Math

1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные уравнения. Уравнение Я.Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах.

Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Если производные, входящие в уравнение, берутся только по одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Начнем с дифференциальных уравнений первого порядка. Это уравнения, в которые входит лишь первая производная неизвестной функции, и они могут быть записаны в виде F(x,y,y′) = 0, где x – независимая переменная, y – её неизвестная функция, y′ = dy/dx – производная функции y, F – заданная функция трех переменных.

Решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется такая функция y = y(x), определенная на некотором промежутке (a,b), что при подстановке её вместо y в уравнение F(x,y,y′) = 0 получается верное равенство на всем промежутке (a,b).

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. Решение уравнения F(x,y,y′) = 0 может быть записано и в неявном виде q(x, y) = 0 .

Если дифференциальное уравнение 1-го порядка записано в виде

y′= f(x,y) или dy/dx = f(x,y) (1), тогда оно называется разрешенным относительно производной.

Всякое решение дифференциального уравнения можно интерпретировать геометрически. Введем в рассмотрение координатную плоскость P переменных x и y. Мы будем рассматривать лишь такие уравнения, у которых область определения правой части есть некоторая открытая область D в плоскости P (область называется открытой, если каждая точка входит в неё вместе с некоторой своей окрестностью). Пусть функция y = y(x) – решение уравнения (1). Тогда график этой функции называется интегральной линией или интегральной кривой.

Пусть функция y = y(x,c) определена в некоторой области изменения переменных x и c и имеет непрерывную частную производную по переменной x . Эта функция

называется общим решением уравнения (1) в заданной области D изменения переменных x и y . Функция y = y(x,c) является решением уравнения (1) при всех значениях произвольной постоянной c , когда точка (x, y) пробегает область D.

Если общее решение уравнения (1) записано в неявном виде q(x, y, c) = 0 или q(x, y) = c , то оно называется общим интегралом этого уравнения.

Во многих задачах требуется среди всех решений дифференциального уравнения найти решение y = y(x) , удовлетворяющее условию y = y0 при x = x0 , где x0 и y0 – заданные числа, т. е. такое решение, в котором функция y(x) принимает заданное значение y0 , если независимую переменную x заменить заданным значением x0 так, что y(x0) = y0 . Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую, проходящую через заданную точку (x0 , y0 ) . Условие y = y0 при x = x0 называется начальным условием. Задача нахождения решения, удовлетворяющего заданному начальному условию называется задачей Коши.

Чтобы найти решение уравнения (1) с заданным начальным условием с помощью формулы общего решения, поступают следующим образом:

1)подставляют в общее решение вместо x, y числа x0 , y0;

2)решают полученное уравнение относительно c и находят c = c0;

3)подставляют полученное значение c0 в формулу общего решения.

Это и есть искомое решение, его называют частным решением. Оно будет единственным, это следует из приведенной ниже теоремы.

Теорема 1. Если f (x, y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную по переменной y в области D , то через каждую точку, принадлежащую D , проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (1). Эту теорему называют теоремой существования и единственности решения уравнения (1) при заданном начальном условии.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Это дифференциальные уравнения вида f1(x)g1(y)dx+ f2(x)g2(y)dy=0. (2)

Здесь коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от переменных x и y. Уравнение (2) можно привести к уравнению с

разделенными переменными путем деления на f2(x)g1(y) . Получаем общий интеграл ∫f1(x)/f2(x)dx + ∫g2(y)/g1(y)dy = c

Заметим, что при делении уравнения (2) можно потерять частные решения, обращающие в ноль произведение f2(x)g1(y) = 0. В этом случае, если одно или оба уравнения f2(x)=0 и g1(y)=0 имеют решения x1,x2,K и y1,y2,K, то равенства x=x1,x=x2,K и y=y1,y=y2,K нужно присоединить к ответу, так как они являются интегральными кривыми дифференциального уравнения.

Уравнения с разделяющимися переменными могут также иметь вид y′ = f (x)g(y). Подставив y′ = dy/dx и разделив переменные, получим ∫dy/g(y) = ∫f(x)dx + c.

Функция M(x,y) называется однородной степени m (или измерения m), если t ≠ 0 справедливо равенство M(tx,ty) = tm*M(x,y).

Дифференциальное уравнение первого порядка y′=f(x,y) называется однородным

относительно x и y, если функция f(x,y) является однородной нулевой степени. Дифференциальное уравнение M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 является однородным относительно x и y, если функции M(x , y) и N(x , y) – однородные функции одного и того же измерения. Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой z(x) = y/x

Замечание. Некоторые однородные уравнения проще интегрируются с помощью замены x/y = z(y)

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется ДУ 1-го порядка,

линейное относительно неизвестной функции y и ее производной y′. => В общем случае линейное уравнение 1-го порядка можно записать в виде y′ + p(x)*y = f(x), где p(x) , f(x) – заданные непрерывные функции. Если f(x) ≡ 0 , то линейное уравнение называется

однородным. В противном случае уравнение называется неоднородным. Линейное однородное уравнение y ′ + p(x)*y = 0 является уравнением с разделяющимися переменными. Его общее решение: y=C e^(−∫p(x)dx), C.

Уравнением Бернулли называется уравнение вида y′+p(x) y=f(x) y^n, где p(x) , f(x) –

заданные непрерывные функции, n ≠ 0 , n ≠ 1 (иначе это будет линейное уравнение). Уравнение Бернулли можно привести к линейному уравнению. Для этого надо

1)обе части уравнения разделить на y^n ,

2)сделать замену z=y^(1–n) .

Замечание: Уравнение Бернулли при n > 0 имеет решение y = 0 . Оно будет частным решением при n>1 (обычно входит в общее при C=∞) и особым при 0<n<1.

Уравнение вида M(x,y)dx + N(x,y)dx = 0 называется уравнением в полных дифференциалах,

если зависимость перед знаком равенства является полным дифференциалом некоторой функции двух переменных u(x,y), то есть справедливая формула du(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dx. Таким образом, первоначальное уравнение по содержанию означает равенство нулю полного дифференциала функции du(x,y)=0. Интегрируя дифференциал получим общий интеграл ДУ в виде u(x,y)=С. При вычислениях, как правило, постоянную возлагают равной нулю.

2. Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка.

Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде F(x,y,y’,y’’)=0

Или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной: y’’=f(x,y,y’).

Решением ДУ y’’=f(x,y,y’) называется всякая функция у=j(x),которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общим решением ДУ y’’=f(x,y,y’) называется функция у=j(x,c1,c2) где c1 и c2 - не зависящие от х произвольные постоянные.

Аналогичные понятия и определения имеют место для ДУ n-го порядка, которое в общем виде записывается как F(x,y,y’,y’’, … ,y^n)=0.

Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.

Рассмотрим 3 типа уравнений, допускающих понижение порядка.

1) Пусть дано уравнение y’’=f(x). Порядок можно понизить, введя новую функцию p(x), положив y’=p(x). Тогда y’’=p’(x) и получаем ДУ первого порядка: p’=f(x). Решив его, т.е. найдя функцию р=р(х), решим уравнение у’=р(х). Получим общее решение заданного уравнения y’’=f(x).

2) Пусть дано уравнение y’’=f(x,y’), не содержащее явно искомой функции у.Обозначим у’=р, где р=р(х) – новая неизвестная функция. Тогда у’’=p’ и уравнение y’’=f(x,y’) принимает вид р’=f(x,p). Пусть р=j(x,c1) - общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию р на у’, получаем ДУ: y’=j(x,c1). Оно имеет вид y’’=f(x). Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения y’’=f(x;y’) будет иметь вид у= ∫j(x,c1)dx + c2

Частным случаем уравнения y’’=f(x,y’) является уравнение y’’=f(y’), не содержащее также и независимую переменную х. Оно интегрируется тем же способом: y’=p(x), y’’=p’=dp/dx. Получаем уравнение p’=f(p) с разделяющимися переменными.

3) Рассмотрим уравнение y’’=f(y,y’), которое не содержит явно независимой переменной х. Для понижения порядка уравнения введем новую функцию р=р(у), зависящую от переменной у, полагая y’=p. Дифференцируем это равенство по х, учитывая, что р=р(у(х)): y’’ = d(y’)/dx = dp(y)/dx = dp(y)/dy * dy/dx = p * dp(y)/dy, т.е. y’’ = p*dp/dy. Теперь уравнение y’’=f(y,y’) запишется в виде p*dp/dy = f(y,p).

Пусть р=j(x,c1) является общим решением этого ДУ первого порядка. Заменяя функцию р(у) на y’, получаем y’=j(x,c1) - ДУ с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим общий интеграл уравнения y’’=f(y,y’): ∫(dy/j(y,c1)) = x+c2.

Частным случаем уравнения y’’=f(y,y’) является ДУ y’’=f(y). Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки: y’=p(y), y’’=p*dp/dy.

3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка (ЛОДУ). Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим ЛОДУ второго порядка: y’’+a1(x)y’+a2(x)y=0

И установим некоторые свойства его решений. Теорема:

Если функции y1=y1(x) и y2=y2(x) являются частными решениями уравнения y’’+a1(x)y’+a2(x)y=0, то решением этого уравнения является также функция y = c1y1(x) +c2y2(x), где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Подставим функцию y = c1y1+c2y2 и ее производные в левую часть ЛОДУ y’’+a1(x)y’+a2(x)y=0.

Получаем: (c1y1+c2y2)’’+a1(x)*(c1y1+c2y2)’+a2(x)*(c1y1+y2) = c1y1’’ + c2y2’’ + a1(x)*(c1y1’+c2y2’) + a2(x)*(c1y1+c2y2) = c1x0+c2x0 = 0

так как функции y1 и y2 - решения уравнения y’’+a1(x)y’+a2(x)y=0 и, значит, выражения в скобках тождественно равны 0.

Таким образом, функция y = c1y1 + c2y2 также является решением уравнения y’’+a1(x)y’+a2(x)y=0.

Из теоремы, как следствие, вытекает, что если y1 и y2 - решения уравнения y’’+a1(x)y’+a2(x)y=0,

То решениями его будут также функции у=y1+y2 и у=сy1.

Функция y=c1y1(x)+c2y2(x) содержит две произвольные постоянные и является решением уравнения y’’+a1(x)y’+a2(x)y=0.

А для ответа на вопрос, может ли эта функция являться общим решением, введем понятие линейной зависимости и линейной независимости функций.

Функции y1=y1(x) и y2-y2(x) называются линейно независимыми на интервале (a,b), если равенство a1y1+a2y2=0, где a1, a2 = R, выполняется тогда и только тогда, когда a1=a2=0. Если хотя бы одно из чисел a1 или a2 отлично от 0 и выполняется равенство a1y1+a2y2=0, то функции y1 и y2 называются линейно зависимыми.

Средством изучения линейной зависимости системы функций является так называемый определитель Вронского или вронскиан.

Для двух дифференцируемых функций y1=y1(x) и y2=y2(x) вронскиан имеет вид

W(x)=|y1, y2| |y1, y2| .

Имеют место следующие теоремы.

Теорема: Если дифференцируемые функции y1(х) и y2(х) линейно зависимы на (a;b), то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен 0.

Так как функции y1 и y2 линейно зависимы, то в равенстве a1y1+a2y2=0 значение a1 или a2 отлично от 0. Пусть a1 != 0, тогда y1 = -a2/a1 * y2; поэтому для любого х = (a;b)

W(x)=|-a2/a1 * y2, y2| |-a2/a1 * y2, y2| =0.

Теорема: Если функции y1(х) и y2(х) - линейно независимые решения уравнения y’’+a1(x)y’+a2(x)y=0 на(a;b), то определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в нуль.

Интегрирование лоду второго порядка с постоянными коэффициентами

Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами: у" + р·у' + q·у = 0 (где р и q постоянные).

Для нахождения общего решения уравнения достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему.

Будем искать частные решения уравнения в виде у = еkх, где k – некоторое число (предложено Эйлером). Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для у, у' и у" в уравнение получим: еkх ·(k2 + pk + q) = 0 или k2 + pk + q = 0 (еkх≠0) Уравнение k2 + pk + q = 0 называется характеристическим уравнением ДУ (для его составления достаточно в уравнении заменить у", у' и у соответственно на k2, k1 и 1). При решении характеристического уравнения возможны следующие три случая.

Случай 1. Корни k1 и k2 уравнения действительные и различные: k1 ≠ k2 (D= p^2/4 - q >0). В этом случае частными решениями ДУ являются функции у1 = е1х и у2 = e^k2x. Они образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы).

Следовательно, общее решение уравнения имеет вид: у = С1e^k1x+С2e^k2x

Случай 2. Корни k1 и k2 характеристического уравнения действительные и равные: k1=k2 (D= p^2/4 - q =0)

Вэтом случае имеем лишь одно частное решение у1 = e^k1x, наряду с у1 решением уравнения будет и у2 = хe^k1x.

Частные решения у1 = e^k1x и у2 = хe^k1x образуют фундаментальную систему решений: W(х) = e^(2k1x) ≠0. Следовательно, в этом случае общее решение ЛОДУ имеет вид у=С1e^k1x+С2хe^k2x

Случай 3. Корни k1 и k2 характеристического уравнения - комплексные: k1= α + βi, k2 = α – βi. (D= p^2/4 - q <0, α = -p/2, β = sqrt(q - p^2/4) >0)

Вэтом случае частными решениями ДУ являются функции у1 = е(α + βi)х и у2 = е(α – βi)х. Найдем два действительных частных решения уравнения. Для этого составим две линейные комбинации решений у1 и у2:

(y1+y2)/2= еαх ·cos βх = ỹ1 и (y1+y2)/2i = еαх ·sin βх = ỹ2

Общее решение уравнения запишется в виде у = еαх ·(С1cos βх + С2sin βх).

4. Интегрирование линейных неоднородных дифференциальных уравнений (ЛНДУ). Структура общего решения ЛНДУ второго порядка. Метод вариации произвольных постоянных. Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

ЛНДУ второго порядка у" + α1(х)у' + α2(х)у = f(х), где α1(х), α2(х), f(х) - заданные, непрерывные на (а; b) функции.

Уравнение у" + α1(х)у' + α2(х)у = 0 левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ, называется соответствующим ему однородным уравнением.

Общим решением у уравнения (1) является сумма его произвольного частного решения у٭ и общего решения ỹ = с1у1 + с2у2 соответствующего однородного уравнения (2), т. е. у = у٭ +

ỹ.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале (a, b) коэффициентами и правой частью

Ln(y)= ;

равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения

Ln(y) = ;

и частного решения неоднородного уравнения (1): yон(x) = yоо(x) + yчн(x) = (C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x)) + yчн(x).

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) — метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения без нахождения частного решения.

Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z'(t) + a0(t)z(t) = f(t)

Метод состоит в замене произвольных постоянных ck в общем решении z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ... + cnzn(t)

соответствующего однородного уравнения

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z'(t) + a0(t)z(t) = 0

на вспомогательные функции ck(t), производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе

Определителем системы (1) служит вронскиан функций z1,z2,...,zn, что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно .

Если — первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция

является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам.

5. Системы дифференциальных уравнений. Интегрирование нормальных систем. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Системой дифференциальных уравнений называется совокупность уравнений, в каждое из которых входят независимая переменная, искомые функции и их производные.

Всегда предполагается, что число уравнений равно числу неизвестных функций. Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешённых относительно производной:

y/ =f(x,y,y,...,y); 1112ny2/ = f(x,y1,y2,...,yn);................................

y/ =f(x,y,y,...,y),n12n

где х – независимая переменная, y1(x), y2 (x), .... , yn (x) − неизвестные функции.

Решением системы дифференциальных уравнений называется совокупность функций y1(x), y2(x),....,yn(x), удовлетворяющих каждому уравнению этой системы.

Частным решением СДУ называется решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям: y1(x0) = y10, y2(x0) = y20,...,yn(x0) = yn0 , где y10 , y20 , ... , yn0 − заданные постоянные числа.

Теорема 1 о связи дифференциального уравнения n-го порядка с нормальной СДУ Одно дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешённое относительно старшей производной: y(n) = f (x, y, y/ , y// ,..., y(n−1) ), всегда можно свести к нормальной системе дифференциальных уравнений.

Метод выделения интегрируемых комбинаций Получают из системы такие уравнения, которые можно проинтегрировать и найти первый

интеграл системы. Если найдены n независимых первых интегралов НСДУ, то их совокупность дает общий интеграл этой системы.

Для выделения интегрируемых комбинаций из НСДУ её записывают в так называемой симметрической форме:

dy1/f1(x, y1, y2 ,..., yn ) = dy2/f2 (x, y1, y2 ,..., yn ) =...= dyn/fn (x, y1, y2 ,..., yn ) = dx 1

и используют следующее свойство равных дробей: если u1/v1 =u2/v2 =…=un/vn =γ, то при любых α1 ,α2 ,...,αn имеет место соотношение

α1u1 +α2u2 +…+αnun / α1v1 +α2v2 +...+αnvn =γ ( ).

Значения α1 ,α2 ,...,αn подбираются таким образом, чтобы числитель в

( ) был полным дифференциалом знаменателя или же числитель и знаменатель были равны нулю.

6. Ряды Фурье. Периодические функции. Тригонометрический ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье 2piпериодических функций. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.

Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье сходится к функции f(x) во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.

Тригонометрический ряд Фурье — представление произвольной функции f с периодом в виде ряда

или с использованием комплексной записи, в виде ряда:

.

Теорема (необходимое условие разложения функции в тригонометрический ряд) Если периодическая функция f(x) с периодом 2π, кусочно-непрерывная на [-π; π] разлагается в тригонометрический ряд, т.е.

,

то это разложение единственно и коэффициенты тригонометрического ряда находятся по формулам:

Заметим, что областью сходимости ряда Фурье к порождающей его функции, является область непрерывности функции f(x).

При вычислении коэффициентов Фурье полезно помнить, что sin0 = 0, sin nπ =0, cos0 = 1, cos nπ = (-1)п.

Ряды Фурье для чётных и нечётных функций с периодом T = 2π

Если функция f(x) является чётной, то есть f(–x) = f(x), то её график симметричен относительно оси ординат и

,

тогда формулы (1.3) упрощаются. Действительно, подынтегральная функция является нечётной, иbn = 0 как интеграл от нечётной функции в симметричных пределах, а коэффициент an будет равен

, (1.4)

так как подынтегральная функция является чётной.

Таким образом, ряд Фурье для чётной функции, удовлетворяющей условиям Дирихле, не содержит синусов и имеет вид

, (1.5)

причëм

(1.6)

Если функция f(x) является нечётной, то есть f(–x) = –f(x), то её график симметричен

относительно начала координат. Тогда a0 = 0, и так как функция является нечётной, тоan = 0 как интеграл от нечётной функции в симметричных пределах, а коэффициент bn будет

(1.7)

Поэтому ряд Фурье для нечётной функции, удовлетворяющей условиям Дирихле, содержит только синусы и имеет вид

, (1.8)

причём

(1.9)

1.3. Ряд Фурье для функций с произвольным периодом T = 2l

Если f(x) – периодическая функция с периодом T = 2l, удовлетворяющая условиям Дирихле, то, выполняя замену переменной по формуле , получим функцию переменнойt с

периодом 2π. Её можно разложить в ряд Фурье на отрезке Возвращаясь далее к старой переменной, получим разложение функцииf(x) с произвольным периодом T = 2l в ряд Фурье вида

, (1.10)

где

,

, (1.11)

.

Аналогично (1.5–1.6) и (1.8–1.9) получим ряд Фурье для чётной функции с периодом T = 2l:

, (1.12)

(1.13)

и ряд Фурье для нечётной функции с периодом T = 2l:

(1.14)

7. Интеграл Фурье.