матан 2023 январь вопросы понять

1 билет Действительные числа. Аксиома полноты действительных чисел. Точная

верхняя (нижняя) грань непустого числового множества, ее существование.

действительные числа= это рациональные числа(включают подмножество целых чисел, а целые числа включают подмножество натуральных) + иррациональные

иррациональные-это такие числа , которые нельзя записатьв виде дроби Рациональные числа – это такие числа, которые можно записать в виде обыкновенной дроби Целые числа — это все положительные, все отрицательные числа и ноль.

науральныеэто числа используемые при счёте(0 не относиться)

a,b R: вып след св-ва (аксиомы)-7 шт

1)коммутативность

2)ассоциативность

3)дестрибутивность

4)нейтральный элемент по отношению к сложению 0

5)нейтральный элемент по отношению к умножению: 1

6)противоположный элемент: -а

7)обратный элемент: (а ≠ 0) 1/a

Аксиома полноты действительных чисел-множество действительных чисел всюду плотно нет ни одной точки , которая бы не соответствовала числу

Точная верхняя (нижняя) грань непустого числового множества, ее существование.

ограниченность множества: два определения

(множество Х ограничено сверху(снизу) , если существует такое число М(м это типо внизу число) , что для любого х принадлежащ множеству Х , выполняется: х меньше или равно этому числу М ( х больше или равно м)

множество Х ограничено если существует число А больше нуля , что для любого х принадлеж множеству Х: модуль из х меньше или равно А

точная верхняя и нижняя грань

м-точная верхняя грань множества Х если для любого х принадлеж Х точка х меньше м для любой точки м1 которая меньше м сущ точка х0 большечем м1 если множество сверху(снизу), то у этого мн-ва существует точная верхняя грань

2 билет Предельная точка множества. Предел последовательности, его единственность. Ограниченность последовательности, имеющей предел. Предельная точка множества

если вып это

то точка х лежит в эпсилант окрестности

Точка Х0 называется предельной точкой множества Х , если любая её окрестность содержит бесконечно много точек этого множества

Предел последовательности, его единственность.

последовательностьэто функция от натуральных чисел

число А называется пределом последовательности если для любого эпсилант больше 0 , существует номер ,что начиная с которого все номера(члены) послед не дальше чем на эп от предела

3 билет Бесконечно малые последовательности. Действия над бесконечно малыми последовательностями.

Бесконечно малые последовательности

последовательность бесконечно малая если её предел=0

Действия над бесконечно малыми последовательностями.

модуль суммы превосходит сумму модулей

4 Предел суммы, разности, произведения, частного последовательностей, имеющих пределы. Переход к пределу в неравенствах. Оценочный признак (с доказательством).

Предел суммы, разности, произведения, частного последовательностей, имеющих пределы

Переход к пределу в неравенствах

Оценочный признак (с доказательством).

если два милицонера кого-то куда-то ведут ,то это кто-то прижёт туда же , куда и

у нн-е лежит в эпсилант окрестности

милиционеры

5 Критерий Вейерштрасса существования предела монотонной последовательности (без доказательства). Число е как предел

последовательности nlim→∞ (1 + 1n ) (без вывода).

Число е как предел последовательности

схема доказательства

унас есть эта последовательность

1)ДОКАЗАТЬ , что эта последовательность ограничена сверху можно , но это тяжело , а ограниченность снизу можно - и это легко , но данная последовательность возрастает

2)степень изменилась на 1 , и эти последовательности отличаеются друг от друа на множитель 1+ 1 нная , в пределе этот множитель все равно стремиться к 1-ке и поэтому мало на что влияет

3)но добавив этот множитель мы делаем вспомагат последовательность убывающей и доказать то , что она ограничена снизу - легко мы будем по неравенству бернули

доказываем , что вспмогат послед ограничена снизу

последовательность больше 2-ки точно

отношение (деление) двух соседних членов по неравенству бернули меньше 1 а это значит вспомагательная последовательность убывает

по критерию вейерштрасса вспомагательная последовательность имеет предел и он равен е

нижняя штучка стремиться к 1-ке верхняя(вспомагательная) к е

то предел частного равняется частному пределов а это значит что наша послед стремиться к е

Предел функции по Коши: число называется пределом функции

6 Определение предела функции в точке по Коши. Единственность предела.

в точке , если

Локальная ограниченность функции, имеющей предел в точке. Бесконечно для любой заранее

малые функции. Их свойства.

пусть у нас есть 2 множеста , и если мы каждому элементу из х сопоставляем какой-то единсвенный элемент из у , то мы говорим , что задана функция

Определение предела функции в точке по Коши.

число А является пределом функции какой бы маленький интервальчик около А( по у) мы не взяли

найдется такой интервальчик вокруг точки х0 ( по х) , что все значения попадут туда

Единственность предела.

Локальная ограниченность функции, имеющей предел в точке

Бесконечно малые функции. Их свойства.

7 Предел суммы, разности, произведения, частного функций, имеющих предел. Переход к пределу в неравенствах.

Предел суммы, разности, произведения, частного функций, имеющих предел.