Практическая №2 (Линейный парный регрессионный анализ) / Практическая №2 (Вариант 13) / Практическая 2 ЧЕРНОВ

ГУМРФ имени адмирала С.О. Макарова

ИНСТИТУТ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА

Кафедра технологии судоремонта

Практическая работа №2

ЛИНЕЙНЫЙ ПАРНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

по дисциплине «Теория инженерного эксперимента»

Вариант №13

Выполнил студент группы М-11 Чернов Н.Е.

Проверил преподаватель к.т.н. Горбаченко Е.О.

Санкт-Петербург

2024

Цель работы: получение умений и навыков в обработке результатов экспериментов методом наименьших квадратов.

1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ РАСЧЀТА ПАРАМЕТРОВ АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ (МНК)

Необходимо установить вид аппроксимирующей функции графоаналитическим методом и МНК по результатам исследования твёрдости стали при ударной вязкости. Результаты эксперимента приведены в таблице 2. Исходные данные для оценки результатов многократных измерений представлены в таблице 1. Однако, за невозможностью перестроить координатные оси в логарифмические с использованием значений меньше 1, мы преобразуем данные ударной вязкости нормализованной стали.

Таблица 1 - Исходные данные для оценки результатов многократных измерений

№ опытов (измерений)	x – твёрдость стали HV, МПа	у – ударная вязкость нормализованной стали, Дж/м2
1	1000	0,72
2	1500	0,62
3	2000	0,62
4	2500	0,58
5	3000	0,58
6	3300	0,52
7	3600	0,55
8	4000	0,5

№ опытов (измерений)	x – твёрдость стали HV, МПа	у – ударная вязкость нормализованной стали, мДж/м2
1	1000	720
2	1500	720
3	2000	620
4	2500	580
5	3000	580
6	3300	520
7	3600	550
8	4000	500

а)

б)

Рисунок 1 – Зависимость твёрдости стали от ударной вязкости, построенная в координатах с обычными (а), логарифмическими (б) шкалами.

Это значит, что аппроксимирующая функция является степенной вида . Проведём осевую линию с помощью Excel. Определим параметры и по формулам;

Постоянную определим по формуле:

Значит, по результатам графоаналитического анализа аналитический вид аппроксимирующей функции будет выглядеть следующим образом:

Теперь найдём вид аппроксимирующей функции с применением МНК.

Так как аппроксимирующая функция имеет вид , т. е. является степенной, произведём замену переменных: . При этом степенная функция преобразуется в линейную: .

Найдём параметры и новой (линейной) функции, предварительно рассчитав суммы, стоящие в этих выражениях, в табличной форме (табл. 2).

Таблица 2 - Табличная форма обработки экспериментальных данных

№ опыта
1	3,000	2,857	9,000	8,164	8,572	5,857	34,308
2	3,176	2,792	10,088	7,797	8,869	5,968	35,623
3	3,301	2,792	10,897	7,797	9,218	6,093	37,130
4	3,398	2,763	11,546	7,637	9,390	6,161	37,962
5	3,477	2,763	12,090	7,637	9,609	6,241	38,944
6	3,519	2,716	12,380	7,377	9,556	6,235	38,869
7	3,556	2,740	12,647	7,510	9,746	6,297	39,648
8	3,602	2,699	12,975	7,284	9,722	6,301	39,703
∑	27,029	22,124	91,623	61,203	74,681	49,153	302,188

Проверим правильности вычислений:

Расчёты произведены верно.

Значит, линейный вид функции следующий:

Параметры аппроксимирующей функции и следующие:

Таким образом, вид аппроксимирующей функции, полученный МНК:

2. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОГРЕШНОСТИ ПРЕДСКАЗАНИЯ ПОСТРОЕННЫМ УРАВНЕНИЕМ РЕГРЕССИИ РЕЗУЛЬТАТОВ ОПЫТОВ

Оценим значимость полученного уравнения регрессии:

Сначала рассчитаем дисперсию , характеризующую разброс значений относительно среднего значения , причём . Затем рассчитаем остаточную дисперсию , характеризующую разброс значений относительно линии регрессии. Промежуточные расчёты выполним в табличной форме (табл. 3). Тогда:

Таблица 3 - Табличная форма для вычисления общей и остаточной дисперсий

№ опыта
1	3,000	2,857	3,975	-0,072	0,005	1,011	1,023
2	3,176	2,792	3,727	0,086	0,007	0,921	0,848
3	3,301	2,792	3,382	0,016	0,000	0,506	0,256
4	3,398	2,763	3,046	-0,046	0,002	0,108	0,012
5	3,477	2,763	2,720	0,058	0,003	-0,114	0,013
6	3,519	2,716	2,402	-0,004	0,000	-0,494	0,244
7	3,556	2,740	2,092	-0,092	0,009	-0,892	0,795
8	3,602	2,699	1,791	0,054	0,003	-1,047	1,096
∑	27,029	22,124	-	-	0,030	-	4,287

Тогда экспериментальное значение критерия Фишера примет следующее значение:

Для уровня значимости q = 5 % и числа степеней свободы

табличное значения критерия Фишера F_табл = 4,21.

Так как F_экс>F_табл, полученное уравнение регрессии описывает результаты эксперимента на уровне меньше 5 %, т. е. точно.

3. ОСНОВЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА. КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ

Оценим коэффициент корреляции данных эксперимента, представленных в таблице 4.

Таблица 4 - Результаты расчёта сумм

№ опыта
1	3,000	2,857	9,000	8,164	8,572
2	3,176	2,792	10,088	7,797	8,869
3	3,301	2,792	10,897	7,797	9,218
4	3,398	2,763	11,546	7,637	9,390
5	3,477	2,763	12,090	7,637	9,609
6	3,519	2,716	12,380	7,377	9,556
7	3,556	2,740	12,647	7,510	9,746
8	3,602	2,699	12,975	7,284	9,722
∑	27,029	22,124	91,623	61,203	74,681

Коэффициент корреляции ρ определяется через отношение угловых коэффициентов и по формуле:

Минус указывает на убывающую зависимость.

На рисунке 2 представлены регрессия y по x и регрессия x по y. Обратную регрессию построили угловой коэффициент обратной регрессии. Согласно расчётам прямой регрессии угловой коэффициент , тогда угловой коэффициент обратной регрессии

Коэффициент регрессии x по y определим с учётом того, что линии регрессии проходят через центр тяжести поля экспериментальных точек. Центр тяжести имеет координаты   , где x — среднее арифметическое значение абсцисс экспериментальных точек, а y — среднее арифметическое значение ординат экспериментальных точек.

Тогда, подставив значения в уравнение регрессии x по y: , то получим:

Отсюда

Это значит уравнение регрессии x по y запишется в виде:

Рисунок 2 – Линии прямой и обратной регрессии, построенные для экспериментальных данных таблицы 3.

Как видно из рисунке 2, две регрессии образуют почти незаметные «ножницы». Это говорит о высоком коэффициенте корреляции экспериментальных данных.