Материалы к защите

Вопросы к лабораторной работе

1. Требования к функциям отклика и параметрам.

Изучаемая функция y (29) называется функцией отклика и является математической моделью объекта исследования.

Главным требованием к функции отклика является ее способность с необходимой точностью предсказывать направление дальнейших опытов, причем точность предсказания во всех возможных направлениях должна быть одинаковой. Это значит, что в некоторой подобласти, в которую входят и координаты выполненных опытов, предсказанное с помощью модели значение отклика не должно отличаться от фактического больше, чем на некоторую заранее заданную величину. Проверка выполнимости этого условия называется проверкой адекватности модели.

Выходной параметр процесса должен быть: 1) задан количественно, т.е. иметь численное значение; 2) однозначен, т.е. заданному набору значений факторов должно соответствовать одно с точностью до ошибки эксперимента значение выходного параметра; 3) эффективен с точки зрения достижения цели и в статистическом смысле; 4) универсален (наиболее хороши здесь обобщенные параметры такие, например, как рассмотренные в разделе теории безразмерные комплексы); 5) прост и иметь ясный физический смысл; 6) действителен для всех различных состояний.

Факторы должны быть управляемыми, т.е. чтобы можно было, задав нужное их значение, поддерживать его на постоянном уровне в течение всего эксперимента. Точность замера факторов необходима возможно более высокая. Вся совокупность факторов должна быть совместима, а сами факторы – независимы, т.е. необходимо выполнение условия установить фактор на любом уровне вне зависимости от уровней других факторов. Требование некоррелированности не означает, что между значениями факторов нет никакой связи. Достаточно, чтобы эта связь не была линейной.

2.Диапазон варьирования.

Одним из самых ответственных моментов этого этапа является правильный выбор интервалов варьирования факторами xi . При слишком малом значении xi функция отклика может очень слабо

интервала варьирования также приводит к отрицательным результатам.

степени влияния каждого фактора на рассматриваемый процесс. Они могут быть получены из уже проведенных аналогичных исследований, из предварительных однофакторных экспериментов или же из соответствующей научной литературы. В крайнем случае интервалы варьирования выбираются интуитивно. Тем более, что сам метод ПФЭ после его реализации дает информацию о том, насколько правильно выбраныxi и как их нужно изменить, если они были выбраны неверно.

На интервалы варьирования накладываются естественные ограничения. Они не могут быть меньше ошибки, с которой фиксируются уровни факторов; не могут быть настолько большими, чтобы верхний и нижний уровни оказались за пределами области существования. В задачах оптимизации для первой серии опытов выбирается такая подобласть факторного пространства, чтобы обеспечить возможность шагового движения к экстремуму. В задачах интерполяции интервалы охватывают всю исследуемую область.

Выбор интервалов варьирования – трудная неформализованная задача, которая решается по результатам анализа точности фиксации уровней факторов, сведений о кривизне поверхности отклика и диапазоне изменения параметра выхода. На предварительном этапе исследования можно рекомендовать следующие границы варьирования: широкий интервал – он составляет более 30% от области определения фактора; средний – от 10 до 30%; узкий – менее 10% от области определения. Однако в каждой конкретной задаче приходится специально определять эти понятия градаций.

3. Центр эксперимента.

Метод полного факторного эксперимента (ПФЭ) дает возможность получить математическое описание исследуемого объекта или процесса в некоторой локальной области факторного пространства, лежащей в

тем эффективнее, чем большее число независимых переменных принимается во внимание, однако количество опытов при этом растет.

4. С какой целью нормируют факторы?

Второй этап метода ПФЭ включает преобразование факторов из натурального масштаба в безразмерный, что облегчает в дальнейшем математическую обработку результатов эксперимента. Для этого можно воспользоваться формулой

Основанием для такого упрощения может служить следующее положение. Из курса математического

окрестность достаточно мала, то линейная часть разложения ряда Тейлора будет вполне удовлетворительно описывать поведение этой функции. Учитывая сказанное, легко понять, почему слишком большой интервал варьирования может привести к неправильному результату.

5.Что означает, когда эксперимент воспроизводим?

Проверка воспроизводимости результатов эксперимента

Прежде всего необходимо убедиться в том, что опыты воспроизводимы, т.е. статистически достоверны. Для этой цели в каждой серии параллельных экспериментов, проведенных в одинаковых условиях, определяются дисперсии:

Если опыты невоспроизводимы, то необходимо выявить источники нестабильности эксперимента, ликвидировать их и повторить эксперимент снова. В том случае, когда нельзя достигнуть воспроизводимости эксперимента, математические методы планирования применять нельзя. Возможны такие варианты, когда не будет воспроизводиться серия параллельных опытов, которые, скажем, имеют в результате наибольшую дисперсию. Это может произойти в случае «выброса» эксперимента, например, в результате ошибки показаний прибора. Тогда можно заменить этот опыт повторным или отбросить указанное значение, пересчитав соответствующим образом дисперсию.

6. Проверка воспроизводимости результатов эксперимента

Прежде всего необходимо убедиться в том, что опыты воспроизводимы, т.е. статистически достоверны. Для этой цели в каждой серии параллельных экспериментов, проведенных в одинаковых условиях, определяются дисперсии:

Для проверки воспроизводимости опытов находят отношение наибольшей из дисперсий к сумме всех остальных:

(см. приложение 1). Для определения GT требуется знать доверительную вероятность P и число степеней свободы fc ,

связанные с каждой из дисперсий S 2j . Обычно принимают надежность опытов P 0.95 , а fc рассчитывают по формуле

Если опыты невоспроизводимы, то необходимо выявить источники нестабильности эксперимента, ликвидировать их и повторить эксперимент снова. В том случае, когда нельзя достигнуть воспроизводимости эксперимента, математические методы планирования применять нельзя. Возможны такие варианты, когда не будет воспроизводиться серия параллельных опытов, которые, скажем, имеют в результате наибольшую дисперсию. Это может произойти в случае «выброса» эксперимента, например, в результате ошибки показаний прибора. Тогда можно заменить этот опыт повторным или отбросить указанное значение, пересчитав соответствующим образом дисперсию.

7. Физический смысл b0 и b12

При методе ПФЭ функцию отклика обычно ищут в виде

Основанием для такого упрощения может служить следующее положение. Из курса математического анализа

точки с координатами x01 , x02 ,..., x0n , можно разложить в ряд Тейлора. Если же эта окрестность достаточно мала, то линейная часть разложения ряда Тейлора будет вполне удовлетворительно описывать поведение этой функции.

Вычисление коэффициентов уравнения регрессии

Коэффициенты уравнения (31) вычисляются по формулам:

Заключительной процедурой является статистическая проверка результатов проведенной серии экспериментов.

9. Проверка на значимость коэффициентов bi и bim .

Некоторые из коэффициентов уравнения (31) могут оказаться пренебрежимо малыми – статистически незначимыми. Чтобы установить это, необходимо прежде всего вычислить оценку дисперсии единичного измерения:

Расчетное значение t pi определяется из формулы

Для нахождения tT по таблицам необходимо знать доверительную вероятность (надежность) P и число степеней свободы fc . Первая принимается равной 0,95, а fc вычисляется следующим способом:

fc N 1 .

В случае, если условие (42) не выполняется для какого-либо коэффициента bi , то соответствующий фактор можно исключить из уравнения (31).

10 Что значит когда уравнение регрессии адекватно?

Получив в результате проведения и обработки серии опытов уравнение (31), следует проверить его адекватность (эквивалентность) результатам эксперимента с помощью критерия Фишера, представляющего собой отношение

Уравнение (32) считается адекватным результатам экспериментов и может быть использовано, если выполнено условие

знаменателем выражения (44) и доверительную вероятность P , которая принимается равной 0,95.

11. Алгоритм действий, если уравнение неадекватное.