2к4с Исследование операций / МУ к практической работе 2

допустимых решений (неразрешимость 1). Завер-

шить работу алгоритма 3.

7) Если оптимальное значение целевой функции

вспомогательной задачи равно нулю, то использовать полученную оптимальную таблицу вспомогательной задачи для построения начальной таблицы для ис-

ходной задачи. Для этого в имеющейся таблице нужно вычеркнуть столбцы с искусственными небазисными переменными и пересчитать заново оценки, используя целевую функцию исходной задачи.

8) Сделать вывод: построена начальная сим-

плекс-таблица для исходной задачи. Завершить рабо-

ту алгоритма 3.

Алгоритм 4 - решение произвольной задачи линейного программирования симплекс-методом

1)Применить алгоритм 1 для построения на-

чальной симплекс-таблицы.

2) Если будет получен вывод: необходимо

применение метода искусственного базиса, то перейти

на пункт 5.

11

3)Реализовать алгоритм 2.

4)Завершить работу алгоритма 4.

5)Применить алгоритм 3 построения началь-

ной симплекс-таблицы методом искусственного базиса.

6)Если будет выявлена в алгоритме 3 нераз-

решимость 1, то перейти на пункт 4, иначе на пункт 3.

Теория двойственности в линейном програм-

мировании

Определение 6. Парой симметричных двойст-

венных задач называются задачи

Задачи (А), (В) являются взаимно двойственными задачами.

Для построения двойственной задачи рекоменду-

ется выполнить действия:

12

1)Если в исходной задаче требуется максимизи-

ровать целевую функцию, то все ограничения-

неравенства преобразовать к виду « ».

2)Если в исходной задаче требуется минимизиро-

вать целевую функцию, то все ограничения-

неравенства преобразовать к виду « ».

3)Построить двойственную задачу, воспользо-

вавшись таблицей 2.

При этом если исходная задача - это задача (А), то двойственной к ней является задача (В), и наоборот.

Таблица 2

Общая схема построения двойственной задачи

f (x) (c, x) max

13

14

1-я теорема двойственности. Двойственные за-

дачи одновременно разрешимы или неразрешимы. В

случае разрешимости оптимальные значения целевых функций этих задач равны.

2-я теорема двойственности. Допустимые реше-

ния двойственных задач являются оптимальными ре-

шениями этих задач тогда и только тогда, когда они удовлетворяют условиям дополняющей нежесткости

(табл.4): (x,v)+(y,u)=0.

Таблица 4

Условия дополняющей нежесткости

15

Вторую теорему двойственности можно исполь-

зовать для того, чтобы проверить, является ли заданное допустимое решение исходной задачи оптимальным решением или нет.

Предположим, что исходной является задача (А),

и задано допустимое решение этой задачи x 0 .

Подставим последовательно во все ограничения-

неравенства задачи (А) заданную точку x 0 . Получен-

ный вариант результата подстановки точки x 0 в огра-

ничение задачи (А) найдем в первом столбце таблицы

5. После этого в столбце 2 той же таблицы выберем со-

ответствующий найденному результату вывод.

К полученным в результате сделанного вывода условиям необходимо добавить имеющиеся в задаче

(В) ограничения-равенства, так как точка y0 , будучи

16

допустимой, должна им удовлетворять. Точка x 0 явля-

ется оптимальным решением задачи (А) тогда и только тогда, когда полученная при этом система имеет реше-

ние.

Утверждение 1. Если полученная система имеет решение, то все точки y0 , являющиеся решением этой системы, и только они, будут оптимальными решения-

ми задачи В.

Таблица 5

Схема вывода условий дополняющей нежесткости

при проверке на оптимальность точки x 0 в задаче максимизации

17

Если исходной является задача типа (В) и задано допустимое решение этой задачи y0 , то нужно подста-

вить точку y0 последовательно во все ограничения-

неравенства задачи (В). Для каждого ограничения по-

лучим один из возможных результатов подстановки

(см. в столбце 1 таблицы 6). Далее выберем в столбце

2 таблицы 6 соответствующий полученному варианту результата вывод о результате подстановки неизвестной

точки x0 в соответствующее ограничение задачи (А).

Таблица 6

Схема вывода условий дополняющей нежестко-

сти при проверке на оптимальность точки y0 в задаче

18

минимизации

условиям (табл. 6) необходимо добавить имеющиеся в задаче типа A ограничения-равенства, так как иско-

мая точка x0 должна им удовлетворять. Если получен-

ная при этом система имеет решение, то точка y0 яв-

ляется оптимальным решением исходной задачи вида B.

19

В противном случае точка y0 не является оптимальным решением исходной задачи.

Утверждение 2. Если полученная система разре-

шима, то все точки x0 , являющиеся решением систе-

мы, и только они будут оптимальными решениями двойственной задачи.

Замечание. Если полученная система не имеет решения, то это еще не означает, что двойственные за-

дачи не разрешимы.

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Задача 1. Решите симплексным методом задачу линейного

программирования (x1 ≥ 0, x2 ≥ 0):

20