2к4с Исследование операций / Исследование операций 1 вар к.р

Задача 1. Построить на плоскости область решений системы линейных неравенств и геометрически найти наименьшее и наибольшее значения функции .

.

Решение.

1. Построим прямые.

1) Прямая (I) проходит параллельно оси ОХ₂.

2) Для построения прямой (II) достаточно найти две точки.

Если , то ;

Если , то .

3) Для построения прямой (III) достаточно найти две точки.

Если , то ;

Если , то .

2. Штриховкой выделим нужные полуплоскости, соответствующие знакам неравенств.

I:

Штрихуем полуплоскость, которая находится правее точки с координатами [1,5; 0)

II:

– истина, значит штрихуем полуплоскость, в которой лежит точка с координатами (0, 0).

III:

– ложь, значит штрихуем полуплоскость, в которой не лежит точка с координатами (0, 0).

На рисунке видно, что пересечение штриховки графиков образует отрезок ВС.

3. Построим целевую функцию и вектор градиента .

– показывает в каком направлении функция возрастает.

Целевая функция строится перпендикулярно вектору градиента.

Наибольшее и наименьшее значения будут находиться на концах отрезка ВС. По рисунку видно, что целевая функция возрастает на отрезке от точки В к точке С. Значит в т. В – минимум целевой функции, в т. С – максимум целевой функции.

4. Найдем координаты наибольшего и наименьшего значений.

, находится на пересечении II и III графиков функции. Координаты точки пересечения этих функций найдем из системы уравнений.

   

т. С (10,31; 3,75).

, находится на пересечении I и III графиков функции. Координаты точки пересечения этих функций найдем из системы уравнений.

  

т. В (1,5; -8).

5. Найдем максимальное и минимальное значение целевой функции.

;

.

Задача 2. Предприятие выпускает продукцию двух видов А и В. Для производства используется сырь трех видов. Максимальный запас сырья первого вида составляет с₁ ед., сырья второго вида – с₂ ед. и сырья третьего вида – с₃ ед. На производство единицы продукции вида А расходуется а₁ ед. сырья первого вида, а₂ ед. сырья второго вида и а₃ ед. сырья третьего вида. На производство единицы продукции вида В расходуется b₁ ед. сырья первого вида, b₂ ед. сырья второго вида и b₃ ед. сырья третьего вида. Прибыль от производства единицы продукции вида А составляет руб., вида В – руб.

Составить план производства, обеспечивающий максимальную общую прибыль.

Найти решение симплекс методом.

а₁ = 7, b₁ = 8, c₁ = 346, = 6,

а₂ = 4, b₂ = 9, c₂ = 280, = 4.

а₃ = 9, b₃ = 5, c₃ = 392,

Решение

Пусть х₁ – количество продукции вида А, х₂ – количество продукции вида В. Тогда общая прибыль: f = 6x₁ + 4x₂ (целевая функция).

f = 6x₁ + 4x₂ → max

Приведем задачу к канонической форме, то есть заменим неравенства – равенствами и добавим к каждому равенству по одной переменной.

Составим симплекс таблицу (Таблица “Итерация 0”).

При заполнении последней строки коэффициенты целевой функции берем с противоположным знаком.

Таблица “Итерация 0”

Базис	х1	х2	х3	х4	х5	bi
х3	7	8	1	0	0	346
х4	4	9	0	1	0	280	70
х5	9	5	0	0	1	392
f	–6	–4	0	0	0	0	0

Если в последней строке есть отрицательные значения, значит решение не оптимальное.

, значит разрешающий столбец – X₁.

Для заполнения столбца воспользуемся формулой .

Для определения разрешающей строки необходимо найти минимальное .

, значит разрешающая строка – Х₅.

На пересечении разрешающего столбца X₁ и разрешающей строки X₅ находится разрешающий элемент – это число 9.

Так как решение не оптимальное, то выполним преобразования и заполним таблицу “Итерация 1”.

Вычисление строки Х₁: делим все члены разрешающей строки Х₅ из таблицы “Итерация 0” на разрешающий элемент. Таким образом получим строку Х₁ в таблице “Итерация 1”.

Таблица “Итерация 1”

Базис	х1	х2	х3	х4	х5	bi
х3	0		1	0			10
х4	0		0	1
х2	1		0	0			78,4
f	0		0	0

В остальных строках элементы разрешающего столбца необходимо преобразовать в нули.

Строка Х₃: в столбце Х₁: ;

в столбце Х₂: ;

в столбце Х₃: ;

в столбце Х₄: ;

в столбце Х₅: ;

в столбце b_i: .

Строка Х₄: в столбце Х₁: ;

в столбце Х₂: ;

в столбце Х₃: ;

в столбце Х₄: ;

в столбце Х₅: ;

в столбце b_i: .

Строка f: в столбце Х₁: ;

в столбце Х₂: ;

в столбце Х₃: ;

в столбце Х₄: ;

в столбце Х₅: ;

в столбце b_i: .

В последней строке есть отрицательное значение, значит решение не оптимальное. В качестве разрешающего столбца выберем тот, в котором находится это отрицательное число – столбец Х₂.

Для заполнения столбца воспользуемся формулой .

Для определения разрешающей строки необходимо найти минимальное .

, значит разрешающая строка – Х₃.

На пересечении разрешающего столбца X₂ и разрешающей строки X₃ находится разрешающий элемент – это число .

Так как решение не оптимальное, то выполним преобразования и заполним таблицу “Итерация 2”.

Вычисление строки Х₂: делим все члены разрешающей строки Х₃ из таблицы “Итерация 1” на разрешающий элемент. Таким образом получим строку Х₂ в таблице “Итерация 2”.

Таблица “Итерация 2”

Базис	х1	х2	х3	х4	х5	bi
х3	0	1		0		10
х1	0	0		1		38
х2	1	0		0		38
f	0	0		0		268

Строка Х₂: в столбце Х₁: ;

в столбце Х₂: ;

в столбце Х₃: ;

в столбце Х₄: ;

в столбце Х₅: ;

в столбце b_i: .

В остальных строках элементы разрешающего столбца необходимо преобразовать в нули:

Строка Х₄: в столбце Х₂: ;

в столбце Х₁: ;

в столбце Х₃: ;

в столбце Х₄: ;

в столбце Х₅: ;

в столбце b_i: .

Строка Х₂: в столбце Х₂: ;

в столбце Х₁: ;

в столбце Х₃: ;

в столбце Х₄: ;

в столбце Х₅: ;

в столбце b_i: .

Строка f: в столбце Х₂: ;

в столбце Х₁: ;

в столбце Х₃: ;

в столбце Х₄: ;

в столбце Х₅: ;

в столбце b_i: .

max f = 268, при x₁ = 38, x₂ = 10.

Задача 3. Имеются три пункта поставки однородного груза А₁, А₂, А₃ и пять пунктов В₁, В₂, В₃, В₄, В₅ потребления этого груза. На пунктах А₁, А₂ и А₃ находится груз в количестве соответственно а₁, а₂ и а₃ т. В пункты В₁, В₂, В₃, В₄ и В₅ требуется доставить соответственно b₁, b₂, b₃, b₄ и b₅ т груза. Расстояния между пунктами поставки и пунктами потребления приведены в следующей таблице.

Пункт поставки	Пункты потребления
	В1	В2	В3	В4	В5
А1	d11	d12	d13	d14	d15
А2	d21	d22	d23	d24	d25
А3	d31	d32	d33	d34	d35

Составить такой план закрепления потребителей за поставщиками, чтобы общие затраты по перевозкам были минимальными.

a₁ = 250, b₂ = 110,

a₂ = 250, b₃ = 85,

a₃ = 200, b₄ =195,

b₁ = 120, b₅ = 190,

Решение

Исходные данные представим в виде транспортной таблицы:

Пункт поставки	Пункты потребления													ai
	В1		В2		В3			В4			В5
А1		13		7			16			4			11		250
А2		20		9			6			10			9		250
А3		2		4			7			3			6		200
bj	120		110		85			195			190

= 250 + 250 + 200 = 700 – имеется груза.

= 120 + 110 + 85 + 195 + 190 = 700 – требуется груза.

Потребности совпадают с возможностями. Решим задачу методом наименьшего элемента –будем сначала заполнять ячейки с наименьшей стоимостью .

Самая низкая стоимость – 2. Значит в эту клетку запишем максимум требуемого груза. Следующая стоимость 3. В эту клетку тоже запишем максимум требуемого груза и так далее.

Аналогичным образом распределим количество требуемого груза исходя из количества имеющегося груза.

m – количество складов;

n – количество потребителей.

Должно получится m + n – 1 =3 + 5 – 1 = 7 заполненных клеток в таблице.

Пункт поставки	Пункты потребления										ai
	В1		В2		В3		В4		В5
А1		13	110	7		16	115	4	25	11		250
А2		20		9	85	6		10	165	9		250
А3	120	2		4		7	80	3		6		200
bj	120		110		85		195		190

Общая стоимость .

Проверим решение на оптимальность.

Стоимость клетки .

;

;

;

;

;

;

.

Так как уравнений 7, а переменных 8, по пусть , тогда:

;

;

;

;

;

;