2к4с Теория вероятностей и математическая статистика / 1641800764_Лекции Теория вероятностей и математическая статистика

Биномиальное распределение

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых

вероятность появления события А постоянна и равна р. Следовательно,

q=1-p – вероятность не появления события А.

Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X - число

появлений события А в этих испытаниях.

Возможные значения Х таковы:

х0=0, х1=1, х2=2,… , хn=n.

Вероятности возможных значений можно определить по формуле Бернулли:

где m=0, 1, 2…, n.

(1) - является аналитическим выражением искомого закона распределения.

О Биномиальным называют распределение вероятностей дсв, определяемое формулой Бернулли.

Таблица биномиального распределения имеет вид:

Пример: Монета брошена 4 раза. Написать закон распределения вероятностей случайной величины Х – числа выпадений «цифры».

Решение: Возможные значения случайной величины Х:

х0=0, х1=1, х2=2 , х3=3, х4=4.

Эта дискретная случайная величина имеет биноминальное распределение.

Найдем вероятности для возможных значений по формуле Бернулли:

Распределение Пуассона

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна p. Для определения вероятности m

появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если n велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа. Если n

велико, р мало (р≤0,1), то пользуются асимптотической формулой Пуассона:

Запишем закон распределения Пуассона в виде таблицы:

Пример: Завод изготовил и отправил 4000 транзисторных приёмников.

Вероятность того, что изделия в пути повредятся, равна 0,00025. Найти вероятность того, что потребителям придут 3 неисправных приёмника.

По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна:

Гипергеометрическое распределение

Пусть в партии из n изделий имеется m стандартных. Из партии отбирают случайно n1 изделий (каждое изделие может быть извлечено с одинаковой вероятностью). Отобранное изделие не возвращается в партию,

поэтому формула Бернулли здесь неприменима.

Пусть случайная величина Х - число стандартных изделий среди

(6) – формула, определяющая гипергеометрическое распределение вероятностей.

Пример: В партии ив 12 деталей имеется 8 стандартных. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х – числа стандартных деталей среди 3-х выбранных.

Числовые характеристики дискретной случайной величины

Закон распределения полностью характеризует случайную величину.

Однако закон распределения часто неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями (числовыми характеристиками), которые описывают случайную величину суммарно. Важными числовыми характеристиками являются математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

О Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х

Свойства математического ожидания

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой

постоянной: М(С) = С.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ)=СМ(Х)

Свойство 3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

M(X+У)=M(X)+M(У).

О Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения принимает другая случайная величина.

Свойство 4. Математическое ожидание произведения двух независимых

М(Х)=-0,01.0,5+0,01.0,5=0, М(У)=-100.0,5+100.0,5=0.

Математические ожидания одинаковые, а возможные значения различные

(по-разному рассеяны вокруг математического ожидания). Таким образом,

математическое ожидание случайной величины полностью ее не характеризует.

По этой причине наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики. Так, например, чтобы оценить, как рассеяны возможные случайные величины вокруг ее математического ожидания,

пользуются, в частности, числовой характеристикой, которую называют дисперсией.

Отклонение случайной величины от ее

математического ожидания

Пусть Х - случайная величина и М(Х) - ее математическое ожидание.

О Отклонением случайной величины от ее математического ожидания называется разность (Х-М(Х)) между случайной величиной и ее математическим ожиданием.

Пусть дсв Х имеет закон распределения вероятностей:

Тогда закон распределения вероятностей отклонения случайной величины

Х от ее математического ожидания имеет вид:

На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния значений случайной величины вокруг математического ожидания, проще всего вычислить возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение.

Приведем важное свойство отклонения.

Теорема: Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равна нулю

М(X-M(X))=0

Док-во: Пользуясь свойствами математического ожидания и приняв во внимание, что М(Х) - постоянная величина, имеем:

M(X-M(X))=M(X)-M(M(X))=M(X)-M(X)=0. ч.т.д.

Таким образом, отклонение случайной величины от ее математического ожидания нельзя использовать для оценки рассеяния случайной величины.

О Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Об. (Х) = М(Х-М(Х))2 (8)

По определению дисперсии имеем

(Х) = М(Х-М(Х))2 =

=(х1 − М(Х))2р1 + ... + (х − М(Х))2р

Таким образом, чтобы вычислить дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.

Теорема (Формула для вычисления дисперсии): Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины

Х и квадратом ее математического ожидания:

Свойства дисперсии

Свойство 1: Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

D(С)=0.

Свойство 2: Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии,

возводя его в квадрат:

(СХ) = С2 (Х)

Свойство 3: Дисперсия суммы двух независимых случайных величин Х и У равна сумме дисперсии этих величин:

(Х + У) = (Х) + (У).

Следствие: Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины

D(Х+С)=D(Х).

Свойство 4: Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий: D(Х-У)=D(Х)+D(У).

Дисперсия при повторении испытаний

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна.

Теорема: Дисперсия числа появления события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна, равна произведению числа испытаний n, вероятности p

появления события, вероятности q непоявления события:

D(Х)=npq.

Среднее квадратичное отклонение О Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называют

квадратный корень из дисперсии этой случайной величины:

а размерность среднего квадратического отклонения совпадает с размерностью случайной величины.

Непрерывные случайные величины

Функция распределения непрерывной случайной величины

О Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т.е.

F(x)=Р(Х<х).

Геометрически истолкование определения: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изо бражается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Х<x

х

Теорема (Вероятность попадания случайной величины в заданный

промежуток): Вероятность того, что случайная величина, примет значение,

заключенное в промежутке [a,b), равна приращению функции распределения на этом промежутке, т.е.

Док-во: По теореме сложения вероятностей имеем:

( < ) = ( < ) + ( ≤ < )