Законы сохранения в релятивисткой механике
До сих пор говорилось
о законах сохранения энергии и
импульса для материальной частицы,
теперь следует остановиться на законах
сохранения для системы 
материальных
частиц. Вопрос о законах сохранения
имеет два аспекта. Первый состоит в том,
что нужно выяснить, как выглядят
релятивистские законы сохранения в
рамках заданной ИСО. Второй аспект
заключается в выяснении поведения
сохраняющихся величин при переходе от
одной инерциальной системы к другой.
Оба эти вопроса решаются очевидным
образом для системы невзаимодействующих
частиц и весьма сложны для частиц,
взаимодействующих между собой.
Начнем с системы
невзаимодействующих
частиц. Уравнения движения и изменения
энергии, относящиеся к 
частице,
имеют вид
(12)
,
(13)
,
где через 
обозначена
сила, действующая на
частицу (суммирования по
нет!).
Если рассматривается одна
частица, не взаимодействующая ни с
какими другими частицами, 
и
из (12) и (13) непосредственно вытекают
закон сохранения
импульса и закон сохранения
энергии. В сущности, это
обстоятельство и отражается в том, что
для отдельной частицы
.
Для отдельной частицы, которая представляет
собой замкнутую систему, 
сохраняется
потому, что сохраняются и 
и
отдельно. Отметим попутно еще раз,
что
и
отдельной
частицы в совокупности образуют 4-вектор.
При преобразованиях Лоренца уравнение Максвелла сохраняет свой вид:
где:
—
координаты
в неподвижной системе, м;
—
координаты
в подвижной системе, м; с
—
скорость
света,
;
—
время в неподвижной системе, с;
—
время
в подвижной системе, с; inv
—
инвариант.
Тогда речь идет о
системе
невзаимодействующих
материальных частиц, сохранение
суммарного импульса системы 
и
суммарной энергии системы
очевидно, поскольку сохраняется каждое
слагаемое в отдельности.
Законы преобразования суммарного импульса и суммарной энергии
(14)
При переходе от одной ИСО к другой очевидны: сумма компонент векторов преобразуется как компонента вектора.
Вопрос о законах сохранения
в системе
взаимодействующих
частиц гораздо сложнее. В
обычной классической механике взаимодействие
частиц в случае консервативных сил можно
было описать потенциальной функцией
системы 
причем 
определяло
положение
частицы в момент
,
а положение всех
частиц
рассматривалось в один и тот же момент
времени. Возможность выбора одного
единственного момента времени в конечном
счете обусловлена тем, что в классической
механике скорость распространения
взаимодействий предполагается
бесконечной.
Из-за того, что скорость
распространения взаимодействий
в релятивистской механике конечна,
для вычисления силы и данной точке нужно
знать положения всех частиц в некоторый
предыдущий момент времени. Отсюда ясно,
что вид функции
в релятивистском случае отнюдь не прост.
Если записать выражение для энергии системы тел в виде
(15)
и для суммарного импульса
(16)
То можно утверждать следующее.
Величины 
и
в отличие от того, что мы имели для
отдельной частицы, не образуют 4-вектора.
Кроме того, эти величины не являются
постоянными. Невыполнение равенства 
ясно
уже из того, что в классической механике сохраняется
полная энергия системы, в которую входит
и потенциальная энергия системы.
В (15) потенциальная энергия не входит,
и ввести ее строгим образом довольно
сложно. С конечной скоростью передачи
взаимодействий связано и то, что выражение
(16) не сохраняется во времени. В конечном
итоге это обстоятельство разъясняет и
тот парадоксальный факт, что величины 
и
представляющие собой сумму компонент
4-векторов, не являются компонентами
4-вектора. Действительно, в любой системе
отсчета, где составляются суммы (15) и
(16), слагаемые берутся одновременно в
смысле одновременности данной
системы отсчета. При переходе к другой
инерциальной системе можно найти
значения импульсов и энергий отдельных
частиц по правилам преобразования
4-векторов и сложить их. Однако в повой
системе пересчитанные события окажутся
уже не одновременными. Чтобы найти
и
в
новой системе, нужно привести эти суммы
к одновременности в повой системе
отсчета. Именно этот пересчет
одновременности и лишает величины
и
свойств компонент 4-вектора.
При наличии взаимодействия релятивистские системы обладают десятью интегралами движения: интегралом энергии, импульса, движения центра инерции, момента импульса и другие
Что касается поведения интегралов движения при переходе от одной инерциальной системы к другой, то в некотором приближении
(
,
где сохраняются еще члены 
энергия
и импульс составляют 4-вектор, а интегралы
движения центра инерции и момента
импульса — антисимметричный 4-тензор.
Отсюда ясно, что если эти интегралы
сохраняются в одной системе отсчета,
то они будут постоянны и во всякой другой
системе отсчета.
Есть один случай, в котором законы сохранения импульса и энергии можно записать в простом виде:
,
(17)
.
(18)
Эти формулы пригодны в том случае, когда рассматриваются быстрые, но слабо (или кратковременно) взаимодействующие частицы. Формулы (17) и (18) несправедливы во время взаимодействия, но вполне пригодны до начала и после окончания взаимодействия. Их, в частности, можно применить к идеальному релятивистскому газу, а также к «соударениям микрочастиц».