допуск и подготовка к экзамену / вопросы и задачи на экзамен
.pdf
Запишите волновую функцию в терминах сферических гармоник. Ответ:
|
|
A |
|
|
8 |
|
Y11 Y1, 1 . |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Найдите константу A . Ответ: A |
3 |
. |
||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||
Чему равно среднее значение квадрата оператора орбитального момента в этом
ˆ2 |
2 |
2 |
. |
состоянии? Ответ: L |
|
Найти возможные наблюдаемые значения Lz и вероятности их обнаружения.
Ответ: w w 12 .
Указание:
55.Атом водорода находится в основном состоянии 100 r, , . Найти
Волновую функцию 100 r, , .
Наиболее вероятное расстояние между ядром и электроном в этом состоянии.
Среднее значение 
rn 
квадрата расстояния между ядром и электроном в этом
состоянии.
Среднюю кинетическую и потенциальную энергии электрона.
Распределение по импульсам в этом состоянии.
56.Найти энергетический спектр и волновые функции сферического осциллятора с
W m 2r2
2 , решая уравнение Шредингера, записанного в сферических
|
|
|
3 |
|
|
n 2nr l 0,1, 2,... , Волновые функции |
координатах. Ответ: |
En |
n |
|
|
, |
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
определяются полиномом степени nr |
– вырожденной гипергеометрической |
|||||||||||||
функцией |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
r2 |
|
|
|
3 |
|
m |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||
r, , Cr |
|
e |
2 |
|
F |
nr |
,l |
|
, |
|
r |
|
Ylm , . |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Указание: Флюгге З. Задачи по квантовой механике. Том 1.М.: Мир, 1974. Задача
65. Смотри также лекцию с выводом волновых функций для атома водорода.
57.Какое из нижеперечисленных утверждений справедливо?
2 |
|
ˆ |
А. Любая собственная функция оператора L |
будет собственной функцией оператора Lz |
|
ˆ |
будет собственной функцией оператора |
2 |
Б. Любая собственная функция оператора Lz |
L |
|
В. Никакая собственная функция оператора L2 не является собственной функцией
оператора ˆ
Lz
Г. Все перечисленное неверно
58.Как классифицируются уровни энергии атома водорода? Примеры нескольких уровней и их волновые функции.
59.Объяснить причину вырождения энергетического спектра атома водорода. Что такое кулоновское (случайное) вырождение?
60.Условия сшивки волновых функций в методе ВКБ.
61.Правило квантования Бора-Зоммерфельда. Минимальный фазовый объем.
62.Найдите в квазиклассическом приближении энергетический спектр для
гармонического осциллятора и для связанных состояний частицы в поле
V x V0 . ch2 ax
63.Найти в квазиклассическом приближении коэффициент прохождения через потенциальный барьер
V0 |
, x R, |
||
|
2Ze2 |
|
|
V x |
x R. |
||
|
|
, |
|
|
|||
|
x |
|
|
На основе решения объяснить теорию альфа-распада и получить закон Гейгера-
Неттола.
64.Поправки к энергии состояния в первом и во втором порядках стационарной теории возмущений.
65.На частицу, находящуюся в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной a
|
0, |
0 x a, |
U x |
|
x 0, x a, |
, |
||
наложили малое возмущение V x V0 cos x
a . Чему равна поправка второго
порядка к энергии основного состояния? Ответ: V02ma2 .
6 2 2
66.Найти расщепление первого возбужденного уровня плоского гармонического осциллятора под действием возмущения xy ( 0 ). Запишите также правильные функции нулевого приближения.
67.Для заряженной частицы, находящейся в одномерной симметричной бесконечно глубокой потенциальной яме методом теории возмущений найти сдвиг энергетических уровней в однородном электрическом поле. Найдите также поляризуемость основного состояния.
Указание: Галицкий В.М., Б.М. Карнаков, В.И. Коган Задачи по квантовой механике. Часть 1.М.: Едиториал УРСС, 2001. Задача 8.3
68.Эффект Штарка. Найти расщепление в однородном электрическом поле уровня энергии атома водорода с n 2 .
69.Представление взаимодействия (Дирака) в квантовой механике.
70.Золотое правило Ферми.
71.Найти вероятность того, что при β-распаде трития ион 3He+ окажется: а) в 1s-
состоянии; б) в 2s-состоянии; в) в 2p-состоянии, если атом трития находился в 1s-
состоянии.
72.Матрицы Паули. Найти собственные значения и собственные векторы матриц Паули. Являются ли матрицы Паули эрмитовыми, унитарными?
73. Показать, что для комбинаций типа aσˆ ai ˆi справедливо соотношение
aσˆ bσˆ |
ˆ |
σˆ a b , |
ab I i |
||
если компоненты векторов a и b |
являются либо числами, либо операторами, |
|
коммутирующими со всеми матрицами Паули. |
|
|
74. Пусть e – вектор единичной длины. Доказать, что |
||
ˆ |
ˆ |
ˆ |
exp i eσ I cos ieσ sin .
Указание: Решите задачу на собственные векторы и собственные значения эрмитова оператора eσˆ и запишите этот оператор в спектральном представлении.
Воспользуйтесь также полнотой базиса эрмитова оператора, а также определением
ˆ |
|
fk |
fk |
|
. |
|
|
||||
функции от оператора F A F ak |
|
|
k
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
75. |
Найти дисперсию проекции спина на ось ординат в состоянии |
Sx |
1 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
76. |
Запишите уравнение Паули. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
77. |
Показать, что спин |
s |
1 |
|
|
во внешнем магнитном поле |
|
|
прецессирует с частотой |
|||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
mc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78. |
Пусть состояние системы из двух спинов |
s |
1 |
и s |
|
|
1 |
описывается вектором |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
, |
|
, |
|
, |
|
, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1) Пусть измеряют |
s |
. С какой вероятностью будет получено значение |
s |
|
1 |
? |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) Какова вероятность при измерении s2 x получить значение 12 ?
79.Частицы со спином s 12 в падающем пучке поляризованы так, что их спины
лежат в плоскости z 0 |
и образуют угол |
|
с осью |
Ox . |
Запишите спиновую |
|||||||||||||||||||
матрицу плотности для этого пучка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
80. В спиновом базисе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
операторы наблюдаемых имеют вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ˆ |
3 0 |
|
ˆ |
|
1 |
|
|
1 |
|
ˆ |
|
0 2i |
, |
|||||||||||
A |
|
|
|
|
|
, |
B |
|
|
|
|
|
|
, |
C |
|
|
|||||||
|
|
0 1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
2i |
0 |
|
||||||||||||
а их средние для некоторого состояния ˆ |
|
|
равны |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
ˆ |
1 |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
||||||
|
|
A |
|
2, |
B |
|
2 |
, |
|
C |
0. |
|
|
|||||||||||
Найдите вектор поляризации и матрицу плотности для этого состояния. Чистым или смешанным является это состояние?
81. Пусть частицы в пучке поляризованы вдоль направления n , т.е. спинор имеет вид
|
|
cos |
|
|
|
|
|
2 |
|
||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
i |
|
|
sin |
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
Вектор напряженности магнитного поля в приборе Штерна направлен вдоль оси Oz .
Найти отношение интенсивностей в двух точках на экране (интенсивность в верхней к интенсивности в нижней) после прохождения прибора Штерна, считая, что
интенсивности пропорциональны вероятностям обнаружить в одной точке спин
|
1 |
, а в другой |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
i |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
4 |
|
|
8 |
|||||
82. Спиновая матрица плотности в падающем пучке имеет вид |
|
|
i |
3 |
|
. Найти |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
8 |
|
4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
отношение интенсивностей в двух точках на экране (интенсивность в верхней к интенсивности в нижней) после прохождения прибора Штерна, вектор напряженности магнитного поля в котором направлен вдоль оси аппликат.
83.В момент времени t 0 частица со спином 1
2 находится в состоянии, в котором
проекция спина на ось z рана 1
2 . Гамильтониан частицы в магнитном поле имеет вид H A
2 x y . Здесь A – постоянная, x , y – матрицы Паули.
Найдите, через какое время проекция спина будет равна 1 2 . Ответ: t |
|
||
|
. |
||
2 A |
|||
84. Дана система из двух частиц со спинами s1 1 , |
s2 1. Сколько |
возможно |
|
состояний такой составной системы? Найти векторы состояния. |
|
|
|
85.Тождественные частицы. Принцип неразличимости тождественных частиц.
Принцип запрета Паули.
86.Теорема Паули о связи спина со статистикой.
87.Обменные эффекты. Примеры: обменное расщепление уровней, отбор квантовых чисел.