№93
Цилиндрический бак
поставлен вертикально и имеет отверстие
в дне. Половина воды из полного бака
вытекает за 5 минут. За какое время
вытечет вся вода? (Принять, что жидкость
из сосуда вытекает со скоростью, равной
,
где g=10 м/сек2
— ускорение силы тяжести, h — высота
уровня воды над отверстием.)
Прислано: the.sentinel.ua
Примем за независимое
переменное величину времени
,
за искомую функцию — высоту воды в
сосуде в момент времени
после
начала опыта:
.
Запишем условие того, что смена высоты
уровня воды пропорциональна корню
квадратному из величины уровня воды:
Имеем дифференциальное
уравнение
.
Используя условия задачи
,
где h — высота бака. Обозначим искомое
время истечения воды как
и
запишем условие опустошения бака через
интегралы:
мин.