19. Функция распределения вероятностей случайной величины. Свойства. Определение непрерывной случайной величины.

- Функция распределения вероятностей случайной величины описывает вероятность, что случайная величина примет определенное значение или будет меньше, или равна ему.

- Свойства функции распределения включают непрерывность, монотонность, ограниченность и предельные значения.

- Непрерывная случайная величина может принимать бесконечное количество значений в заданном диапазоне, а дискретная - только конечное или счетное количество значений.

20. Плотность распределения вероятностей: определение и свойства.

- Плотность распределения вероятностей используется для описания вероятности попадания случайной величины в бесконечно малый интервал.

- Плотность распределения связана с функцией распределения производной. Интеграл плотности по интервалу дает вероятность попадания случайной величины в этот интервал.

21. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение непрерывной случайной величины.

- Математическое ожидание (среднее значение) непрерывной случайной величины X обычно обозначается как E(X) и определяется как интеграл по всем возможным значениям X, умноженным на плотность вероятности: E(X) = ∫(x * f(x)) dx, где f(x) - плотность вероятности.

- Дисперсия непрерывной случайной величины X обычно обозначается как Var(X) или σ^2 и определяется как E((X - E(X))^2): Var(X) = ∫((x - E(X))^2 * f(x)) dx.

- Среднеквадратичное отклонение непрерывной случайной величины X равно корню из ее дисперсии: σ(X) = √Var(X).

22. Равномерное распределение. Его числовые характеристики.

- Равномерное распределение описывает случайную величину, которая равновероятно принимает любое значение в заданном интервале [a, b].

- Математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины: E(X) = (a + b) / 2.

- Дисперсия равномерно распределенной случайной величины: Var(X) = (b - a)^2 / 12.

23. Показательное распределение. Его числовые характеристики.

- Показательное распределение описывает время между последовательными событиями в процессе Пуассона, где события происходят с постоянной средней интенсивностью λ.

- Математическое ожидание показательно распределенной случайной величины: E(X) = 1/λ.

- Дисперсия показательно распределенной случайной величины: Var(X) = 1/(λ^2).

24. Нормальное распределение, его числовые характеристики.

- Нормальное распределение является одним из наиболее распространенных распределений и описывает множество случайных явлений в природе.

- Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины: E(X) = μ.

- Дисперсия нормально распределенной случайной величины: Var(X) = σ^2.

- Плотность вероятности нормального распределения описывается функцией: f(x) = (1 / (σ√(2π))) * exp(-(x - μ)^2 / (2σ^2)).

25. Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал. Правило трёх сигм.

- Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины X в интервал [a, b] можно вычислить как P(a ≤ X ≤ b) = ∫(a to b) f(x) dx, где f(x) - плотность вероятности.

- Правило трёх сигм гласит, что около 68% значений нормально распределенной случайной величины находятся в пределах одного стандартного отклонения от среднего, около 95% - в пределах двух стандартных отклонений, и около 99.7% - в пределах трех стандартных отклонений.