эконометрика для очно-заочного 4 курс 2024-2025 год / 04-УП Базовый курс эконометрики (Писарева О.М., Черников Г.В.) 2024

падает надежность таких обобщающих показателей качества модели, как F-статистика и значение коэффициента R2 .

Выявление АК в остатках модели, то есть в ряду e ( et yt yˆt , t , где t- индекс текущего наблюдения), укрупненно можно разделить на методы графического анализа и аналитические. Последние представляют собой тестирование статистических гипотез.

Величину автокорреляции можно оценить при помощи коэффициента автокорреляции первого порядка, который обозначим Ra . Это обычный коэффициент корреляции между двумя переменными: для первой t-е наблюдение есть et , а для второй - et 1 . По определению можем записать:

Известно, что при большом числе наблюдений можно воспользоваться очевидным приближением формулы (4.45), а именно:

промежуточное значение между -1 и 1, интерпретировать которое исследователь может в соответствии со своими представлениями. Однако дополнительно полезно проверить коэффициент на значимость.

Другим способом оценки автокорреляции служит критерий ДарбинаУотсона (Durbin-Watson test). Соответствующая статистика, обозначаемая DW , имеет вид:

если dL DW dU или 4 dU DW 4 dL , то не существует статистических оснований принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции.

В поледнем случае рекомендуется проверить попадание парного

Положительная Не определена Автокорреляция отсутствует Не определена Отрицательная

0 dL dU 2 4-dU 4-dL 4

Рисунок 4.6 - Графическая иллюстрация граничных условий статистики Дарбина-Уотсона

Следует отметить некоторые особенности корректного использования DW-статистики.

Она позволяет тестировать в ряду остатков e наличие АК только 1-го порядка, то есть процесса типа AR(1): t t 1 t , где t - случайная составляющая, полностью отвечающая условиям Гаусса-Маркова. Исходная модель, генерирующая остатки e, должна содержать свободный член. Недопустимо применение DW -статистики в ситуациях, когда среди предикторов модели содержатся лаговые значения зависимой переменной.

В последнем случае рекомендуется использовать другие методы тестирования АК, например, h-статистику Дарбина. Ее значение может оцениваться с помощью формулы

n - число наблюдений;

- оценка выборочной дисперсии коэффициента при соответствующей лаговой переменной в исходной регрессионной модели.

Доказано, что при больших объемах выборок h-статистика имеет распределение близкое к нормальному, то есть N(0, 1) .

Достоинство этого тестирования заключается в том, что расчетное значение h-статистики легко вычисляется на основе результатов исходного оценивания регрессии и с учетом того, что как следует из соотношения (4.47)

ˆ 1 0,5DW .

Очевидная проблема в использовании данного подхода связана с тем, что вычисление h-статистики не всегда возможно.

Для обнаружения в ряду остатков автокорреляционных связей более высоких порядков могут использоваться специальные тесты «пакетного» тестирования (portmanteau tests). Поробнеее эти критерии представленны в работе [].

При обнаружении значительной автокорреляции в первую очередь следует уточнить спецификацию модели и исключить наличие эрзацавтокорреляции. Возможно, из числа независимых переменных выпал какой-то существенный фактор или принят неправильный вид функции f(x). Можно в случае обнаружения сильной автокорреляции остатков в число независимых переменных попытаться включить переменную времени. Если изменения в спецификации модели не приносят ожидаемых эффектов, вероятно исследователь имеет дело с эффектом чистой АК. В этой ситуации рекомендуется воспользоваться специально разработанными в эконометрике поправочными процедурами и методами, например, ОМНК, методы КокранаОркатта, Хилдрета-Лу, Дарбина и др. [1, 2, 11, 12-16].

Проблематичность эффективного использования МНК в случае наличия у остатков модели эффектов автокоррелированности (аналогично их гетероскедастичности) обусловлена «нарушениями» требований на структуру матрицы ковариаций случайных компонент. В этой связи, как и в случае наличия в остатках эффекта гетероскедастичности в ситуации АК, также уместно применение обобщенный метод наименьших квадратов (GLS).

Поясним практические приёмы его использования.

m

Допустим, что в модели yt a0 xtj aj et (4.48) в остаточной

j 1

компоненте e тестируется АК первого порядка, причём t 1, T .

Покажем, что путём допустимых преобразований уравнение (4.48) можно получить уравнение, допускающее для оценивания его параметров МНК (OLS). Для этого введём новые переменные, полученные на основе исходного статистического материала:

где - коэффициент автокорреляции первого порядка (параметр линейной модели (4.44)).

Тогда на основе (4.48) можем записать квазиразностное уравнение вида (GLS-уравнение):

j 1

где t - случайная составляющая, отвечающая условиям Гаусса-Маркова. Уравнение (4.50) может быть идентифицировано с помощью МНК.

Однако прежде, чем воспользоваться предложенной схемой стоит обратить внимание на следующие факты.

1). За счёт перехода к новым переменным формально для оцифровки параметров уравнения (4.50) по сравнению с (4.48) потеряно одно уравнение (t 2, T ). Таким образом, при небольшом числе наблюдений этот подход следует использовать осмотрительно. Для нивелировки этой проблемы рекомендуется добавлять в систему, соответствующую (4.50), первое уравнение релевантное первому уравнению системы (4.48), умножив его левую и правую

2). Работа в новых переменных требует знание коэффициент автокорреляции -, который обычно не известен. Его рекомендуется оценить, исходя их ранее полученного равенства (4.47), т.е. ˆ 1 0,5DW .

Как показывает практика довольно точная оценка коэффициент автокорреляции, а следовательно, параметров модели может достигаться на основе итеративного метода Кокрана-Оркатта (Cochran-Orcutt iterative method).

Здесь в качестве примера приведем процедуру преобразований Кокрана-

Предположим, в остатках модели имеет место АК первого порядка. Для начала сделаем предварительные преобразования.

Пусть соседние значения нашей модели формируются следующим образом:

yt a0 axt t ,

yt 1 a0 axt 1 t 1 .

Вычтем из первого соотношения второе, предварительно умножив его на. Получим следующее соотношение:

Важнейшая задача эконометрики – разработка надёжного инструментария для проведения прогностических исследований в экономике и бизнесе. Подробно с методологией и понятийной базой современного социально-экономического и бизнес-прогнозирования можно ознакомиться в работах [9, 13, 16]. Прогноз – это научно обоснованное вероятностное суждение

осостоянии системы или процесса в новых условиях функционирования и/или

опутях и методах достижения этих новых координат. Специфика эконометрического прогноза заключается в том, что прогнозная информация генерируется на основе эконометрических методов или моделей, исходя из фактической информационной базы и предположения о наличии свойства инерционности у изучаемых процессов и явлений.

2.5.1.Построение интервальных прогнозов на основе факторных моделей

Основные этапы в построении безусловных ex ante-прогнозов (новых)

зависимой переменной y на основе факторной регрессионной модели могут быть представлены стандартной последовательностью шагов. Она состоит в следующих действиях.

а) Вне рамок модели получают прогноз значений всех предопределенных переменных. В дальнейшем вектор прогнозных значений предопределенных переменных обозначим как хр..

б) Исходя из результатов оценки уравнения регрессии (4.4), осуществляется точечный прогноз вероятного ожидаемого значения зависимой переменной y при подаче на вход факторной модели детерминированных значений вектора хр, следовательно:

y(x P ) a0 (x P )T a .

в) С заданной надежностью на полученной регрессионной модели строится доверительный интервал прогноза зависимой переменной yˆ(x p ) .

Остановимся подробнее на проблеме количественного оценивания доверительного интервала прогноза. Его построение существенно зависит и

определяется свойствами распределения случайных отклонений ряда y, то есть условиями Гаусса-Маркова, а также свойствами оценок коэффициентов уравнения регрессии.

Величина фактической ошибки прогноза, то есть eˆ y yˆ(x p ) , в любой точке упреждения x p ( x p (t) ) имеет нормальный или близкий к нормальному закон распределения. Используя условия Гаусса-Маркова, нетрудно показать, что ожидаемое значение ошибки прогноза составит:

M [eˆ] 0 ,

а дисперсия ошибки прогноза:

D f [eˆ] Dy Dyˆ(x p ) 2 Dyˆ(x p ) ,

где x p – прогноз факторов модели, в том числе может быть зависимых от времени.

Следовательно, для получения удовлетворительного интервального прогноза искомой величины y для ex ante-условий, необходимо рассчитать дисперсию ошибки прогноза D f , которая будет складываться из дисперсии случайной - D (или Dy 2 ) и дисперсии Dyˆ (или Dyˆ(x p ) ), привносимой моделью регрессии. Последняя является следствием того, что параметры эконометрической модели носят статистически случайный характер.

отклонением i , присущим ряду величины y .

Исходя из этого, можно записать значение стандартной ошибки прогноза, которая является мерой оценки разброса ожидаемых будущих значений

величины y относительно ЛММР, которая составит s f s y2ˆ s 2 .