4.В работу включаются все задачи, указанные в задании, строго по своему варианту. Контрольные работы, содержащие лишь часть задания, а также задачи не своего варианта, не засчитываются и возвращаются студенту.

5.Решения задач надо располагать в порядке возрастания номеров,

указанных в заданиях, сохраняя номера задач.

6. Перед решением каждой задачи следует полностью записать ее условие.

В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует,

переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными соответствующего номера.

7.Решения задач излагать подробно и записывать аккуратно, объясняя все действия и делая необходимые чертежи.

8.После получения проверенной работы (как не зачтенной, так и зачтенной)

студент должен исправить в ней все отмеченные ошибки и недочеты.

9. Рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех исправлений и дополнений.

Содержание контрольной работы и примеры выполнения задач

Темы контрольной работы

1.Классическое определение вероятностей.

2.Теоремы сложения и умножения вероятностей.

3.Формула полной вероятности и формула Байеса.

4.Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

5.Случайные величины.

6.Выборки и их характеристики.

Основные теоретические сведения контрольной работы

1. Классическое определение вероятности

О Вероятностью события А называется отношение числа исходов испытания, благоприятствующих событию А, к общему числу всех возможных исходов испытания:

где т - число исходов, благоприятствующих событию А, п - общее число всех исходов испытания.

При вычислении вероятностей событий используются основные

формулы комбинаторики:

О Перестановками называются комбинации, состоящие из одних и тех же

п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

Число перестановок Рп из п элементов определяется по формуле:

Рп = п! (2)

О Размещениями называются комбинации, состоящие из п различных элементов по т элементов, которые отличаются составом или порядком их расположения.

Число размещений Атп из п элементов по т элементов определяется по формуле:

О Сочетаниями называются комбинации, состоящие из п различных элементов по т элементов, которые отличаются составом.

Число сочетаний Стп из п элементов по т элементов определяется по формуле:

Теорема-2 (Умножение вероятностей 2-х независимых событий):

Вероятность совместного наступления 2-х независимых событий равна

произведению вероятности этих событий, т.е.

ОСобытия А и В называются зависимым, если вероятность одного из них зависит от появления или не появления другого.

ОУсловной вероятностью события А относительно события В называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В уже наступило. Об. Р(А/В)

Теорема-3 (Умножение вероятностей 2-х зависимых событий):

Вероятность совместного наступления 2-х зависимых событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило, т.е.

О События А и В называются совместными, если они могут произойти в одном испытании.

Теорема-4 (Сложение вероятностей 2-х совместных событий):

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна

сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного

появления:

3. Формула полной вероятности и формула Байеса

Теорема (Формула полной вероятности): Вероятность событие А, которое может произойти вместе с одной из гипотез Н1, Н2, …, Нn, равна сумме произведений вероятностей каждой из этих гипотез на отвечающие им условные вероятности наступления события А:

Р(А) = Р(Н1)Р(А⁄Н1) + Р(Н2)Р(А⁄Н2) + + Р(Н )Р(А⁄Н ) =

=1

Теорема (Формула Байеса): Вероятность гипотезы после испытания paвна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании,

деленному на полную вероятность этого события:

4. Формула Бернулли

Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Вероятность появления события А в n независимых испытаниях m раз определяется по формуле Бернулли:

где p – вероятность появления события А, q – вероятность не появления события А в каждом из n испытаний.

Теорема (Локальная теорема Лапласа): Если вероятность p появления события А каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность

Рm,n того, что событие A появится в n испытаниях ровно т раз, приближенно равна (тем точнее, тем больше n):

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции:

1 2

( ) = − 2 √2

соответствующие положительным значениям аргумента. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция ( ) четна, т.е.

(− ) = ( ).

Теорема (Интегральная теорема Лапласа): Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна отлична от 0 и 1, то вероятность Р ( 1,m2) того, что событие А появится в n испытаниях от m1

до m2 раз, приближенно равна определенному интегралу:

√2

0

называется функцией Лапласа и является табличной функцией. В таблице даны значения функции Ф(х) для положительных значений х, для х<0

пользуются той же таблицей (функция Ф(х) нечетна, т.е.

Ф(-х)= -Ф(х)).

5. Случайные величины

Табличное задание закона распределения дискретной случайной

величины Х:

Первая строка содержит возможные значения, а вторая - их вероятности.

Сумма вероятностей равна 1, т.е.

р1 + р2 + р3+ …+ рn=1.

Числовые характеристики дискретных случайных величин – математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое

отклонение.

О Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х

Замечание: 1. Математическое ожидание М(x) называют еще центром распределения случайной величины Х.

2.Математическое ожидание дискретной случайной величины

Хможет не совпадать ни с одним из ее возможных значений.

О Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Об. (Х) = М(Х-М(Х))2 (18)

Теорема (Формула для вычисления дисперсии): Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины

Х и квадратом ее математического ожидания:

О Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии этой случайной величины:

Об. (Х) = √ (Х) (20)

Дисперсия имеет размерность равную квадрату размерности случайной величины, а размерность среднего квадратического отклонения совпадает с

размерностью случайной величины.

О Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т.е.

О Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(х) - первую производную от функции распределения F(х),т.е.

О Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат [ , ], определяется по формуле

О Дисперсия непрерывной случайной величины, возможные значения которой принадлежат [ , ], определяется по формуле

О Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется равенством:

О Полигоном частостей называют ломаную, в которой концы отрезков имеют координаты

(х1, 1), (х2, 2), . . . , (хк, к).

Числовые характеристики выборки – выборочное среднее, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение, размах

вариации, мода, медиана.

О Выборочным средним х̅В называется среднее арифметическое всех значений выборки:

квадратов отклонений значений выборки от выборочной средней х̅В, т.е.

=1

О Выборочное среднее квадратическое отклонение выборки определяется по формуле

наибольшую частоту.

О Медианой е вариационного ряда называется значение признака (св Х),

приходящееся на середину ряда.

Если n=2к (четное число членов), то

= х(к) + х(к+1),

е 2

если n=2к+1 (нечетное число членов), то

е = х(к+1).

Примеры выполнения задач контрольной работы

1. Классическое определение вероятности

Задача 1: В группе из 30 учеников на контрольной работе 6 учеников получили оценку «5», 10 учеников – «4», 9 учеников – «3». Найти вероятность того, что: а) 3 ученика, вызванные к доске, имеют оценку «2»

по контрольной работе; б) из 3-х вызванных к доске 2 ученика имеют «4» по контрольной работе, а 1 ученик – «2».

Решение: а) Соб. А – «три ученика, вызванные к доске, имеют «2» по контрольной работе».

Число оценок «2» на контрольной работе равно

30-(6+10+9)=5.

По классическому определению вероятности

т = С35 = 3!5!2! = 425 = 10

Таким образом, получаем

10 Р(А) = 4060 ≈ 0,002

б) Соб. А – «вызвали к доске 2-х учеников с «4», 1-го – с «2».

По классическому определению вероятности

2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Задача 2: В ящике содержится 10 красных, 15 синих и 5 белых шаров. Из

ящика наугад вынимается один шар. Требуется найти вероятность того, что

Задача 3: Студент знает 10 из 15 вопросов первого раздела курса, 12 из 16

вопросов второго раздела курса. На экзамене задается по одному вопросу их этих двух разделов. Найти вероятность, что студент ответит на вопросы.

Решение: Соб. А – «студент ответит на два вопроса»,

Соб. В – «студент ответит на вопрос из первого раздела»,

Соб. С – «студент ответит на вопрос из второго раздела».

на складе в не рассортированном виде. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется отличного качества, если станков первого типа 5 шт., второго – 3 шт.

Решение: Соб. А – «наудачу взятая деталь окажется отличного качества»,

H1 – «наудачу взятая деталь от 1-го станка»,

H2 – «наудачу взятая деталь от 2-го станка»,

Вероятности гипотез:

Условные вероятности события при этих гипотезах:

По формуле полной вероятности

( ) = ( 1) ( / 1) + ( 2) ( / 2) =

5 3

=8 0,94 + 8 0,9 = 0,93.

Задача 7: В трех ящиках находятся однотипные детали. В первом ящике -

10 деталей, из них 3 нестандартные; во втором - 15 деталей, из них 5

нестандартных. Наудачу взятая деталь оказалась нестандартной.

Определить вероятность того, что взятая деталь принадлежала второму ящику.

Решение: Соб. А – «наудачу взятая деталь оказалась нестандартной»,

Н1 – «деталь принадлежала первому ящику»,

Н2 – «деталь принадлежала второму ящику»,

Вероятности этих гипотез до проведения испытания равны между собой, т.е.

1( 1) = ( 2) = 2.

В результате испытания наблюдается событие A, состоящее в том, что наудачу выбранное изделие является нестандартным. Условные вероятности этого события при гипотезах Н1, Н2 соответственно равны:

4. Формула Бернулли

Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Задача 8: Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,9. Определить вероятность того, что из 6 наудачу взятых деталей 4 окажутся стандартными.

Решение: Условие задачи соответствует схеме повторных испытаний в одинаковых условиях. Поэтому, применяя формулу Бернулли при

Задача 9: При изготовлении электроламп вероятность получения лампы первого сорта равна 0,64. Найти вероятность того, что из 100 взятых наудачу электроламп, 70 будет 1-го сорта.

Решение: Применяя локальную теорему Лапласа, определяем:

Тогда искомая вероятность равна

Дисперсия определяется по формуле:

( ) = ( 2) − ( ( ))2,

М(Х2) = ∑ 2 =

=1

= −32 0,2 + 12 0,4 + 22 0,3 + 32 0,1 = = −1,8 + 0,4 + 1,2 + 0,9 = 0,7,

( ( ))2 = 0, 72 = 0,49,

( ) = 0,7 − 0,49 = 0,21.

Среднее квадратическое отклонение определяется:

(Х) = √ ( ) ≈ 0,45.

Пример 12: Найти М(Х) и D(Х), если плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:

( ) = 2х, при 0 < ≤ 1

Решение: Найдем

1

М(Х) = ∫ ( ) =

D(Х) = ∫ 2 ( ) − М2(Х) =

4 1 4 1 4 1

=2 4 |0 − 9 = 2 − 9 = 9

6.Выборки и их характеристики

Пример 12: Из партии деталей случайным образом выбраны 50. Их вес в граммах оказался следующим:

Построить: 1) статистический ряд частот и частостей, 2) полигон относительных частот,

Найти числовые характеристики выборки.

Решение: Объем выборки n=50.

Вариационный ряд:

2, 2, 2, 2, 2, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10

Статистический ряд частот и частостей:

Полигон относительных частот:

Числовые характеристики:

=1

= 501 (4 ∙ 5 + 36 ∙ 10 + 64 ∙ 20 + 100 ∙ 15) − 7,62 =

1 = 50 (20 + 360 + 1280 + 1500) − 57,76 =

Задания контрольной работы

1. Классическое определение вероятности

1.1. В группе 25 студентов, из которых 5 учатся отлично, 12 – хорошо, 6 –

удовлетворительно, 2 – слабо. Найти вероятность того, что наугад выбранные 2 студента будут отличниками.

1.2.Студент выучил 20 вопросов из 25. Найти вероятность того, что ему достанется 3 вопроса, которые он не выучил.

1.3.Среди 12 плодов 4 поражены болезнью. Найти вероятность того, что среди 5 выбранных плодов 2 будут поражены болезнью.