2к4с Теория вероятностей и математическая статистика / 1641800764_Лекции Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей

Основные понятия

Наблюдаемые нами события можно подразделить на три вида:

достоверные, невозможные, случайные.

О Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет при выполнении некоторой совокупности условий.

Пример: Соб. А – «Вода находится в жидком состоянии».

Совокупность условий: t=20оС, нормальное атмосферное давление.

Событие А будет достоверным при выполнении указанной совокупности условий.

О Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет при выполнении некоторой совокупности условий.

Пример: Соб. А – «Вода находится в жидком состоянии».

Совокупность условий: t=-20оС, нормальное атмосферное давление.

Событие А будет невозможным при выполнении указанной совокупности условий.

О Случайным называется событие, которое либо произойдет, либо не произойдет при выполнении некоторой совокупности условий.

Пример: Соб. В – «Выпала «цифра» при бросании монеты».

Совокупность условий: монета без дефектов, поверхность падения ровная.

Событие В будет случайным при выполнении указанной совокупности условий.

В дальнейшем выполнение совокупности условий будем называть опытом или испытанием.

Событие и испытание – основные понятия теории вероятностей.

Классическое определение вероятности

Вероятность является одним из основных понятий теории вероятностей.

Вероятность события – это количественная мера возможности появления некоторого события.

Рассмотрим классическое определение вероятности:

О Вероятностью события А называется отношение числа исходов испытания, благоприятствующих событию А, к общему числу всех возможных исходов испытания:

Об.

т

Р(А) = п

где т - число исходов, благоприятствующих событию А,

п - общее число всех исходов испытания.

Пример: Пусть в ящике содержатся 2 красных шара, 3 синих и 1 белый шар.

Найти вероятность извлечь цветной шар.

Решение: Соб. А – «Извлечен цветной шар».

Исходы испытания:

Е1 - «Извлекли белый шар»,

Е2, Е3, Е4 – «Извлекли синий шар»,

Е5, Е6 – «Извлекли красный шар».

Общее число исходов испытания п=6.

Е2, Е3, Е4, Е5, Е6 – исходы, благоприятствующие событию А, т=5.

Вероятность события А по формуле (1) равна

т 5

Р(А) = п = 6

Основные формулы комбинаторики

Комбинаторика изучает количества комбинаций, составленных по некоторым правилам.

При вычислении вероятностей часто используют следующие комбинации и формулы комбинаторики:

1. Перестановки

О Перестановками называются комбинации, состоящие из одних и тех же п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

Пример: Рассмотрим 6 элементов – цифр (п=6): 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Их этих элементов можно составить следующие перестановки:

2, 1, 3, 4, 5, 6; 5, 2, 3, 4, 1, 6; 3, 2, 1, 4, 5, 6;

…..

Число перестановок из п элементов определяется по формуле:

Об. Рп = п!

Пример: Число перестановок из 6 элементов равно

Рп = 6! = 1 2 3 4 5 6 = 720.

2. Размещения

О Размещениями называются комбинации, состоящие из п различных элементов по т элементов, которые отличаются составом или порядком их расположения.

Пример: Рассмотрим 6 элементов – цифр (п=6): 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Их этих элементов можно составить следующие размещения по 4 элемента

Пример: В группе из 30 учеников на контрольной работе 6 учеников получили оценку «5», 10 учеников – «4», 9 учеников – «3». Какова вероятность того, что все три ученика, вызванные к доске, имеют оценку

«2» по контрольной работе?

Решение: Соб. А – «все три ученика, вызванные к доске, имеют «2» по контрольной работе».

Число оценок «2» на контрольной работе равно

30-(6+10+9)=5.

По классическому определению вероятности Р(А) тп ,

где

= 1 2 . . . . 27 28 29 30 = 1 2 3 1 2 . . . 27

= 28 29 30 = 28 29 5 = 4060,

1 2 3

т = С35 = 3!2!5! = 425 = 10.

Таким образом, получаем

10 Р(А) = 4060 ≈ 0,002

Свойства вероятности события:

1. Вероятность любого события А заключена между нулем и единицей,

т.е. 0 ≤ Р(А) ≤ 1 .

2. Вероятность достоверного события А1 равна единице, т.е.

Р(А1) = 1.

3. Вероятность невозможного события А2 равна нулю, т.е.

Р(А2) = 0.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

О Суммой А+В двух событий А и В называется событие, состоящее в появлении либо события А, либо события В, либо обоих событий.

Например: Из орудия произведены два выстрела.

Соб. А – «попадание при первом выстреле»,

Соб. В – «попадание при втором выстреле»,

Соб А+В – «попадание либо при первом выстреле, либо при втором, либо при обоих выстрелах, т.е. хотя бы одно попадание при двух выстрелах».

О События А и В называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном испытании.

Если события А и В несовместны, то событие А+В – событие, состоящее в появлении одного из этих событий А или В.

Теорема-1 (Сложение вероятностей 2-х несовместных событий):

Вероятность появления одного из 2-х несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Р(А+ В)=Р(А)+Р(В)

Следствие: Вероятность появления одного из п попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Р(А1+…+Ап)=Р(А1)+…+Р(Ап).

Пример: В ящике содержится 10 красных, 15 синих и 5 белых шаров. Из ящика наугад вынимается один шар. Требуется найти вероятность того, что этот шар будет цветным.

Решение: Соб. А – «появление цветного шара»,

этих двух разделов. Найти вероятность, что студент ответит на вопросы.

Решение: Соб. А – «студент ответит на два вопроса»,

Соб. В – «студент ответит на вопрос из первого раздела»,

Соб. С – «студент ответит на вопрос из второго раздела».

А=ВС,

Теорема умножения вероятностей зависимых событий

ОСобытия А и В называются зависимым, если вероятность одного из них зависит от появления или не появления другого.

ОУсловной вероятностью события А относительно события В называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В уже наступило. Об. Р(А/В)

Пример: В ящике содержатся 5 красных и 6 синих шаров. Поочередно из него извлекается по одному шару (без возврата). Найти вероятность извлечения во второй раз синего шара при условии, что первый раз извлечен красный шар.

Решение: Соб. А – «извлечен красный шар»,

В – «извлечен синий шар».

6 3 Р(В⁄А) = 10 = 5

Теорема-2 (Умножение вероятностей 2-х зависимых событий):

Вероятность совместного наступления 2-х зависимых событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило, т.е.