1.4.В вазе 11 яблок, из которых 3 червивых. Какова вероятность взять два не червивых яблока и два червивых?

1.5.Из пакета, в котором лежат 10 пирожков с мясом и 4 – с капустой, берут

3 пирожка. Найти вероятность, что все они с мясом.

1.6.В зале имеется 20 белых и 10 синих кресел. Случайным образом места занимают 13 человек. Какова вероятность, что займут 3 белых и 10 синих кресел?

1.7.В вазе 10 яблок, из которых 4 червивых. Какова вероятность взять два не червивых яблока?

1.8.Имеется 9 лотерейных билетов, среди которых 2 выигрышных. Найти вероятность того, что среди 4 наудачу купленных билетов нет выигрышных.

1.9.Среди 12 плодов 4 поражены болезнью. Найти вероятность того, что среди 5 выбранных плодов 2 будут поражены болезнью.

1.10.В загоне находятся 8 поросят северокавказской породы и 5 поросят крупной белой породы. Найти вероятность, что среди 3-х наугад отобранных поросят окажутся все северокавказской породы.

2. Теоремы сложения и умножения вероятностей

2.1. Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо.

Вероятность выхода из строя первого элемента при включении прибора –

0,03, второго – 0,06. Найти вероятность того, что при включении прибора откажет только один элемент.

2.2. Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо.

Вероятность выхода из строя первого элемента при включении прибора –

0,03, второго – 0,06. Найти вероятность того, что при включении прибора откажут оба элемента.

2.3. Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо.

Вероятность выхода из строя первого элемента при включении прибора –

0,03, второго – 0,06. Найти вероятность того, что при включении прибора не откажет ни один элемент.

2.4. Вероятность сдачи студентом зачета равна 0,8. Если зачет сдан, то студент допускается к экзамену, вероятность сдачи которого равна 0,75.

Найти вероятность того, что студент сдаст зачет и экзамен.

2.5.Среди 25 экзаменационных билетов 5 «хороших». Два студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятность того, что оба студента взяли «хорошие» билеты.

2.6.Среди 25 экзаменационных билетов 5 «хороших». Два студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятность того, что оба студента взяли «плохие» билеты.

2.7.В читальном зале 6 книг по теории вероятностей, из них 3 в переплете.

Наудачу взяли 2 учебника. Какова вероятность того, что оба учебника в переплете?

2.8. В торговом центре два одинаковых автомата продают шоколадки.

Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончатся шоколадки,

равна 0,4. Вероятность того, что шоколадки закончатся во втором автомате,

равна 0,14. Найдите вероятность того, что к концу дня шоколадки останутся в обоих автоматах.

2.9. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,19. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа перегорит.

2.10. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,15. Найдите вероятность того, что в течение года перегорит только одна лампа.

3.Формула полной вероятности и формула Байеса

3.1.На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 25 %,

вторая – 75 %. В их продукции брак составляет соответственно 5 %, 4 %.

Найти вероятность того, что случайно выбранный из продукции болт окажется дефектным.

3.2. Имеются два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 2 белых и 1

чёрный шар, во втором – 1 белый и 4 чёрных шара. Наудачу выбирают один ящик и вынимают из него шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется белым.

3.3.В первой коробке содержится 10 карандашей, из них 5 красных; во второй 20 карандашей, из них 3 красных. Наудачу выбирают одну коробку и вынимают из нее карандаш. Найти вероятность того, что карандаш будет красным.

3.4.С первого автомата на сборку поступает 40 %, со второго – 60 %

деталей. Среди деталей первого автомата 0,1% бракованных, второго –

0,2%. Наудачу извлеченная деталь оказалась качественной. Найти вероятность, что она изготовлена первым автоматом

3.5. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар.

Первая фабрика выпускает 70 % этих стекол, вторая – 30 %. Первая фабрика выпускает 3 % бракованных стекол, а вторая – 1 %. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

3.6. Прибор может работать в нормальном и аварийном режимах;

нормальный наблюдается в 80 % всех случаев работы прибора, аварийный

– в 20 %. Вероятность выхода прибора из строя за время Т в нормальном режиме – 0,1, в аварийном – 0,7. Найти вероятность выхода прибора из строя за время Т.

3.7. На фабрике, изготавливающей болты, первая машина производит – 35%,

вторая – 65 % всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно

5%, 4%. Какова вероятность того, что случайно выбранный бракованный болт изготовлен первой машиной?

3.8. В спартакиаде участвуют из первой группы 9 студентов, из второй – 6.

Студент из первой группы попадает в сборную института с вероятность 0,9,

второй – 0,7. Наудачу выбранный студент попал в сборную. Какова вероятность того, что это студент из второй группы?

3.9.Часы изготавливаются на двух заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 40% продукции, второй – 60%. В продукции первого завода спешат 30% часов, у второго – 70%. Купленные часы спешат, какова вероятность, что они изготовлены на втором заводе?

3.10.На сортировочную станцию прибывают вагоны, платформы с вероятностями 0,75; 0,25 соответственно. При осмотре их в парке приёма

установлено, что вероятность неисправности вагона равна 0,015,

платформы – 0,01. Найти вероятность того, что взятый наудачу вагон будет неисправен.

4. Формула Бернулли

Локальная и интегральная теоремы Лапласа

4.1. Аудиторную работу по теории вероятностей с первого раза успешно выполняют 50 % студентов. Найти вероятность того, что из 400 студентов работу успешно выполнят 180 студентов.

4.2. Для данного участника игры вероятность набросить кольцо на колышек равна 0,3. Найти вероятность того, что при 6 бросках 3 кольца окажутся на колышке, если броски считать независимыми.

4.3. Аудиторную работу по теории вероятностей с первого раза успешно выполняют 50 % студентов. Найти вероятность того, что из 400 студентов работу успешно выполнят не менее 180 студентов.

4.4. На самолете имеются четыре одинаковых двигателя. Вероятность нормальной работы каждого двигателя в полете равна 0,9. Найти

вероятность того, что в полете могут возникнуть неполадки в одном двигателе.

4.5. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре из

30 дней бывает в среднем 12 дождливых дней. Найти вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 3 окажутся дождливыми.

4.6. При ремонте вагонов в поездах в парке отправления у отдельных вагонов приходится менять головку автосцепки. На станции С на 100

отправленных вагонов приходится в среднем 2 таких случая. Определить вероятность того, что в составе из 64 вагонов потребуется замена головки автосцепки у двух вагонов.

4.7. В 400 разборочных поездах, прибывающих за 5 суток на станцию,

вероятность появления местных вагонов равна 0,2. Какова вероятность того,

что местные вагоны прибывают в 80 поездах?

4.8.Вероятность того, что поезд прибудет на станцию с отклонением от графика, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 400 случайно отобранных поездов от 70 до 80 прибудут не по графику.

4.9.Случайно встреченное лицо с вероятностью 0,3 может оказаться блондином. Найти вероятность того, что среди пяти случайно встреченных лиц четыре будут блондинами.

4.10.Вероятность того, что деталь будет бракованной, равна 0,6. Найти вероятность, что среди 200 случайно отобранных деталей окажутся бракованными от 120 до 150 деталей.

5.Случайные величины

5.1.Найти числовые характеристики дискретной случайной величины,

заданной законом распределения вероятностей

5.2. Найти числовые характеристики непрерывной случайной величины,

заданной плотностью распределения ( ) = 32 в интервале 0,1 .

5.3. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины,

заданной законом распределения вероятностей

5.5. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины,

заданной законом распределения вероятностей

5.6. Найти числовые характеристики непрерывной случайной величины,

5.7. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины,

заданной законом распределения вероятностей

5.8. Найти числовые характеристики непрерывной случайной величины,

заданной плотностью распределения ( ) = х⁄2 в интервале 0,2 .

5.9. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины,

заданной законом распределения вероятностей

5.10. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины,

заданной законом распределения вероятностей

6. Выборки и их характеристики

Задача: В таблице представлены данные о возрасте обучающихся (полных лет) на курсах иностранного языка. Построить статистический ряд частот и частостей, полигон относительных частот. Найти числовые характеристики выборки.

6.1.

6.6.

Литература

Основная литература:

1.Блягоз З.У. Теория вероятностей и математическая статистика. Курс лекций: учебное пособие / З.У. Блягоз. - 2-е изд., испр. - Санкт-Петербург:

Лань, 2018. - 224 с.

2.Блягоз З.У. Задачник по теории вероятностей и математической статистике: учебное пособие / З.У. Блягоз. - 2-е изд., испр. - СанктПетербург: Лань, 2018. -236 с.

Дополнительная литература:

3.Лихачев, А. В. Введение в теорию вероятностей и математическую статистику: учебное пособие / А. В. Лихачев. — Новосибирск: НГТУ,

2019. — 102 с.

4.Воробьева, Е. В. Математика. Опорные конспекты и практические занятия для студентов инженерных специальностей: учебное пособие для вузов / Е. В. Воробьева, Е. Н. Стратилатова. — Санкт-Петербург: Лань,

2021. — 164 с.