Задачи_МК_МатСтат

6.(Св.15.8) Найти связь между средним абсолютным отклонением M (| X - m |) нормально распределенной случайной величины и ее средним квадратичным отклонением

s = M (( X - m)2 ) . [3]

7.Для распределения с плотностью вероятности f (x) = Ae-ax2 ; x > 0 найти из условия нормировки константу A, математическое ожидание и дисперсию, выразив их через величину константы a, предполагаемую известной. При вычислениях использовать гамма функцию.[3]

8.Для распределения с плотностью вероятности f (x) = Ax3/2e-x ; 0 < x < найти из условия нормировки константу A, математическое ожидание и дисперсию, используя при вычислениях гамма функцию.[3]

9.Для распределения с плотностью вероятности f (x) = Ax3 (1- x)5; 0 < x <1 найти константу A, математическое ожидание и дисперсию, используя при вычислениях бета функцию. [3]

10.Для распределения с плотностью вероятности f (x) = Ae-ax2 ; x > 0 найти из условия нормировки константу A и величину медианы, выразив ответ через функцию Лапласа [3]

11.Найти медиану и математическое ожидание для экспоненциального распределения [2]

экспоненциального распределения, используя при вычислениях гамма функцию. [4]

13.(Св. 21.37) Найти мат. ожидание и дисперсию случайной величины Z=min(X,Y), если X, Y - независимые с.в., с известными плотностями вероятности. [6]

14. Накопление сигнала. При измерении неслучайного сигнала постоянной формы шум, аддитивно накладывающийся на сигнал, в 10 раз превышает по амплитуде сигнал. Сколько накоплений измеряемого сигнала следует произвести, чтобы добиться обратного соотношения: амплитуда шума в 10 раз меньше амплитуды полезного сигнала? [5]

5.Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа (аппроксимация биномиального и пуассоновского распределения нормальным). Центральная предельная теорема.

1.Для биномиального распределения случайной величины K с параметрами p=0.4, n=20 сравнить точное значение вероятности P(K=4) с тем, что дает локальная теорема Муавра-Лапласа. [2]

2.Найти вероятность того, что при бросании двух монет 80 раз две решетки выпадут 15 раз. [2]

3.Вероятность успеха в одном опыте равна 0.1. Найти вероятность того, что в 100 опытах произойдет а) ровно 14 успехов, б) не менее 14 успехов. [2]

4.Для биномиального распределения случайной величины K с параметрами p=0.4, n=20 сравнить точное значение вероятности P(3<=K<=6) с тем, что дает интегральная теорема МуавраЛапласа. При вычислении для большей точности использовать поправку на дискретность. [3]

5.Для пуассоновского распределения случайной величины K с параметром λ=4 сравнить точное значение вероятности P(K=5) с тем, что дает локальная теорема Муавра-Лапласа. [2]

6.Для пуассоновского распределения случайной величины K с параметром λ =4 сравнить точное значение вероятности P(3<=K<=6) с тем, что дает интегральная теорема Муавра-Лапласа. При вычислении для большей точности использовать поправку на дискретность. [3]

7.В среднем в одном поле зрения препарата видно 50 бактерий. Найти вероятность того, что в поле зрения видно более 60 бактерий. [3]

8.Согласно Н0: X ~ N (m = 3;s 2 =16) . Проведено 100 испытаний. При этом в 65 случаях произошло событие X<4.0. Найти вероятность этого события и проверить гипотезу Н0.[3]

9.Согласно Н0: X ~ Exp(a = 2); <=> f (x) = ae-ax H (x) . Проведено 100 испытаний. При этом в 70 случаях произошло событие X>2.5. Найти вероятность этого события и проверить гипотезу Н0.[3]

10.При 20 бросаниях игральной кости общая сумма выпавших очков равна 80. Можно ли считать кость симметричной? (Найти вероятность того, что число очков для симметричной кости будет равно или превысит 80.) [3]

11.X1 ,...X10 - независимые случайные величины с равномерным законом распределения на интервале от 0 до a. Найти приближенный закон распределения их суммы Y=X1+..+X10 . [5]

12.Случайное блуждание. При случайном блуждании частицы по целочисленным точкам прямой сдвиг на один шаг вправо происходит с вероятностью 1/4, на один шаг влево с вероятностью 1/3, точка остается на месте с вероятностью 5/12. Найти закон распределения положения частицы через 100 шагов. [5]

13. Счастливый билет. Билет с шестизначным номером считается счастливым, если сумма первых трех цифр равна сумме трех последних, например - 023041. Считая, что каждая цифра равномерно распределена в диапазоне 0-9, приближенно оценить вероятность того, что

X1 + X2 + X3 - X4 - X5 - X6 = 0, воспользовавшись нормальной аппроксимацией данной суммы. (Точное решение возможно методом производящей функции – см. Св. ) [6]

14.Найти, используя центральную предельную теорему, вероятность того, что сумма 20 независимых экспоненциальных случайных величин ( f (x) = e-x ; x > 0) превысит 40.

6.Основные распределения мат. статистики – нормальное, хи-квадрат, Стьюдента, Фишера.

1.Найти закон распределения среднего арифметического девяти измерений нормальной случайной величины с параметрами m = 1.0 s = 3.0 . Чему равна вероятность того, что модуль разности между средним арифметическим и математическим ожиданием превысит 0.5? [3].

2.Вывести формулу для хи-квадрат распределения с 2-мя степенями свободы (экспоненциальное распределение).[4]

3.Найти математическое ожидание и дисперсию для хи-квадрат распределение с k степенями свободы.[4]

4.Величины X1, X 2 , X3, X 4 независимы и имеют стандартное нормальное распределение N (0,1).

Выразить вероятности следующих событий через основные статистические распределения (нормальное, хи-квадрат, Стьюдента, Фишера) [4]:

5.Случайная двумерная величина ( X1, X 2 ) имеет нормальный закон распределение с известными

Найти закон распределения линейной комбинации Y = X1 - 5X 2 .[3]

6.Для нормально распределенного вектора X1 , X2 найти собственные вектора и собственные числа ковариационной матрицы и перейти к независимым переменным Y1 , Y2 (“главные компоненты”):

7.Построение доверительных интервалов.

1.Каков необходимый объем выборки для того, чтобы оценить частоту встречаемости дальтоников в популяции с точностью 0.1% и надежностью 0.99? [4]

2.В серии из 100 бросаний игральной кости шестерка появилась 25 раз. Построить доверительный интервал для вероятности выпадения шестерки. Можно ли утверждать, что игральная кость не симметрична?[2]

3.Среди 1000 эритроцитов найдено 11 ретикулоцитов. Построить доверительный интервал для доли ретикулоцитов. [2]

4.Измерено 20 времен жизни проводящего канала (выборка значений экспоненциально распределенной случайной величины). Среднее время жизни (“выборочное среднее”) оказалось равно 890 мсек. Совместим ли полученный результат с тем, что математическое ожидание (м.о.)

времени жизни (“генеральное среднее”) равно 1000 мсек? Построить на основе выборки доверительный интервал для величины м.о. [ 4]

5.В стране с несколькими политическими партиями проводится опрос общественного мнения. Какого объема нужно взять выборку, чтобы быть вполне уверенным (с вероятностью 0.95), что партия, составляющая 5%, оказалась бы в ней с представительством между 4.5 и 5%? [4]

6.В паспорте на катапульту для пилота истребителя одно время указывалось: "вероятность того, что частота отказа не превышает 1 на 10000 случаев, составляет 95%." Какое минимальное количество испытаний катапульты следовало бы произвести, чтобы гарантировать справедливость такого утверждения? [6]