Курс лекций по мат. анализу I

Т. В. Родина, Е. С. Трифанова

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ – I

для напр. «Прикладная математика иинформатика»

Учебное пособие

подредакциейпроф.И.Ю.Попова

Санкт­Петербург

2010

Т.В. Родина, Е.С. Трифанова Курс лекций по математическому анализу - I (для напр. «Прикладная математика и информатика»). Учебное пособие. – СПб: СПбГУ ИТМО, 2010. –183с.

Предлагаемое пособие предназначено для студентов ЕНФ и ФИТИП специальности «Прикладная математика и информатика». В пособии представлен курс лекций по математическому анализу, читаемых для студентов этой специальности в первом семестре. Данное пособие может быть использовано студентами других специальностей, желающими углубить свои знания в области математического анализа.

Авторы выражают глубокую признательность редактору И.Ю. Попову за внимательное отношение к работе и ряд ценных замечаний.

Рекомендовано к печати Ученым советом естественнонаучного факультета, 02.03.2010, протокол №6

В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет». Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена Программа развития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «СанктПетербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики» на 2009–2018 годы.

© Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, 2010

©Т.В. Родина, Е.С. Трифанова, 2010

3.1.Множество……………………………..……………………….. 9

3.2.Подмножество. Равенство множеств…………………………. 10

§7 Понятие о метрическом пространстве………………………….. 33

7.1.Два замечательных неравенства……………………………….. 33

2.3.Связь между бесконечно малой и бесконечно большой последовательностями………………………………………………….. 56

2.4.Арифметические свойства пределов………………………….. 56

2.5. Неопределенности……………………………………………… 58

§3 Предел монотонной последовательности. Число e……………... 58

3.1.Определения…………………………………………………….. 58

3.2.Теорема Вейерштрасса…………………………………………. 59

3.3.Число e…………………………………………………………... 60

§4 Частичные пределы. Теорема Больцано-Вейерштрасса………. 61

4.1.Частичные пределы…………………………………………….. 61

4.2.Теорема Больцано-Вейерштрасса……………………………... 65

4.3.Критерий Коши…………………………………………………. 65

§5 Понятие о числовом ряде………………………………………….. 68

ГЛАВА III. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

§1 Функция одной вещественной переменной……………………... 80

1.1.Определения…………………………………………………….. 80

1.2.Сложная функция………………………………………………. 80

1.3.График функции………………………………………………... 81 1. 4. Обратная функция……………………………………………... 81

1.5.Способы задания функции……………………………………... 82

1.6.Основные свойства функций…………………………………... 85

2.4.Бесконечные пределы…………………………………………... 91

2.5.Пределы на бесконечности……………………………………. 93

2.6.Односторонние пределы……………………………………….. 94

§3 Свойства пределов функции……………………………………... 95

3.5.Арифметические свойства пределов…………………………... 98

3.6.Пределы монотонной функции………………………………... 98

3.7.Бесконечно малые функции. Критерий существования

предела……………………..…………………………………………….. 99 3.8. Критерий Коши…………………………………………………. 100

4

4.4.Непрерывность функции на множестве………………………. 106

4.5.Равномерная непрерывность…………………………………... 110

§5 Элементарные функции и их непрерывность………………….. 112

5.1.Определения……………………………………………………. 112

5.2.Исследование простейших функций………………………….. 112

5.3. Некоторые важные пределы…………………………………… 122

§6 Сравнение функций. Символы Ландау…………………………. 124

6.1.Сравнение функций…………………………………………….. 124

6.2.Эквивалентность функций……………………………………... 126

1.3.Дифференцируемость функции……………………………….. 131

1.4.Дифференциал…………………………………………………... 132

2.4.Таблица производных………………………………………….. 138

2.5.Логарифмическое дифференцирование………………………. 139

2.6.Дифференцирование функций, заданных параметрически….. 140

4.1.Экстремумы……………………………………………………... 144

4.2.Теорема Ферма………………………………………………….. 145

4.3.Теорема Ролля…………………………………………………... 145

5.1.Многочлен Тейлора…………………………………………….. 150

5.2.Формула Тейлора……………………………………………….. 151

5.3.Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора-Маклорена……………………………………………………. 153

5

§6 Правило Лопиталя…………………………………………………. 156

6.1.Неопределенность вида 00 ……………………………………... 156

6.2.Неопределенность вида ∞∞ …………………………………….. 157

§7 Исследование функций с помощью пределов и производных... 159

7.1.Исследование функции на монотонность…………………….. 159

7.2.Экстремумы функции…………………………………………... 161

7.3.Наибольшее и наименьшее значения функции………………. 164

7.4. Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба…………………… 165

7.5.Асимптоты графика функции………………………………….. 169

7.6.Исследование функции и построение графика……………….. 171

§8 Векторная функция скалярного аргумента…………………….. 176

8.1.Определения…………………………………………………….. 176

8.2.Предел и непрерывность……………………………………….. 176

8.3.Производная и дифференциал…………………………………. 178

Литература……………………………………………………………….. 180

6

ГЛАВА I. ВВЕДЕНИЕ

§1 Логическая символика

Математика оперирует предложениями, про которые мы обычно можем определенно сказать, истинны они или ложны. Такие предложения называются высказываниями. Высказывания являются объектом изучения раздела математики, который называется математической логикой. Мы не будем вдаваться в детали этого раздела, но будем использовать обозначения, которыми математическая логика пользуется.

Для краткой записи математических высказываний мы будем употреблять следующие логические символы:

1.Квантор всеобщности - , который читается как «любой», «всякий», «для любого», «для всякого».

2.Квантор существования - , который читается как «существует»,

«можно найти», «найдется».

Знак является перевернутой буквой А, а знак перевернутой Е, которые являются первыми буквами английских слов All – все и Exists – существу-

ет.

Например, запись x y x + y = 5 читается следующим образом: «для

любого x можно найти y так, что x + y = 5 ».

3.Знак следования . Если α и β два высказывания, то запись α β

будет означать: «из α следует β », «α влечет за собой β », «если α , то β », «для того чтобы было выполнено α необходимо, что выполнялось β » или «для того, чтобы выполнялось β , достаточно, чтобы было выполнено α ».

Например, запись x 6 x 2 можно прочитать следующим образом: «если x

делится на 6, то x делится на 2» или «для того, чтобы x делился на 6, необходимо, чтобы x делился на 2» или «для того, чтобы x делился на 2, достаточно, чтобы x делился на 6».

4. Знак равносильности . Запись α β означает: «α равносильно β », «из α следует β и из β следует α », «α необходимо и достаточно для выпол-

прочитать таким образом: «для того, чтобы многочлен Pn (x) делился на x − x0 ,

ние высказываний. Запись («не для любого») читается таким образом:

7

«существует объект, не обладающий требуемым свойствам», и запись

(«не существует») можно прочитать: «любой объект не обладает указанным свойством».

зыванию: «существует натуральное число n, для которого число 4n −1 со-

ставное». А высказывание n (2n +1) 4 означает: «не существует на-

турального числа n, для которого 2n +1 делится на 4», что равносильно высказыванию «для всякого натурального n число 2n +1 не делится на 4».

§2 Бином Ньютона

Приведем здесь одну важную формулу, которая является обобщением двух, хорошо известных школьных формул.

Обозначим через n! (читается n-факториал) - произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Кроме того, положим по определению, 0! =1. Биномом Ньютона называется формула

(a +b)n = Cn0an +Cn1an−1b +Cn2an−2b2 +... + Cnk an−kbk +... + Cnnbn ,

где a и b - любые вещественные числа, n - натуральное число, а коэффициенты

В школьном курсе формула бинома Ньютона приводится для n = 2 и n = 3 . Прежде чем доказывать формулу бинома Ньютона, сформулируем и дока-

жем свойства биномиальных коэффициентов:

Первые два свойства очевидно следуют из формулы для вычисления коэффициентов. Докажем третье свойство:

Теперь докажем формулу бинома Ньютона.

►Доказательство проведем методом математической индукции. База индукции. Очевидно, равенство (a +b)1 = C10a +C11b верно.

Индукционная теорема.

Пусть равенство

8

(a +b)m = Cm0 am +Cm1 am−1b +Cm2 am−2b2 +... +Cmk am−kbk +... +Cmmbm

верно при некотором натуральном m . Докажем, что будет верным равенство

(a +b)m+1 = Cm0 +1am+1 +Cm1 +1amb +Cm2 +1am−1b2 +... +Cmk +1am+1−kbk +... +Cmm++11bm+1 .

Действительно,

(a + b)m+1 =

=(a + b)m (a + b)= (Cm0 am + Cm1 am−1b + Cm2 am−2b2 +... + Cmk am−kbk +... + Cmmbm )(a + b)=

Таким образом, формула будет верна для любого натурального показателя n.◄

§3 Множества

3.1. Множество

Понятие множества – одно из основных понятий в математике, поэтому точного определения этого понятия не существует. Как все основные понятия,

оно определяется аксиоматически, но здесь мы не будем этого делать и вместо

точного определения дадим синонимы этого понятия, позволяющие понять, что это такое.

Синонимами понятия «множество» являются: совокупность, набор, а также все аналогичные слова, употребляющиеся в более конкретных ситуациях, такие как коллекция, группа, стая и т.п. Например, множество людей, служа-

щих на одном корабле – экипаж или команда, множество томов одного автора – собрание сочинений.

Один объект, входящий в данное множество, будем называть элементом этого множества. Количество элементов в множестве может быть любым.

Если в множестве нет ни одного элемента, то такое множество будем называть

пустым. Например, множество вещественных решений уравнения

x2 + 6x +10 = 0 пусто. Обозначать пустое множество будем символом . Если множества обозначать большими латинскими буквами, а элементы

множества малыми, то запись a A будет читаться как «a есть элемент множества А» или «элемент a принадлежит множеству А», а запись a A как «a не является элементом множества А» или «элемент a не принадлежит множеству А».

Если количество элементов в множестве невелико, то множество можно задать перечислением его элементов в фигурных скобках, например,

9