Задачи_МК_МатСтат
.pdf
Экзаменационные задачи.
1.Классическое определение вероятности.
1.(Ф, гл.2, пар.10, N9) Найти вероятность того, что при случайном размещении n шаров по n ящикам ровно один ящик останется пустым. [4]
2.Имеется две случайные последовательности из 10 символов, причем в каждой имеется 5 нулей и 5 единиц. (Можно считать, что это индикаторы событий A и B.) Найти вероятность того, что при сравнении двух этих последовательностей число совпадений в позициях единиц будет равно n (0<=n<=10). Интерпретация: n- количество опытов, когда события A и B произошли одновременно. [5]
3.Задача о сериях. Имеется случайная последовательность из 10 символов - 5 нулей и 5 единиц. Найти вероятность того, что число серий в этой последовательности равно четырем (например: 0011110001) [5]
4.В течение длительного промежутка времени применялись (рандомизировано) три различные методики лечения одной и той же нозологической формы. Из 10 возникших осложнений 5 возникли при применении методики N3. До начала исследования все три методики рассматривались как одинаково пригодные. Можно ли считать доказанным, что методика N3 приводит к большему числу осложнений или это можно считать случайностью? Указание: свести задачу к проверке гипотезы о случайном размещении 10 шаров по трем ящикам. [4]
В течение длительного промежутка времени применялись (рандомизировано) три различные методики лечения одной и той же нозологической формы. Из 12 возникших осложнений 7 возникли при применении методики N3. До начала исследования все три методики рассматривались как одинаково пригодные. Можно ли считать доказанным, что методика N3 приводит к большему числу осложнений?
2.Основные формулы теории вероятности.
1.Последовательность N цифр от 1 до N случайно переставляется. Найти вероятность того, что хотя бы одна цифра останется на своем месте. (Феллер гл. 4, пар.1– “задача о шляпах”). [5]
2.(Ф, гл.5, пар.8, N2) Известно, что при бросании 10 костей появилась, по крайней мере, одна единица. Какова вероятность того, что появились две и более единицы? [3]
3.В ряде независимых измерений непрерывной случайной величины с плотностью f(x) рассматриваются только значения большие предыдущего. Найти закон распределения этих значений.[7]
4.(Ф, гл.6, пар.10, N19) Двое бросают монету N раз каждый. Найти вероятность того, что у них выпадет одинаковое число гербов. [4]
5.Вероятность правильной диагностики туберкулеза при рентгеновском обследовании – 0.9, вероятность ошибочной диагностики туберкулеза у здорового человека - 0.03. Доля больных
туберкулезом в популяции – 0.02. Какова вероятность того, что диагноз туберкулеза у случайно выбранного из популяции человека поставлен правильно? Применить формулу Байеса. [4]
6.Первыйстрелокпопадавмишвеньроятностью |
р,авторойс |
|
вероятностью0, |
7.Известно,чтовероятностьп ражениямишенипри |
8.Найти р. |
одновременномвыстрелеобоихелковавна0, |
|
|
3.Основные дискретные распределения – биномиальное, гипергеометрическое, пуассоновское, полиномиальное, геометрическое.
1.Из урны, в которой находится 5 шаров (3 белых и 2 черных) с возвращением выбирают 4 шара. Построить функцию распределения для числа белых шаров, найти математическое ожидание и дисперсию. [2]
2.Ящик содержит 20 годных и 5 бракованных деталей. Из ящика вынимают 4 детали. Какова вероятность того, что две из них бракованные? [2]
3.За одну минуту на телефонную станцию в среднем поступает 30 вызовов. Найти ряд распределения и математическое ожидание для числа вызовов за 5 секунд [2]
4.Доля редкого фенотипа в популяции составляет 1%. Построить ряд распределения для числа таких особей в выборке из 100 человек. Найти математическое ожидание и дисперсию. Сколько в
среднем особей пришлось бы исследовать, если бы исследование проводилось до появления первой особи с редким фенотипом? [4]
5.После рентгеновского облучения в одной клетке в среднем возникает две хромосомные аберрации. Построить ряд распределения для числа аберраций, возникающих при облучении 10 клеток. Найти математическое ожидание и дисперсию. [2]
6.Какова вероятность того, что при случайном распределении 5 точек по 4 ячейкам равной площади, в первой ячейке окажутся две точки, а во второй ячейке – одна точка? [2]
7.Какова вероятность того, что при бросании 10 игральных костей выпадет ровно одна шестерка, и три раза нечетное количество очков? [2]
8.Случайное отклонение размера детали от номинала при изготовлении на данном станке имеет нулевое математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение равное 5мкм. Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее 0.9 среди них была хотя бы одна годная, если для годной детали допустимо отклонение размера от номинала не более, чем на 2мкм. [4]
9.Один стоматолог предложил следующую упрощенную вероятностную модель для заболевания кариесом. Предполагается, что для всех людей, живущих в данной местности, вероятность поражения каждого зуба кариесом постоянна (=p) и не зависит от состояния других зубов. Для проверки своей модели стоматолог изучил, как в разных районах страны меняются два параметра: доля людей больных кариесом и средняя интенсивность поражения (среднее число больных зубов у страдающих кариесом). Какую функциональную связь между этими величинами можно ожидать, если гипотеза стоматолога верна? [6]
10.Пусть нам известно, что вероятность успешной имплантации одной яйцеклетки p=0.3. Сколько яйцеклеток следует вводить в матку, чтобы вероятность успеха операции была максимальна? Операция считается успешной, если имплантировалась одна или две яйцеклетки. При расчете предполагать имплантацию каждой яйцеклетки независимым событием. [4]
11. Статистическая микроструктура потенциала концевой пластинки.
Исследовалось 198 вызванных потенциалов постсинаптической мембраны нервно-мышечного синапса при одинаковой силе стимула. При этом амплитуда ответа имела следующее дискретное распределение (медиатор ацетилхолин выбрасывается квантами):
0 - 18 (т.е. ответ не наблюдался вовсе в 18 случаях)
0.4мВ - 44 наблюдения, 0.8мВ - 55 наблюдения,
1.2мВ - 36 наблюдения, 1.6мВ - 25 наблюдений,
2,0мВ - 12 наблюдений, 2,4мВ - 8 наблюдений.
Амплитуда спонтанных потенциалов составляет 0.4 мВ. Предполагается, что каждый импульс, приходящий в нервные окончания, вызывает освобождение небольшого числа порций
ацетилхолина из очень большого числа возможных; для каждой порции ацетилхолина (отдельного пузырька) вероятность освобождения мала и не зависит от освобождения любой другой порции. Можно ли утверждать, что данные согласуются с распределением Пуассона? Почему оказывается приближенно верным следующее соотношение: (средняя амплитуда реакции)/(средняя амплитуда спонтанных потенциалов)= -ln(доля нулевых реакций)? (подробности см в книге: Катц Б. Нерв, мышца и синапс. 1968.M.) [7]
12.Найти ряд распределения для пуассоновской случайной величины K при условии, что число событий больше нуля: P(K = k | K > 0) = ? [4]
4.Вычисление математического ожидания, дисперсии, квантилей. Гамма и бета функции.
1.Сравнить дисперсии геометрического и пуассоновского распределений с тем же средним значением. (Полученный результат используется на практике при различении этих двух распределений.) [4]
2.Последовательность N цифр от 1 до N случайно переставляется. Найти математическое ожидание и дисперсию числа цифр K, оставшихся на своем месте. Указание - при расчетах воспользоваться понятием индикатора события, представив K=K1+K2+...+Kn. Где Ki=1 или Ki=0 в зависимости от того, осталась ли цифра на месте. [6]
3.Найти мат. ожидание и дисперсию общего числа K белых шаров, извлекаемых из урны, в которой находится p*N белых и (1-p)*N черных шаров. Всего извлекается n шаров (n<N). Рассмотреть два варианта: выбор с возвращением и без (биномиальное и гипергеометрическое распределения для величины K). При расчетах воспользоваться понятием индикатора события, представив K=K1+K2+...+Kn. Где Ki=1 или Ki=0 в зависимости от того, извлечен белый шар или нет при i-ом испытании (Феллер). [6]