Министерство образования и науки Российской Федерации

Саратовский государственный технический университет

Балаковский институт техники, технологии и управления

Применение статистических критериев для анализа выборочных данных

Методические указания к выполнению практической работы

по курсу «Математическая статистика и прогнозирование»

для студентов направления «Информационные системы и технологии»

всех форм обучения

Одобрено

редакционно-издательским советом

Балаковского института техники,

технологии и управления

Балаково 2015

Введение

Цель работы: научиться выполнять проверку статистических гипотез с использованием MS Excel.

Основные понятия

Статистической гипотезой называется любое предположение о виде неизвестного распределения или о параметрах закона распределения.

Выдвинутую гипотезу называют нулевой (основной) гипотезой Н₀. Если выдвинутая гипотеза Н₀ будет отвергнута, то имеет место противоречащая ей гипотеза Н₁, которая называется конкурирующей (альтернативной).

Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину (статистический критерий). После выбора критерия множество всех его возможных значений разбивают на два подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается (критическая область), а другое содержит те значения критерия, при которых гипотеза принимается (область принятия гипотезы). Если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают в пользу конкурирующей гипотезы; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то нулевую гипотезу принимают.

Критическими точками К_кр называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Рассмотрим способы проверки некоторых наиболее часто встречающихся гипотез.

1. Гипотеза о равенстве генеральной средней нормальной совокупности заданному числовому значению.

Пусть генеральная совокупность Х распределена нормально, причем имеются основания предполагать, что генеральная средняя этой совокупности равна некоторому значению а.

Предполагаем, что дисперсия генеральной совокупности D = σ² известна (например, может быть найдена теоретически, или вычислена по выборке большого объема). Кроме того, по произведенной выборке объема n найдена выборочная средняя . Требуется по выборочной средней при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу Н₀: = а. Для этого необходимо вычислить наблюдаемое значение критерия

. (1)

1) При конкурирующей гипотезе Н₁: ≠ а критическую точку U_кр находим по таблице функции Лапласа (приложение 1) из условия Φ(U_кр) = (1 – α)/2. Если |U_набл| < U_кр, то принимается нулевая гипотеза. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

2) При конкурирующей гипотезе Н₁: > а критическую точку U_кр находим по таблице функции Лапласа из условия Φ(U _кр) = (1 – 2α) /2. Если U_набл < U_кр, то принимается нулевая гипотеза. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

3) При конкурирующей гипотезе Н₁: < а критическую точку U_кр находим по таблице функции Лапласа из условия Φ(U_кр) = (1 – 2α)/2. Нулевая гипотеза принимается, если U_набл > –U_кр. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

Предположим теперь, что дисперсия генеральной совокупности D = σ² неизвестна, а известна только ее исправленная выборочная оценка = s². Для того, чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу Н₀: = а, нужно вычислить наблюдаемое значение критерия

(2)

1) При конкурирующей гипотезе Н₁: ≠ а критическую точку T_кр(α, n–1) находим по таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение 2) при n–1 степенях свободы и вероятности α. Если |T_набл| < T_кр, то принимается нулевая гипотеза. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

2) При конкурирующей гипотезе Н₁: > а критическую точку T_кр (2α, n – 1 находим по таблице критических точек распределения Стьюдента при n – 1 степенях свободы и вероятности 2α. Если T_набл < T_кр, то принимается нулевая гипотеза. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

3) При конкурирующей гипотезе Н₁: < а критическую точку T_кр(2α, n –1) находим по таблице критических точек распределения Стьюдента при n –1 степенях свободы и вероятности 2α. Если T _набл > –T _кр, то принимается нулевая гипотеза. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

2 Гипотеза о равенстве двух средних нормальных генеральных совокупностей.

Пусть генеральные совокупности Х₁ и Х₂ распределены нормально, причем генеральные средние этих совокупностей и неизвестны. По произведенным выборкам объемов n₁ и n₂ найдены выборочные средние и .

Предполагаем, что дисперсии обеих генеральных совокупностей известны, и равны и . Требуется при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу Н₀: = . Вычисляем наблюдаемое значение критерия

. (3)

1) При конкурирующей гипотезе Н₁: ≠ критическую точку U_кр находим по таблице функции Лапласа из условия Φ(U_кр) = (1 – α)/2. Если |U_набл| < U_кр, то принимается нулевая гипотеза. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

2) При конкурирующей гипотезе Н₁: > критическую точку U_кр находим по таблице функции Лапласа из условия Φ(U_кр) = (1 – 2α)/2. Если U_набл < U_кр, то принимается нулевая гипотеза. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

3) При конкурирующей гипотезе Н₁: < критическую точку U_кр находим по таблице функции Лапласа из условия Φ(U_кр) = (1 – 2α)/2. Если U_набл > –U _кр, то принимается нулевая гипотеза. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

Предположим теперь, что дисперсии обеих генеральных совокупностей неизвестны, а известны только их исправленные выборочные оценки и , а выборки имеют небольшой объем (меньше 30). Предполагается, что дисперсии двух генеральных совокупностей одинаковы. В этом случае нужно вычислить наблюдаемое значение критерия

(4)

1) При конкурирующей гипотезе Н₁: ≠ критическую точку T_кр(α, n₁+n₂–2) находим по таблице критических точек распределения Стьюдента (приложение 2) при n₁+n₂–2 степенях свободы и вероятности α. Если |T_набл|< T_кр, то принимается нулевая гипотеза. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

2) При конкурирующей гипотезе Н₁: > критическую точку T_кр(2α, n₁+ n₂ – 2) находим по таблице критических точек распределения Стьюдента при n₁+n₂–2 степенях свободы и вероятности 2α. Если T_набл < T_кр, то принимается нулевая гипотеза. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

3) При конкурирующей гипотезе Н₁: < критическую точку T_кр(2α, n₁ + n₂ – 2) находим по таблице критических точек распределения Стьюдента при n₁+n₂–2 степенях свободы и вероятности 2α. Если T_набл > –T _кр, то принимается нулевая гипотеза. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.