (x) . Таблица значений (x) для значений

аргумента от 0 до 3,5 представлена в Приложении 3.

Отметим, что (x) - четная функция, следовательно, ( x) (x) .

ПРИМЕР

3 Является асимптотическим следствием формулы Бернулли.

Вероятность того, что изделие испортится при перевозке оценивается в 0.004. Какова вероятность того, что при перевозке партии из 10 000 деталей испортится:

а) ровно 30 деталей; б) не более 30 деталей?

РЕШЕНИЕ

а) n=10 000, m=30, p=0.004, q =1– p =0.996.

np q ≈6.31,

x 30 10000 0.004 1.585 ; ( 1.585) (1.585) 0.114 . 6.31

Имеем:

P10000 (30) 0,1146,31 0,017 или 1,7%.

При ответе на вопрос б) пришлось бы рассмотреть все случаи испорченных деталей в диапазоне от 0 до 30 единиц так, что

P P10000 (0) P10000 (1) ... P10000 (29) P10000 (30) ,

т.е. применять формулу Лапласа 31 раз! Это весьма затруднительно. Чтобы избежать этого мы используем интегральную теорему Лапласа.

УТВЕРЖДЕНИЕ

Вероятность того, что в серии из n независимых испытаний по схеме Бернулли событие А произойдет не менее k1 и не более k2 раз, вычисляется по следующей формуле:

часто применяются в практических вычислениях, а ее значения представлены в Приложении 3.

Вернемся к части б) предыдущего ПРИМЕРА:

для k1=0 имеем: x1 0 10000 0,004 6,340 . 6,31

Аналогично, для k2=30, x2 30 10000 0,004 1,585. 6,31

Подставляя x1 и x2 в формулу (1) и, воспользовавшись таблицей в Приложении 3, получим:

P10000 (01, 30) ( 1,585) ( 6,340) (6,340) (1,585) .0,5 0,444 0,066

1.5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Случайная величина4 определяется множеством своих значений вместе с их вероятностями.

Принято различать дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретные случайные величины принимают свои значения из конечного или счетного множества и их удобно задавать, например, виде таблицы с перечислением всех значений и их вероятностей:

где x1, x2, …, xn – значения случайной величины X, а p1, p2, …, pn – вероятности. Заметим, что p1+p2+…+pn=1.

ПРИМЕР

Опишите с помощью таблицы случайную величину X: «количество подбрасываний монеты до первого появления орла».

РЕШЕНИЕ

Вероятность появления орла при одном бросании р = 1/2 и q = 1 – p = 1/2.

4 В строгом определении, случайная величина это измеримая функция, ассоциируемая с триадой (Ω, , P), где Ω –множество, точки которого являются элементарными событиями, – σ-алгебра

подмножеств из Ω (т.е. допустимые составные события), P – задает меру на (т.е. способ вычисления вероятности составных событий). Определение понятий «σ-алгебра», «мера» и «измеримая функция» выходит за рамки данного пособия.

Из формулы Бернулли следует:

pn Pn (1) Cn1 p1qn 1 pqn 1 .

Имеем: p1 = 1/2, p2 = 1/4, …, pn =1 /2n.

Поскольку случайная величина X принимает бесконечное (счетное) число значений, получим бесконечно длинную таблицу.

Отметим, что вероятности в нижней строке таблицы представляют геометрическую прогрессию, сумма которой равна 1.

Для задания непрерывной случайной величины используют функцию распределения или функцию плотности распределения вероятности случайной величины.

Функция распределения случайной величины X определяется формулой:

F(x) P(X x) .

Рассмотрим основные свойства функции распределения:

1) F(x) – неубывающая функция, заданная на всей числовой оси;

3)P(a X b) F (b) F (a) ;

4)случайная величина X не может принимать значения в точках, где

F(x)=const, т.е. величина постоянная.

ПРИМЕР

Функция распределения случайной величины X задана формулой:

0, если x 0;

x2

F(x) 4 ,если0 x 2;

1, если x 2.

График F(x) представлен на рисунке 1.1.

ПРИМЕР

Определить вероятность того, что случайная величина X будет находится:

1)в интервале ( , 1) ;

5) в областях, где f (x)=0 случайная величина Х не может принимать значения.

ПРИМЕР

Функция плотности распределения Х задана в виде:

ЗАДАНИЕ:

1)Определите параметр α и постройте графики f(x) и F(x).

2)Какова вероятность, что значение случайной величины лежит в интервале от 1/3 до 1/2?

РЕШЕНИЕ

1) Из свойства (4) функции плотности распределения следует:

Функция распределения является первообразной от f(x). Вычислим ее, интегрируя строки функции f(x):

Окончательно графики f(x) и F(x) приведены на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2 – Пример графиков функций плотности f(x) и распределения F(x) случайной величины х.

1.6. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Для произвольной случайной величины X вводятся понятия начального и центрального моментов порядка n, их формальное представление приводится в таблице 1.1.

Таблица 1.1 – Формулы определения начального и центрального моментов n-го порядка для произвольной случайной величины

Особо важными для описания случайных величин являются:

1)начальный момент 1-го порядка

1(X ) M (X ) – математическое ожидание случайной величины X;

2)центральный момент 2-го порядка

2 (X ) D(X ) – дисперсия случайной величины X.

ЗАМЕЧАНИЕ

Для непрерывных случайных величин моменты 3-го порядка характеризуют асимметрию графика функции плотности распределения, а

моменты 4-го порядка – эксцесс (степень «остроты» пика графика).

Формулу для дисперсии случайной величины X можно переписать и в ином виде. Для этого введем следующее обозначение M (X)=a; тогда из определения моментов следует:

Основные свойства математического ожидания, следующие:

1)М (С) = С, где С-константа;

2)М (С X) = С М (X).

3)для произвольных случайных величин X и Y верно

М (X+Y) = М (X)+М (Y);

4)если X и Y – взаимно независимые случайные величины, тогда

М (X Y) = М (X) М (Y).

Из указанных основных свойств вытекают дополнительные: 3а) Для n произвольных случайных величин: X1, X2 , , Xn :

M X1 X2 Xn M (X1 ) M X2 M Xn .

4а) Для n взаимно независимых случайных величин: X1, X2 , , Xn :

M (X1 X2 Xn ) M X1 M (X2 ) M (Xn ) .

ПРИМЕР