3 Критерий согласия Пирсона

Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о предпола-

гаемом законе неизвестного распределения.

Пусть по выборке объема п получено эмпирическое распределение:

Варианты xi	x1	x2	…	xk
Частоты ni	n1	n2	…	nk

С помощью критерия Пирсона можно проверить гипотезу о различных законах распределения генеральной совокупности (равномерном, нормальном, показательном и др.). Для этого в предположении о конкретном виде распределения вычисляются теоретические частоты , и в качестве критерия выбирается случайная величина

,

имеющая закон распределения χ2 с числом степеней свободы k = s – 1 – r, где s – число частичных интервалов выборки, r – число параметров предполагаемого распределения. Критическая область выбирается правосторонней, и граница ее при заданном уровне значимости α находится по таблице критических точек распределения χ2.

Теоретические частоты вычисляются для заданного закона распределения как количества элементов выборки, которые должны были попасть в каждый интервал, если бы случайная величина имела выбранный закон распределения, параметры которого совпадают с их точечными оценками по выборке.

В частности, для проверки гипотезы о нормальном законе распределения , где п – объем выборки, , x_i и x_{i + 1} – левая и правая границы i-го интервала, - выборочное среднее, s – исправленное среднее квадратическое отклонение. Поскольку нормальное распределение характеризуется двумя параметрами, число степеней свободы k = n – 3.

Требования безопасности труда

При выполнении практической работы необходимо соблюдать общие правила техники безопасности:

использовать ПК только в соответствии с их назначением;

не размещать на корпусе ПК посторонние предметы (тетради, книги, карандаши и т.п.);

оберегать ПК от толчков, ударов, сотрясений;

немедленно поставить в известность оператора ИВЦ об обнаружении задымления, загорания, пожара;

немедленно сообщить оператору ИВЦ обо всех неисправностях в работе ПК.

Технология выполнения работы

Задание 1. Проверка гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения

Смоделируйте нормально распределенную совокупность, пользуясь инструментом Генерация случайных чисел пакета Анализ данных (рис. 1) из 1000 элементов с средним значением 12 и стандартным отклонением 0,25 (рис. 2).

Рис. 1 Выбор инструмента Генерация случайных чисел

Рис.2 Формирование нормально распределенной совокупности

Сформируйте случайную выборку из 200 элементов для этой совокупности (рис. 3), пользуясь инструментом Выборка пакета Анализ данных. Используя критерий хи-квадрат, проверим, действительно ли выборка сделана из нормально распределенной генеральной совокупности.

Рис.3 Формирование случайной выборки

В качестве точечных оценок математического ожидания и дисперсии примите соответствующие выборочные характеристики. Найдите их, используя инструмент Описательная статистика пакета Анализ данных.

С помощью инструмента Гистограмма найдите опытные частоты n_i. При использовании критерия хи-квадрат количество опытных значений в каждом интервале должно быть не менее пяти. Если в каком-то интервале их меньше, то интервалы объединяют. Например, если в промежутке от 4 до 6 оказалось три значения, а в промежутке от 6 до 8 – четыре, то вводится новый интервал от 4 до 8 с семью значениями. С учетом этого перестройте таблицу частот вручную. На рис. 4 в колонках Карман – Частота показаны данные, полученные автоматически, в колонках Границы – Опытные частоты данные пересчитаны частично вручную.

Рис. 4 Формирование интервального вариационного ряда

Расчетные частоты вычисляются через вероятности попадания нормально распределенной величины в соответствующий интервал:

где функция стандартного нормального распределения Ф(х) вычисляется с помощью встроенной статистической функции НОРМРАСП. Аргументы этой функции (рис. 5): x - граница интервала, вводится адрес соответствующей ячейки; среднее и стандартное_откл- вводятся абсолютные адреса характеристик, полученных с помощью Описательной статистики; значение интегральный = 1 (истина), в противном случае (ложь) вычисляется не функция распределения, а его плотность.

Рис.5 Статистическая функция НОРМРАСП

На рис. 4 вычисленные значения этой функции рассчитаны в колонке НОРМРАСП. Вероятности рi (колонка Вероятности) вычисляются как разности между значениями НОРМРАСП в последующей и предыдущей строках. В последней колонке подсчитаны расчетные частоты nр_i (n = 200), для этого в ячейку N2 вводим формулу =M2*$I$17 и копируем ее на диапазон N3: N12.

Для вычисления статистики хи-квадрат в Excel встроена функция ХИ2ТЕСТ (фактический интервал, ожидаемый интервал). В качестве фактического интервала вводятся опытные частоты, в качестве ожидаемого – расчетные (рис. 6).

Рис.6 Функция ХИ2ТЕСТ

Граница критической области может быть найдена с помощью встроенной функции ХИ2ОБР (вероятность, степени свободы). Аргумент вероятность – это уровень значимости (α = 0,05), а степени свободы k – l – 1 определяются как количество интервалов (на рис. 4 k = 11) за вычетом количества оцениваемых параметров (здесь два – и s) минус единица (рис.7).

Рис.7 Функция ХИ2ОБР

Так как выборочное значение статистики ХИ2ТЕСТ меньше критического ХИ2ОБР, то гипотеза о нормальности распределения принимается.

Задание 2. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий

Исследуются результаты обработки деталей на двух станках. Предполагается, что точность обработки одинакова, то есть, что дисперсии равны. Для проверки этой гипотезы проведены замеры 22 деталей на первом станке и 24 деталей на втором. Результаты представлены в первых трех столбцах на рис.9.

Для проверки гипотезы о равенстве дисперсий выберем инструмент Двухвыборочный F-тест в пакете Анализ анных. Введем в качестве значений переменной 1 результаты измерений на первом станке, переменной 2 – на втором; уровень значимости 0,05 (рис.8 ).

Рис.8 Окно инструмента Двухвыборочный F-тест

Рис.9 Результаты применения инструмента Двухвыборочный F-тест

В полученной таблице с результатами, показанной на рис. 9 справа, приводятся средние значения, дисперсии, количество наблюдений и степени свободы для каждой выборки, значение статистики Фишера (определяется как отношение дисперсий) и критическое значение при заданном уровне значимости.

Гипотеза о равенстве дисперсий принимается, если выборочное значение статистики Фишера попало в область принятия решения, в противном случае

гипотеза отклоняется.

В условиях рассматриваемой задачи выборочное значение статистики Фишера 2,61 больше критического значения 2,04, то есть попало в критическую область. Гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется.

Задание 3. Проверка гипотезы о равенстве средних

Проверка этой гипотезы проводится по-разному в зависимости от того, принята или отклонена гипотеза о значимости дисперсий: используются двухвыборочные t-тесты с одинаковыми или неодинаковыми дисперсиями.

Проверим гипотезу о равенстве средних Н₀: = для рассмотренного примера (задание 2). Альтернативной выберем гипотезу Н₁: ≠ Так как гипотеза о равенстве дисперсий отклонена, то из пакета Анализ данных выбираем инструмент Двухвыборочный t-тест с неодинаковыми дисперсиями.

Введите данные по аналогии с двухвыборочным F-тестом (рис. 10).

Рис.10 Двухвыборочный t-тест с неодинаковыми дисперсиями

В таблице с результатами расчета приводятся статистика Стьюдента и критические значения для одностороннего и двухстороннего критериев (рис. 11).

Гипотеза о равенстве средних принимается, если выборочное значение статистики Стьюдента попало в область принятия решения, в противном случае гипотеза отклоняется.

Рис.11 Результат применения инструмента Двухвыборочный t-тест с неодинаковыми дисперсиями.

В условиях рассматриваемого примера выборочное значение статистики Стьюдента (– 3,82) оказалось больше (по модулю), чем критическое двухстороннее, то есть попало в критическую область, следовательно, гипотеза о равенстве средних отклоняется.

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1

В таблице приведены результаты измерений электроэнергии, расходуемой вычислительной сетью в месяц (в КВт). N- номер варианта.

235+N 235+N 230+N 232+N 226+N 230+N 231+N

238+N 234+N 229+N 231+N 240+N 237+N 239+N

235+N 239+N 234+N 230+N 236+N 231+N 240+N

234+N 233+N 235+N 227+N 226+N 231+N 230+N

238+N 236+N 230+N 235+N 231+N 230+N 235+N

232+N 231+N 228+N 232+N 237+N 238+N 231+N

233+N 240+N 229+N 237+N 235+N 228+N 240+N

Требуется на уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о согласии полученной выборки с нормальным распределением.

Задание 2

По двум выборкам нормальных законов распределения проверить гипотезу о равенстве дисперсий (при конкурирующей гипотезе об их неравенстве) при уровне значимости 0.1. (N- номер варианта)

Первая выборка: 39.5+N 53.9+N 59.0+N 29.8+N 73.9+N 42.7+N 40.5+N 47.0+N 45.3+N 59.1+N

Вторая выборка: 61.4+N 50. +N 3 78.7+N 16.6+N 77.0+N 34.3+N 101.6+N 21.9+N 40.1+N 130.9+N

Задание 3

По данным двух выборок нормального закона распределения проверить гипотезу о равенстве генеральных средних (при конкурирующей гипотезе об их неравенстве) при уровне значимости α=0.05. (N- номер варианта)

Выборка 1: 13.2+N 115.7+N 68.9+N 13.1+N 58.1+N 110.7+N 48.1+N 35.9+N 8.6+N 109.4+N

Выборка 2: 24.3+N 88.9+N 79.6+N 8.8+N 58.0+N 56.0+N 64.6+N 34.2+N 36.9+N 48.2+N 66.0+N 65.1+N 58.5+N

СОДЕРЖАНИЕ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА

Отчет по практической работе должен содержать решение задач по вычислению числовых характеристик выборки с использованием MS Excel. Отчет по практической работе предоставляется на листах формата А4 или в электронной форме. Содержание отчета: титульный лист с названием работы, цель работы, задание, результаты выполнения работы, выводы по работе.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Понятие статистической гипотезы.

2. Критическая область, ошибки 1-го и 2-го рода.

3. Мощность критерия.

4. Критерий Стьюдента.

5. Критерий Фишера.

6. Критерий Пирсона.

ВРЕМЯ, ОТВЕДЕННОЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

Подготовка к работе – 1 акад. час

Выполнение работы – 6 акад. часов

Оформление работы – 1 акад. час

ЛИТЕРАТУРА

1. Горлач, Б.А. Теория вероятностей и математическая статистика. [Электронный ресурс] / Б.А. Горлач. – М.: Издательство «Лань». - 2013. – 320с.

2. Монсик, В.Б. Вероятность и статистика [Электронный ресурс] / В.Б. Монсик, А.А. Скрынников. - М.: «Бином. Лаборатория знаний». – 2013. – 281с.

3. Свешников, А.А. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций [Электронный ресурс] / А.А. Свешников – М.: Издательство «Лань». - 2013. – 448.

4. Лагутин, М.Б. Наглядная математическая статистика. [Электронный ресурс] / М.Б. Лагутин. – М.: «Бином. Лаборатория знаний». – 2013. – 472с.

5. Буре, В.М. Теория вероятностей и математическая статистика. [Электронный ресурс] / В.М. Буре, Е.М. Парилина. – М.: Издательство «Лань». - 2013. – 416с.

6. Хуснутдинов, Р.Ш. Сборник задач по курсу теории вероятностей и математичсекой статистики. [Электронный ресурс] / Р.Ш. Хуснутдинов. – М.: Издательство «Лань». - 2014. – 320с.