эконометрика для очно-заочного 4 курс 2024-2025 год / 04-УП Базовый курс эконометрики (Писарева О.М., Черников Г.В.) 2024

если UT 1 - нет оснований использовать более сложные методы прогнозирования, чем наивный прогноз.

Очевидным апостериорным показателем точности предсказания

является доля исполнения прогнозов: p p q , где p - доля подтвердившихся

прогнозов; q - доля не подтвердившихся прогнозов.

Чем выше значение приведенной характеристики, тем более успешно работает генератор прогноза, и это относится не только к эконометрическому инструментарию предсказания.

С другими метриками и процедурами оценки качества прогнозов на основе эконометрических методов и моделей подробнее можно познакомиться

вработах [10, 13, 16].

4.6.ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ ФАКТОРНОЙ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ И

ИССЛЕДОВАНИЯ ЕЁ СВОЙСТВ

Приведём пример использования методов эконометрического моделирования для построения факторной регрессионной модели и её дальнейшего использования в прогнозировании [11, с. 160-180]. Исходная статистика приводится в Приложении 2. Она содержит фрагмент данных из рейтинговой таблицы банков на определённую дату (названия банков обезличены).

Сформулируем задачу следующим образом. На основе данных о деятельности 30-и коммерческих банков (КБ) проверить гипотезу о влиянии размеров среднемесячных величин чистых активов банка (Х1, млн. руб.) и их привлеченных средств (Х2, млн. руб.) на ожидаемую годовую величину банковской прибыли (Y, тыс.руб.). Если зависимость подтвердится, определить доверительный интервал прогноза величины ожидаемой прибыли для КБ, у

которого среднемесячная величина чистых активов ожидается на уровне 890 млн. руб., а предполагаемая величина привлеченных средств - 1010 млн. руб.

1. Корреляционный анализ.

Исходный этап построения модели – корреляционный анализ массива изучаемых показателей. Он поможет сориентироваться в выборе верной спецификации исходных оцениваемых моделей. Для этого предстоит оценить наличие существенной линейной связи

между рядами экзогенных переменных модели, то есть Х1 и Х2;

зависимой переменной Y и каждой из независимых переменных Х1 и Х2;

определить коэффициент множественной корреляции r.

Как видно из упомянутых расчетных формул, вычисления удобно проводить в центрированных координатах. Фрагмент преобразований исходных данных приведен в таблице 4.5.

Таблица 4.5 - Фрагмент массива исходных данных с результатами вспомогательных вычислений для расчета матрицы cov(x) и вектора cov(x, y) .

Вычислим матрицу cov(x) и вектор cov(x, y) .

Используя значения центрированных переменных, приведенные в табл.6, имеем:

Вычислим вектор коэффициентов корреляции зависимой и независимых переменных Ry:

В результате проеденных вычислений получили следующую корреляционную матрицу:

Вектор коэффициентов корреляции зависимой и независимых переменных Ry показывает наличие сильной линейной связи результативного признака Y с регрессором Х1 ( ryx1 ≈ 0,918) и Х2 ( ryx2 ≈ 0,964).

Вместе с этим достаточно велика линейная связь между этими регрессорами, так как rx1x2 ≈ 0,885, что дает право признать их мультиколлинеарными.

Поскольку одним из условий корректного построения уравнения регрессии является независимость действия объясняющих факторов, то есть в идеале rx1x2 = 0, то, действуя формально, один из факторов следует исключить из регрессионной модели. Формально в уравнении регрессии целесообразно оставить фактор Х2, так как корреляция Х2 с результатом Y сильнее, чем корреляция фактора Х1 с Y (0,964>0,918).

Исходя из результатов корреляционного анализа, на начальной стадии исследования появились основания в качестве основного варианта модели прогноза принять однофакторную модель со свободным членом, то есть вида yˆ a0 a2 x2 . В дальнейшем проведем сравнение качества данной модели с другими вариантами регрессий, в том числе вида

yˆ a0 a1 x1 a2 x2 ; yˆ a1x1 a2 x2 ;

yˆ a2 x2 .

Подробные выкладки вычислений с целью иллюстрации метода будем проводить только для модели yˆ a0 a2 x2 .

Итак, в качестве основы для вычислений значений параметров однофакторной регрессионной зависимости воспользуемся формулой (4.13), причем матрица Z имеет вид

Далее определим значения вектора Z T Y :

то есть, получено следующее оцененное уравнение регрессии: yˆ 473,33 5,62x2 .

Графическая иллюстрация решаемой задачи приведена на рисунке 4.9.

Рисунок 4.9 - Графическая иллюстрация результатов оценки параметров однофакторной регрессионной зависимости

Предварительно полученные результаты оценки регрессионной модели можно интерпретировать следующим образом:

1) свободный член уравнения регрессии не может быть интерпретирован в контексте исходных условий решаемой задачи;

2)коэффициент при переменной Х2 показывает, что с ростом привлеченных средств на 1 млн. руб. ожидаемая прибыль увеличивается в среднем на 5,62 тыс. руб.;

3)коэффициент эластичности анализируемой модели:

Эyx2 a1 XY2 5,62 3342,9679,6 1,14 .

Он показывает, что увеличение средней величины привлеченных средств (Х2) на 1% процент ведет к увеличению прибыли на 1,14%.

Оценим качество полученной модели, начиная с ее дисперсионного анализа.

3. Дисперсионный анализ

Вычислим основные составляющие (см. таблица 4.6) полной вариации объясняемой переменной.

Определить ее можно следующим образом:

Qy2 Qy2ˆ Q2 17021150,69 1651827,55 18672978,24

(есть ошибки округления, разница составляет -20,82 единиц или 0,00011%).

Таблица 4.6 - Фрагмент расчета составляющих полной вариации переменной y

Cоставим таблицу дисперсионного анализа (таблица 4.7) и проверим модель на значимость. Иначе говоря, проверим гипотезу о существенности значений параметров полученной регрессии в целом.

Таблица 4.7 - Таблица дисперсионного анализа.

Проверка проводится на основе расчета критерия Фишера.

Вычисляется F-статистика (4.25), которая далее сравнивается с табличным значением распределения Фишера с и 2 n m 1 степенями свободы, где n – количество наблюдений, m – количество независимых переменных (X).

вероятностью 95% можно говорить о значимости в целом построенной модели регрессии.

Далее проанализируем значимость отдельных параметров уравнения регрессии, то есть a0 и a2 , с помощью t-критерия Стьюдента. Для этого на основе (4.26) определим t-статистику коэффициентов регрессии a j .

Заметим, что предварительно требуется оценить дисперсию ряда - s2 , а

также стандартные ошибки параметров регрессии - sa2j . Это возможно с учетом того, что ранее получены значения матрицы Z T Z 1 .

Таким образом,

результате переоценки параметра однофакторной модели без учета свободного члена получим следующее значимое уравнение регрессии:

yˆ 4,95x2 .

4. Проверка дополнительных информационных и прогностических свойств уравнения регрессии.

На этом этапе исследования предстоит изучить специфические характеристики свойств остаточной компоненты ряда. Это выражается в необходимости тестирования остаточных составляющих на соответствие исходным гипотезам Гаусса-Маркова. Далее, если возникнет дополнительная необходимость, следует оценить наличие автокорреляции в остатках, например, по DW-статистике, за тем проверить свойство их гомоскедастичности и др. В