эконометрика для очно-заочного 4 курс 2024-2025 год / 04-УП Базовый курс эконометрики (Писарева О.М., Черников Г.В.) 2024

yˆ 473 ,33 5,62 x2 на соответствие гипотезам Гаусса-Маркова предстоит проверить следующие свойства случайной составляющей :

М( i ) = 0, i 1; n ;

или, иначе говоря, дисперсия остатков ограничена, то есть и в ряду остатков автокорреляция отсутствует.

Если условия будут выполнены, можно попытаться проверить остатки на наличие свойства нормальности распределения.

Проверка случайности ряда остатков.

Для проверки свойств остатков можно воспользоваться критериями различной степени точности. Сделаем это с помощью «сильного» критерия «восходящих» и «нисходящих» серий.

Расчеты числа и длительности серий разности остатков для модели yˆ 473 ,33 5,62 x2 иллюстрируются содержанием таблицы 4.8.

В соответствии с правилами критерия для исходного числа наблюдений

[ (27) 6] [ 0 (27) 6] .

В нашем случае нарушено последнее из неравенств, следовательно, гипотеза о случайности выборки отвергается.

В целом же можно отметить, что «неслучайность» выборки не столь очевидна, так как по второму условию мы находимся как раз на границе области принятия решения.

Таблица 4.8 - Расчет числа и длительности серий разности остатков для модели yˆ 473 ,33 5,62 x2 .

Далее попытаемся понять, какое из условий случайности нарушается, то есть уловить некоторые закономерности в ряду остатков. Они могут формироваться как через экзогенные, так и эндогенные влияния. Например, в первом случае может иметь место гетероскедастичность остатков (нарушается свойство ограниченности дисперсии остатков), во втором – их автокорреляция.

Оценка остатков модели на гетероскедастичность.

Иллюстрацию оценивания остатков модели на наличие свойства гетероскедастичности проведем только с помощью критерия ранговой корреляции Спирмэна.

Для начала осуществим ранжировку абсолютных значений остатков модели и объясняющей переменной (фрагменты действий представлены в таблице 4.9). После этого можно приступить к вычислению коэффициента Спирмэна, а именно

Однако, по значению коэффициента согласия трудно однозначно сделать заключение о наличии связи между изменениями в остатках и факторе модели.

Таблица 4.9 - Расчет значений разности (d) рангов остатков и переменной x2

для модели yˆ 473 ,33 5,62 x2 .

Проверим статистическую значимость коэффициента Спирмэна. Определим расчетное значение t-статистики. Оно составит

Сравним его с табличным уровнем t-статистики для значимости в 5%. t 2,349 tтабл(0,05;25) 2,06 , следовательно, свойство гетероскедастичности в остатках обнаруживается, хотя мы находимся на границе принятия решения.

Оценка автокорреляции остатков модели.

Для примера здесь будем идентифицировать лишь АК первого порядка. Определим для регрессионной модели значение DW-статистики (расчеты представлены в таблице 4.10).

Исходя из формулы (4.46), имеем

i 1

Сучетом числа наблюдений и количества параметров модели (27 и 2

соответственно) для уровня значимости 5% из таблицы DW - статистики получаем: dL = 1.32 и dU = 1.47, что представлено на рисунке 4.11. Следовательно, как ранее предполагалось, в остатках модели наблюдается автокорреляция первого порядка.

Положительная Не определена Автокорреляция отсутствует Не определена Отрицательная

0 0,71 1,32 1,47 2 2,53 2,68 4

Рисунок 4.11 - Графическая иллюстрация граничных условий статистики Дарбина-Уотсона в условиях Примера.

Таким образом, свойство случайности остатков нарушается серийной корреляцией первого порядка в ряду. Тем не менее, далее проведем весь необходимый спектр исследований случайной компоненты, а также проиллюстрируем процедуру расчета интервального прогноза с целью пояснения ранее изложенного теоретического материала.

Проверка гипотезы о равенстве нулю математического ожидания случайной составляющей.

Проверку гипотез H0 : M (ei ) 0; H1 : M (ei ) 0 проведем на основании критерия Стьюдента. В силу того, что доказана однородность дисперсии по выборке остатков, для вычислений критерия можно воспользоваться его первой модификацией. В этом случае, расчетное значение t-статистики составит

n 1

Следовательно, [ tp 0,00001] [tтабл(0,05;26) 2,06].

Таким образом, гипотеза о равенстве нулю математического ожидания переменной ряда остатков не отвергается, то есть это условие Гаусса-Маркова работает.

Проверка гипотезы о нормальности распределения случайной составляющей осуществляется в том случае, если остатки действительно подчиняются случайному распределению. Через оценку показателей асимметрии и эксцесса проверяется соответствие формы распределения случайной компоненты нормальному закону.

Итак, коэффициент асимметрии для ряда остатков составит

Коэффициент эксцесса

Определим среднеквадратические ошибки коэффициентов асимметрии и эксцесса распределения. Они составят соответственно

Рассмотрим разрешающие условия теста. В нашем случае проверим первую систему ограничений:

Таким образом, распределение остатков могло бы быть признано нормальным, если бы оно было случайным.

Оценка прогностических свойств моделей.

Оценим прогностические свойства конкурирующих моделей на тестовой выборке данных, то есть с 28-го по 30-е наблюдение.

Общие результаты вычислений по всем четырем моделям сведены в таблицу 4.13. Обозначения в ней даны в соответствии с ранее введенной идентификацией. Под значениями оценок параметров регрессии приводятся значения соответствующих расчетных характеристик t-статистики.

Порядок вычислений критериев прогностической пригодности регрессионных моделей иллюстрируется на модели вида:

yˆ 4,95 x2 .

Необходимые промежуточные вычисления сведены в таблице 4.11. Используя результаты расчетов из таблицы 4.11, получим следующие

значения коэффициентов несоответствия:

Таблица 4.11 - Промежуточные вычисления для определения значений коэффициентов Тейла для зависимости вида yˆ 4,95x2 .

В дополнение на тестовом множестве можно оценить и различного рода ошибки прогноза. Они проведены с учетом информации таблицы 4.12.

Таблица 4.12. Промежуточные вычисления для определения значений ошибок прогноза для зависимости вида yˆ 4,95x2 .