Добавил:

AD Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тверской Государственный Университет

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

допуск и подготовка к экзамену / вопросы и задачи на экзамен

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.01.2025

Размер:

1.02 Mб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

1.Уравнение Гайзенберга. Формальное решение уравнения Гайзенберга в случае не зависящего от времени гамильтониана.

2.Основное коммутационное соотношение Гайзенберга.

ˆ ˆ

Найти B, C , если

A, B

С и

C, A

A .

Показать,

что произведение двух эрмитовых операторов A и

B всегда можно

представить в виде

где

AB C D ,

C – эрмитов оператор, а

D удовлетворяет

†

соотношению D

D . Найти C

и D .

Найти коммутатор квадрата оператора координаты и оператора проекции импульса

xˆ2 , pˆ		.
		x

6. Для	любых				двух	векторов	f	и	g гильбертова пространства и некоторого
оператора					ˆ	действующего		в	этом пространстве, выполнено условие
оператора				M ,		действующего		в	этом пространстве, выполнено условие
f \|	g		ˆ		ˆ				ˆ
f \|	g		M		f \| Mg . Какое свойство оператора M обязательно имеет место?

	А. он нелинейный,
	Б. он эрмитов,
	В. он унитарный,
	Г. он совпадает со своим обратным.
7.	Матрица плотности, физический смысл элементов матрицы плотности.
8.	Определение	среднего	значения	наблюдаемой.	Записать	выражение для
	вероятности	того, что	наблюдаемая	ˆ	значение	an в состоянии,
	вероятности	того, что	наблюдаемая	A принимает	значение	an в состоянии,

определяемом оператором матрицы плотности ˆ .

9.Понятие чистого состояния. Вид матрицы плотности в чистом состоянии.

10.Уравнение Шредингера в общем виде. Уравнение фон Неймана для матрицы плотности.

11.Постулаты квантовой механики (для случая чистого состояния).

12.Постулаты квантовой механики (для случая смешанного состояния).

13.В каком случае по определению две наблюдаемые являются одновременно измеримыми? Какие наблюдаемые называются совместимыми?

14.Для некоторого состояния матрица плотности имеет вид:

	3		1

ˆ		4	4
		1	1	.


			4
	4

Найти компоненты вектора поляризации. Чистому или смешанному состоянию отвечает данная матрица плотности?

15. Частица находится в состоянии		2i		f1		f2	4i		f3 . Векторы		fi образуют

ортонормированный

базис.

Оператор

имеет

вид:

f3 f3

в этом

. Найти среднее значение оператора A

состоянии.

16. Дана система, описываемая гамильтонианом

Дана также наблюдаемая, представленная матрицей (в том же базисе, что и оператор Гамильтона)

	0		4	0
ˆ		4	0	1
A a					.
		0	1	0

a.Если мы измеряем энергию, то какие значения энергии можно получить?

b.Пусть измерение энергии дало результат 0 . Если мы тут же проведем

измерение наблюдаемой ˆ , то какие значения можно получить и с какими

вероятностями?

c. Вычислите неопределенность величины ˆ в этом состоянии.

17. Пусть система находится в состоянии

							1
						1	0
						1
								.
						6

							4
							4
Даны две наблюдаемые
		2		0	0				1 0		0
ˆ	1						ˆ
A			0 1		i	,	B			0 0	i .
A	2		0 1		i	,	B			0 0	i .
	2		0	i	1					0 i
			0	i	1					0 i	0
a. Проводим измерения.		Сначала измеряем наблюдаемую										ˆ
a. Проводим измерения.		Сначала измеряем наблюдаемую										A , затем тут же

наблюдаемую ˆ . Найти вероятность получить значение 0 для наблюдаемой

ˆ и значение 1 для наблюдаемой ˆ .

A B

b. Привели систему		в исходное состояние. Теперь	сначала измеряем
наблюдаемую	ˆ	ˆ	Найти вероятность
наблюдаемую	B ,	затем тут же наблюдаемую A .	Найти вероятность
		ˆ	ˆ

получить значение 1 для наблюдаемой B и значение 0 для наблюдаемой A .

c.Объясните получившиеся результаты пунктов a. и b.

18.Пусть система находится в состоянии

			4 i
			2

				5i .
				5i .
			3 2i
			3 2i
Оператор Гамильтона имеет вид
		0		i	0
ˆ	1
H		i		3	3	.
H	2	i		3	3	.
	2		0	3	0
			0	3	0

a.Найдите среднее значение энергии в состоянии .

b.Найдите неопределенность энергии в состоянии .

c.Найти возможные значения энергии и вероятности их появления в эксперименте.

d.Пусть в эксперименте значение энергии оказалось равным E1 (выберите сами одно из возможных значений). Найдите снова среднее значение и неопределенность энергии.

19.Запишите уравнения Гайзенберга для оператора координаты и импульса для свободного движения. Решите их. Покажите, что дисперсия координаты изменяется со временем по закону

D x t D x

D x, px

D px

t 2 ,

в котором D x

и D px

– дисперсия координаты и импульса в начальный момент

времени t 0 ,

D x, px

ˆ ˆ

– ковариация в начальный момент

xpx

px x

времени t 0 .

20.Частица с зарядом находится в постоянном однородном электрическом поле напряженностью . Решить операторные уравнения движения Гайзенберга и установить коммутационные соотношения между операторами координаты и импульса, взятыми в различные моменты времени.

21. Пусть квантовая система может находиться только в двух состояниях f0 и f1 ,

являющихся собственными состояниями наблюдаемой ˆ , отвечающими

собственным значениям 0 и 1 соответственно. Оператор Гамильтона задан своим

действием на эти векторы:

f1 ,

f1 .

Здесь a,b – вещественные числа.

начальном

состоянии квантовая система

находится в состоянии

f0 .

Найдите

t . Решите задачу двумя

способами: а) используя оператор эволюции и б) решив уравнение Шредингера.

22. Гамильтониан двухуровневой системы в матричном представлении имеет вид:


	H		1	2	.
			2	1
Пусть базисные векторы есть
	1				0
	0	,		1		.
	0				1

В начальный момент 0 0 . Найти:

а) собственные значения и собственные векторы гамильтониана, записав последние в виде разложения по базисным векторам;

б) эволюцию состояния, используя оператор эволюции.

в) эволюцию состояния, решив уравнение Шредингера.

23. Пусть гамильтониан системы явно от времени не зависит, а его собственные

					f
векторы	fi принадлежат невырожденным собственным значениям						. В том же
самом гильбертовом пространстве состояний определена наблюдаемая							ˆ
							A , также
			ˆ	ak ak		ak	. Вначале

обладающая невырожденными собственными значениями: A
система находится в состоянии		f , затем в этой системе производят измерение

наблюдаемой A . Чему равно		среднее значение наблюдаемой				A	и какова
вероятность обнаружить в результате этого измерения значения наблюдаемой A ,
равное am ? Пусть в результате измерения наблюдаемой			A получено значение am .
Чему равна вероятность обнаружить это же значение			am , если спустя время t
произвести повторное измерение наблюдаемой A ?

24. Предположим, что вектор состояния системы имеет вид


						1	f	1		f	2		1	f	3		1	f	4	.
						1		1					1				1

				6			1		2			2				12
				6					2			2				12
Здесь	f1 ,	f2 ,	f3 ,		f4 –		собственные							векторы				оператора Гамильтона,
Здесь	f1 ,	f2 ,	f3 ,		f4 –		собственные							векторы				оператора Гамильтона,

отвечающие собственным значениям E, E, 2E, 4E соответственно.

1)Проводим селективные измерения энергии. С какой вероятностью может быть получено значение энергии 2E ? С какой вероятностью может быть получено значение энергии E ? Запишите матрицу плотности для системы до и после измерения, если при селективном измерении получено значение энергии 2E ,

получено значение энергии E .

2)Те же вопросы, но для случая неселективного измерения.

25.Оператор Гамильтона квантовой системы имеет вид

ˆ		cos	sin exp i
H				.
	sin exp i		cos

Система в начальный момент времени находится в состоянии

			1			1
						.


			2			1

e. Используя представление для функции от оператора, запишите выражение для оператора эволюции.

f. Найдите вектор состояния системы в последующие моменты времени

t .

g.Найти возможные значения энергии и вероятности их появления в эксперименте.

26.Понятие представления в квантовой механике. Понятие волновой функции.

Координатное и импульсное представления. Вид операторов координаты и импульса в этих представлениях.

27.Найти уровни энергии и собственные функции оператора Гамильтона для частицы

водномерной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной a

	0,	0 x a,
U x		x 0, x a.
,		x 0, x a.

Найти также

1) x , 2) D x , 3) волновую функцию в импульсном представлении, 4) D px .

Ответ: Стационарные состояния частицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной a описываются волновыми

функциями

						n
			2
n x				sin			x , 0 x a,

			a			a
							x 0, x a,
		0,
которые соответствуют						собственным значениям
гамильтониана E		2	2n2		.
	n	2ma2

28.Волновая функция частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной L с непроницаемыми стенками представлена на рисунке. Какова вероятность обнаружить частицу в области L6 x 5L6 ?

29.Сформулируйте осцилляционную теорему. Пример: энергетические уровни частицы в потенциальной яме.

30.Пусть частица в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной a в начальном состоянии находится в суперпозиции двух стационарных состояний

x, 0 A 1 x 2 x .

a.Проведите нормировку функции x, 0 ,

b.Найти x,t ,

c.Рассчитайте x , px и H .

		a	16a			2 2					px	8		E1t	, H	5 2 2
Ответ:	x			cos	3				t	,			sin					.
		2	9			2a	2	m				3a				2
																4a	m

31.Найти четные и нечетные состояния и их возможные значения энергии для частицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной 2a

0,	a x a,
U x	x a, x a.
,	x a, x a.

Ответ: Четные состояния:

2 2

n 1 2

cos

n 1 x

;

n,чет

8ma

нечетные

состояния:

n 1 2 ,

sin

n 1 x

8ma

n,нечет

n0,1, 2,...

32.Пусть частица в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной a в начальном состоянии находится в суперпозиции двух стационарных состояний

x, 0 A 1 x 2 x .

Найти x,t . Найти среднее значение энергии частицы и вероятность ее

обнаружения в первом возбужденном состоянии. Является ли состояние частицы стационарным?

33. Пусть в начальный момент времени волновая функция частицы, находящейся в

бесконечно глубокой потенциальной яме шириной	a вид	x, 0 Asin3 x .
		a

Найти волновую функцию в произвольный момент времени. Найти среднее значение энергии частицы и вероятность ее обнаружения в первом возбужденном состоянии. Является ли состояние частицы стационарным?

34. Волновая функция частицы в бесконечно			глубокой				потенциальной яме в
		x		1		2 x			a
некоторый момент времени имеет вид	A sin				sin			, где		- ширина ямы,

		a		2		a

A – постоянная. Чему равна средняя энергия частицы в этом состоянии? Ответ:

4 2 2

E 5ma2 .

35.Пусть частица в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной a в начальном состоянии находится в суперпозиции собственных состояний оператора гамильтона

0 c1 1 c2 2 c3 3 c4 4 .

a.Какова вероятность при измерении энергии частицы в состоянии 0

получить значение меньше, чем 3 2 2 a2m .

b.Определить среднее значение и среднеквадратичное отклонение энергии частицы в состоянии 0 .

c.Вычислить вектор состояния t в момент времени t 0 . Останутся ли результаты, полученные в предыдущих пунктах для t 0 , верными в произвольный момент времени?

d.При измерении энергии получен результат 8 2 2 a2m . Каково состояние системы после измерения? Какой результат будет получен при повторном измерении энергии?

36.Для стационарных состояний непрерывной части спектра частицы, находящейся в поле

V						a
V		,		x		a
	0
V x
	0,		x		a,

найти волновые функции. Найти также коэффициент прохождения T частицы,

совершающей одномерное движение над симметричной потенциальной ямой V x

. На примере решения обосновать эффект Рамзауэра-Таунсенда.

Ответ: T E		4E E V0			. Здесь E – энергия частицы.
	4E E V	V 2 sin2	2a
				2m E V

	0	0		0

37. Частица массы m находится в поле
V		,			a,
V		,	x		a,
	0
V x
	0,		x	a.



Найти число связанных состояний	и их		энергии, если а) 2ma2V 2			, b)
		0

2ma2V0 3 2 .

38.Найти коэффициенты прохождения T и отражения R при одномерном движении частицы над потенциальным барьером E V0 :

	0,		x 0,
V x	V ,		0 x a,
		0
		0,	x a.
		0,	x a.

39.Найти коэффициенты прохождения T и отражения R при одномерном движении частицы с энергией E V0 :

	0,		x 0,
V x	V ,		0 x a,
		0
		0,	x a.
		0,	x a.

40. Частица массы m находится в яме:
,			x 0,
			0 x a,
V x V0		,	0 x a,
	0,		x a.
	0,		x a.

1.Найти волновую функцию связанных состояний этой частицы.

2.Найти графическим методом уровни энергии этих состояний.

3. При каком минимальном значении V0 существует два связанных состояния?

41.Найти уровни энергии и собственные функции связанных состояний частицы в поле двух δ-ям:

Ux x a x a .

42.Получить общие соотношения для волновых функций и энергетического спектра в случае периодического потенциала. Теорема Блоха, энергетические зоны, модель Кронига-Пенни, Дираковская потенциальная гребенка.

Указание: Флюгге З. Задачи по квантовой механике. Том 1.М.: Мир, 1974. Задача

28 и 29.

Указание: Галицкий В.М., Б.М. Карнаков, В.И. Коган Задачи по квантовой механике. Часть 1.М.: Едиториал УРСС, 2001. Задачи 2.52-2.55

Смотри также учебники по квантовой механике.

43.Уровни Ландау. Найти уровни энергии и нормированные волновые функции стационарных состояний заряженной бесспиновой частицы в однородном

магнитном поле	напряженностью H Hez . Провести расчеты в калибровке
Ax 0, Ay Hx,	Az 0 .

Указание: Галицкий В.М., Б.М. Карнаков, В.И. Коган Задачи по квантовой механике. Часть 1.М.: Едиториал УРСС, 2001. Задача 7.1

44.Запишите уравнение фон Неймана в координатном представлении.

45.Уравнение Гайзенберга для одномерного гармонического осциллятора. Его решение. Операторы рождения и уничтожения: определение и их физический смысл.

46.Как построить произвольное состояние осциллятора n , если известно основное

0 ?

47. Линейный гармонический осциллятор находится в состоянии 0 12 0 1

. Найти x t .

48. Матрица плотности одномерного гармонического осциллятора имеет вид:

ˆ	1			2			i			i
		0	0		1	1		0	1		1 0	. Найти средние значения и дисперсии
	3			3			6			6

энергии и импульса в этом состоянии.

49. Уравнение непрерывности. Физический смысл.

50. Пусть потенциальная энергия частицы отлична от нуля в некоторой конечной

области. Волновая функция при	x имеет вид	4ieikx ,	где k	– некоторое
положительное число. Может ли	волновая функция	при	x	иметь вид
5eikx 3e ikx ?

А. да Б. нет

В. зависит от энергии частицы Г. зависит от поведения поля в указанной области

51.Пусть потенциальная энергия частицы U (x) отлична от нуля в некоторой конечной области. Пусть также волновая функция стационарного состояния частицы имеет

следующую асимптотику при x имеет вид 12 e ikx i 23 eikx . Измеряют поток частиц в этом состоянии в области действия потенциала при x 0 . Какое значение будет получено?

А. k

Б. 2m

В. k

	Г. Значение зависит от значения потенциала в точке x 0 .
52.	Частица находится в состоянии с определенной проекцией орбитального момента
	импульса на ось x:		ˆ	Измеряют квадрат орбитального момента.	Какое из
	импульса на ось x:		Lx 2 .	Измеряют квадрат орбитального момента.	Какое из
	перечисленных значений могло быть при этом получено?
	А. 10 2
	Б.	12 2
	В.	8 2
	Г.	24 2
53.	Пространственный		ротатор	приведен в состояние с волновой	функцией
	, Acos2 . Найти вероятности различных значений энергий, момента и его
	проекции на ось Oz , а также средние значения и флуктуации этих величин.
54.	Система находится в состоянии , Asin cos .

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке допуск и подготовка к экзамену

#
11.01.2025624.56 Кб1IBPya3wQfIw.jpg
#
11.01.20251.34 Mб0IPcwR2Hm7Yw.jpg
#
11.01.20251.35 Mб0qFsX18FpKDw (1).jpg
#
11.01.20251.11 Mб0v25Khfcsx8E.jpg
#
11.01.20251.35 Mб2v_FR2wO4CSE.jpg
#
11.01.20251.02 Mб1вопросы и задачи на экзамен .pdf
#
11.01.202515.34 Кб3вопросы на допуск.docx