2к4с Теория вероятностей и математическая статистика / 1641800764_Лекции Теория вероятностей и математическая статистика

Р (А/Н1), Р(А/Н2),…, Р(А/Нn).

Вероятность события А определяется по следующей теореме.

Теорема (Формула полной вероятности): Вероятность событие А, которое может произойти вместе с одной из гипотез Н1, Н2, …, Нn, равна сумме произведений вероятностей каждой из этих гипотез на отвечающие им условные вероятности наступления события А:

Р(А) = Р(Н1)Р(А⁄Н1) + Р(Н2)Р(А⁄Н2) + + Р(Н )Р(А⁄Н ) = (1)

= ∑ ( ) ( ⁄ ).

=1

(1) - формула полной вероятности.

Пример: В цехе 3 типа автоматических станков производят одни и те же детали. Производительность их одинакова, но качество работы различно.

Известно, что станки первого типа производят 0,94 деталей отличного качества, второго - 0,9 и третьего - 0,85, Все произведенные в цехе за смену детали сложены на складе в не рассортированном виде. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется отличного качества,

если станков первого типа 5 шт, второго – 3 шт, третьего – 2 шт.

Решение: Соб. А – «наудачу взятая деталь окажется отличного качества»,

H1 – «наудачу взятая деталь от 1-го станка»,

H2 - «наудачу взятая деталь от 2-го станка»,

H3 – «наудачу взятая деталь от 3-го станка».

Вероятности гипотез:

Условные вероятности события при этих гипотезах:

( / 1) = 0,94, ( / 2) = 0,9, ( / 3) = 0,85.

По формуле полной вероятности

( ) = ( 1) ( / 1) + ( 2) ( / 2) + ( 3) ( / 3) =

= 12 0,94 + 103 0,9 + 15 0,85 = 0,91.

Вероятности всех гипотез известны (это вероятности гипотез до

испытания): Р(Н1), Р(Н2),…, Р(Нn).

Условные вероятности события А по отношению к каждой из гипотез

известны: Р(А/H1), Р(А/H2),…, Р(А/Hn).

Производится опыт, в результате которого появляется событие А.

Нас интересуют вероятности гипотез после испытания, т.е. условные

вероятности Р(H1/A), Р(H2/A),…, Р(Hп/A).

Теорема (Формула Байеса): Вероятность гипотезы после испытания paвна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании,

деленному на полную вероятность этого события:

(2) - формула Байеса.

Пример: В трех ящиках находятся однотипные детали. В первом ящике - 10

деталей, из них 3 нестандартные; во втором - 15 деталей, из них 5

нестандартных; в третьем - 20 деталей, из них 6 нестандартных. Наудачу взятая деталь оказалась нестандартной. Определить вероятность того, что

взятая деталь принадлежала второму ящику.

Решение: Соб. А – «наудачу взятая деталь оказалась нестандартной»,

Н1 – «деталь принадлежала первому ящику»,

Н2 – «деталь принадлежала второму ящику»,

Н3 – «деталь принадлежала третьему ящику»,

Вероятности этих гипотез до проведения испытания равны между собой, т.е.

1( 1) = ( 2) = ( 3) = 3

В результате испытания наблюдается событие A, состоящее в том, что наудачу выбранное изделие является нестандартным. Условные вероятности этого события при гипотезах Н1, Н2, Н3 соответственно равны:

3(А⁄Н1) = 10

5 1(А⁄Н2) = 15 = 3

6 3(А⁄Н3) = 20 = 10

По формуле Байеса находим вероятность гипотезы H2 после испытания

( 2) (А⁄Н2)

(Н2⁄А) = ( 1) (А⁄Н1) + ( 2) (А⁄Н2) + ( 3) (А⁄Н3) =

Повторение испытаний Формула Бернулли

Пусть производится п испытаний, в каждом из которых может появиться событие А. Если вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А. Событие А может появиться с вероятностью р или не появиться с вероятностью q.

Вероятность того, что в результате произведения n независимых испытаний некоторое событие А наступит ровно m раз определяется по формуле:

(3) - формула Бернулли.

Пример: Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,9. Определить вероятность того, что из 6 наудачу взятых деталей 4 окажутся стандартными.

Решение: Условие задачи соответствует схемы повторных испытаний в одинаковых условиях. Поэтому, применяя формулу (6) при

n=6, m=4, p=0,9, q=0,1,

получим

4,6 = 46 0, 94 0,16−2 = 0,0984.

Локальная теорема Лапласа

Нами была выведена формула Бернулли, позволяющая вычислить вероятность того, что событие появится в n испытаниях ровно m раз. При вводе мы предполагали, что вероятность появления события в каждом испытании постоянна. Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значение п достаточно трудно, так как формула требует

выполнения действий над громадными числами.

Теорема (Локальная теорема Лапласа): Если вероятность p появления события А каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность

Рm,n того, что событие A появится в n испытаниях ровно т раз, приближенно равна (тем точнее, тем больше n):

где

х = − √

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции:

( ) = 1 − 22 √2

соответствующие положительным значениям аргумента. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция ( ) четна, т.е.

(− ) = ( ).

Пример: При изготовлении электроламп вероятность получения лампа первого сорта равна 0,64. Найти вероятность того, что из 100 взятых наудачу электроламп, 70 будет 1-го сорта.

Решение: Применяя локальную теорему Лапласа, определяем:

Интегральная теорема Лапласа

Предположим, что производится n испытаний, в каждом из которых

вероятность появления события А постоянна и равна p ( 0 p 1). Как

вычислить вероятность Р ( 1,m2) тoго, что событие А появится в n

испытаниях от m1 до m2 раз. На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа

Tеорема (Интегральная теорема Лапаласа): Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна отлична от 0 и 1, то вероятность

Р ( 1,m2) того, что событие А появится в n испытаниях от m1 до m2 раз,

приближенно равна определенному интегралу:

√2

0

называется функцией Лапласа и является табличной функцией. В таблице даны значения функции Ф(х) для положительных значений х, для х<0

пользуются той же таблицей (функция Ф(х) нечетна, т.е. Ф(-х)= -Ф(х)).

Пример: Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК равна

р=0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей

окажутся непроверенными от 70 до 100 деталей.

Решение: По условию

р=0,2, q=0,8, n=400, m1=70, m2=100.

Воспользуемся формулой (18).

Вычислим:

Таким образом, имеем:

400(70,100) (2,5) − (−1,25) = (2,5) + (1,25)

По таблице находим:

φ(0,25)=0,4938, φ(1,25)=0,3944

Искомая вероятность:

400(70,100) 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.

Случайные величины Основные понятия

О Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Об. X, Y, Z,.. – случайные величины,

х, у, z - их возможные значения.

О Случайная величина называется дискретной (прерывной), если она в процессе своего изменения может принимать отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Например: Дискретная случайная величина Х - число дождливых дней в году. Возможные значения – числа от 0 до 365, если год не является високосным.

О Случайная величина называется непрерывной, если она в процессе своего изменения может принимать любые значения из некоторого промежутка.

Например: Непрерывная случайная величина Х - расход воды предприятием за месяц.

Дискретные случайные величины

Законы распределения вероятностей дискретных случайных

величин

Для задания дискретной случайной величины (дсв) недостаточно перечислить все возможные её значения, нужно ещё указать их вероятности.

Случайная величина считается полностью заданной, если известны соотношения, устанавливающие связь между значениями случайной величины и их вероятностями. Эти соотношения называются законами распределения случайной величины. Эти законы можно задать таблично,

аналитически и графически.

Табличное задание закона распределения дискретной случайной

величины:

Строится таблица распределения

Первая строка содержит возможные значения, а вторая - их вероятности.

Так как случайная, величина при одном испытании принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что события

х1, х2, х3, … хn

образуют полную группу и, следовательно, сумма вероятностей равна 1:

р1 + р2 + р3+ …+ рn=1.

Графическое задание закона распределения дискретной случайной

величины:

В прямоугольной системе координат строят точки (хi; рi) и затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником

распределения.

pi

p2

p3

p4 p1

p5

x