Math

8. Экспоненциальная форма интеграла Фурье.

Данная форма представления ряда Фурье является, пожалуй, наиболее употребимой в радиотехнике. Она получается из вещественной формы представлением косинуса в виде полусуммы комплексных экспонент (такое представление вытекает из формулы Эйлера ejx = cos x + j sin x):

cos x = ½ (ejx + e-jx).

Применив данное преобразование к вещественной форме ряда Фурье, получим суммы комплексных экспонент с положительными и отрицательными показателями:

А теперь будем трактовать экспоненты со знаком «минус» в показателе как члены ряда с отрицательными номерами. В рамках этого же общего подхода постоянное слагаемое а0/2 станет членом ряда с нулевым номером. В результате получится комплексная форма записи ряда Фурье:

. (1.8)

Комплексные коэффициенты ряда связаны с амплитудами Ак и фазами φk фигурирующими в вещественной форме записи ряда Фурье (1.7), следующими несложными соотношениями:

,

, .

Несложно выглядят и формулы связи с коэффициентами ак и bk синусно-косинусной формы ряда Фурье (1.6):

,

, .

Отсюда сразу же следует и формула непосредственного расчета коэффициентов Ск ряда Фурье в комплексной форме:

. (1.9)

Если s(t) является четной функцией, коэффициенты ряда Ск будут чисто вещественными-, а если s(t) — функция нечетная, коэффициенты ряда окажутся чисто мнимыми. Совокупность амплитуд гармоник ряда Фурье часто называют амплитудным спектром, а совокупность их фаз — фазовым спектром. Эти понятия не следует путать с амплитудно- и фазочастотными характеристиками, которые относятся не к сигналам, а к цепям.

Если анализируемый сигнал s(t) является вещественным, то его амплитудный и фазовый спектры обладают симметрией:

, , .

9. Преобразование Фурье (экспоненциальная форма).

Совокупность операций, позволяющих по заданной функции f(t) находить соответствующую ей спектральную характеристику F(iω) называется преобразованием Фурье:

Символически формулу (1)будем записывать в виде

Интеграл в правой части (1) как и ранее понимается в смысле главного значения, т.е.

Равенство (1) устанавливает связь между функцией f(t), аргументом которой служит t, и ей соответствующей комплексной функцией F(iω), имеющей в качестве аргумента частоту ω . Формула интеграла Фурье

позволяет от известной функции F(iω) определить соответствующую ей функцию f(t). На этом основании формулу (3) называют обратным преобразованием Фурье. Символически будем записывать

Вряде задач автоматического регулирования функция f(t) характеризует процесс, имеющий место лишь начиная с некоторого момента времени t , который можно принять за нулевой.

Вэтом случае f(t) ≡0 при t< 0 (1) принимает вид

Преобразование (5) называется прямым односторонним преобразованием Фурье .Обратное преобразование Фурье, соответствующее прямому одностороннему преобразованию, остается двусторонним по переменной ω и дается равенством

При t=0, значение правой части (6) равно ;

при t < 0 , f(t) ≡0

10. Косинус- и синус-преобразования Фурье.

Синус-преобразование Фурье или функции равно

,

где

— время,

— частота колебаний.

Функция нечётна по , то есть

для любого .

Косинус-преобразование Фурье или функции равно

где

— время,

— частота колебаний.

Функция чётна по , то есть

для любого .

11. Свойства преобразования Фурье.

12. Формула о свёртке для нахождения первообразной для произведения двух Фурьепреобразований, первообразные каждой из которых известны. Приложение преобразования Фурье к решению линейных дифференциальных уравнений.

13. Приложение преобразования Фурье к решению линейных дифференциальных уравнений.

14. Применение преобразования Фурье к решению задачи Коши для уравнения теплопроводности в неограниченном стержне.

15. Применение преобразования Фурье к решению задачи Коши для уравнения теплопроводности в полуограниченном стержне (с граничным условием первого рода).