ДДЗ отчет

Министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ

(МТУСИ)

Факультет "Радио и телевидение"

Кафедра " Радиотехнические системы "

Долгосрочное домашнее задание

по дисциплине " Теория вероятности и математическая статистика "

Вариант 12

Выполнили

Проверил ________________________________________ К. Н. Панков

Москва 2024

1. Описательная статистика.

Случайные величины и распределены по нормальному закону и соответственно. Случайная величина имеет равномерное распределение . Случайная величина – дискретна и имеет распределение Пуассона.

1. Выдвижение предположений

Посмотрев выборки, можно сделать предположение, что v121, v122 и v124 соответствуют случайным величинам X и Y, которые распределены по нормальному закону, потому что в данных массивах выделяется среднее значение (для выборки v121 и v122 это примерно 4, а для выборки v124 примерно 2), которое встречается чаще всего и чем сильнее элементы выборки отличаются от этого среднего, тем реже они встречается.

Выборка v123 соответствует распределению Пуассона дискретной случайной величины D, так как она состоит из натуральных чисел.

2. Анализ гистограмм частот

Число карманов: . Число карманов будет равно 9.

Рисунок 1 – Гистограмма частот для выборки v121

Рисунок 2 – Гистограмма выборки v122

Рисунок 3 – Гистограмма выборки v123

Рисунок 4 – Гистограмма выборки v124

Изучив гистограммы частот, можно заключить, что выборки v122 и v124 обладают наибольшей симметрией и содержат выбросы, так как в их гистограммах есть столбцы с низкими частотами. Выборка v123 характеризуется наибольшим разбросом и асимметрией.

Гистограмма выборки v121 показывает равномерное распределение с частотами от 20 до 30, указывая на случайную величину Z.

Выборки v122 и v124 соответствуют нормальному распределению случайных величин X и Y из-за выраженных пиков и центральной концентрации значений.

Выборка v123 соответствует распределению Пуассона для случайной величины D из-за ее асимметричной гистограммы частот.

3. Вычисление основных выборочных характеристик

4. По результатам пп. 1-2 определить, какие массивы соответствуют величинам с нормальным, равномерным и Пуассоновским распределением.

Выборка v121 соответствует равномерному распределению, так как ее значение коэффициента асимметрии равно 0,00987848 , что характерно нормальному распределению, и коэффициент эксцесса равен -1.193054, . Столбцы гистограммы частот приблизительно равны по высоте.

Выборки v122 и v124 распределены по нормальному закону так как их коэффициенты асимметрии и эксцесса приблизительно равны 0, что соответствует нормальному закону распределения и гистограммы частот данных выборок имеют пиковые формы.

Выборка v123 соответствует распределению Пуассона, так как она имеет наибольший коэффициент асимметрии, гистограмма асимметрична

2. Оценивание параметров.

1. Несмещенные точечные оценки

Выборка v121 соответствует случайной величине Z, имеющей равномерное распределение . Точечные оценки:

Согласно предположению, выборки v122 и v124 соответствуют случайным величинам X и Y, которые распределены по нормальному закону и соответственно. Получим их точечные оценки:

Известно, что , следовательно является несмещенной оценкой.

Возьмем в качестве точечной оценки D = D(X) выборочную дисперсию D_в.

Выборка v123 соответствует случайной величине D, имеющей распределение Пуассона .

2. Найти доверительные оценки параметров нормальных распределений и распределения Пуассона.

Найдем доверительные оценки параметров нормальных распределений и . Как было предположено ранее данным распределениям соответствуют выборки v122 и v124.

Выберем доверительный коэффициент на уровне γ=0.95. По таблице Стьюдента . . По таблице распределения хи-квадрат и .

Тогда получим для выборки v122:

Тогда получим для выборки v124:

Найдем доверительную оценку параметра случайной величины D, распределённой по закону Пуассона (выборка v123).

Согласно таблице квантилей нормального распределения, получим

3. Проверка статистических гипотез.

Используя критерий согласия χ², проверим выдвинутые ранее предположения о виде распределения каждой выборки.

Формулировка гипотезы: H₀:данные v121 следуют равномерному распределению. : данные v121 не следуют равномерному распределению.

, следовательно на уровне значимости гипотеза, значит гипотеза H₀ отвергается: выборка v121 не следует предполагаемому равномерному распределению.

Для выборки v122 гипотеза H₀ – распределена по нормальному закону. H₁ – не распределена по нормальному закону.

, следовательно на уровне значимости гипотеза, что выборка v122 распределена по нормальному закону подтверждается.

Для выборки v124 пусть гипотеза H₀ – распределена по нормальному закону. H₁ – не распределена по нормальному закону.

, следовательно на уровне значимости гипотеза, что выборка v124 распределена по нормальному закону подтверждается.

Для выборки v123 пусть гипотеза H₀ – распределена по закону распределения Пуассона. H₁ – не распределена по закону распределения Пуассона.

, следовательно на уровне значимости гипотеза, что выборка v123 распределена по закону распределения Пуассона подтверждается.

4. Вывод

В результате проведенного анализа можно сделать следующие выводы: выборка v121 соответствует равномерному распределению, выборки v122 и v124 соответствуют нормальному распределентю, выборка v123 соответствуют распределению Пуассона.