8. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

- Формула Бернулли применяется в биномиальном распределении и вычисляет вероятность k успехов в n независимых испытаниях. Формула: P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k), где p - вероятность успеха.

- Локальная теорема Лапласа утверждает, что сумма большого числа независимых одинаково распределенных случайных величин приближается к нормальному распределению.

- Интегральная теорема Лапласа предоставляет метод аппроксимации биномиального распределения нормальным распределением.

9. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

- Закон больших чисел утверждает, что при большом числе независимых испытаний относительная частота приближается к постоянной вероятности.

10. Случайная величина. Виды случайных величин. Закон распределения вероятностей прерывной (дискретной) случайной величины.

- Случайная величина - это функция, которая присваивает численное значение каждому исходу случайного эксперимента.

- Случайные величины бывают дискретными (принимают счетное количество значений) и непрерывными (принимают бесконечное множество значений).

- Закон распределения вероятностей описывает вероятности различных значений случайной величины.

11. Математическое ожидание дискретной случайной величины: определение и свойства. Сумма и произведение случайных величин.

- Математическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной величины X определяется как сумма произведений значений X на их вероятности: E(X) = Σ(x * P(X=x)).

- Математическое ожидание обладает свойствами линейности, то есть E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y), где a и b - константы.

- Для суммы и произведения случайных величин справедливо: E(X + Y) = E(X) + E(Y) и E(XY) = E(X)E(Y) при условии независимости X и Y.

12. Дисперсия дискретной случайной величины: определение и свойства. Среднеквадратичное отклонение.

- Дисперсия случайной величины X измеряет разброс значений X вокруг ее математического ожидания и определяется как D(X) = E[(X - E(X))^2].

- Свойства дисперсии: D(aX + b) = a^2D(X), где a и b - константы.

- Среднеквадратичное отклонение случайной величины X равно корню из ее дисперсии: σ(X) = √D(X).

13. Одинаково распределённые взаимно независимые случайные величины.

- Если случайные величины X1, X2, ..., Xn независимы и имеют одинаковое распределение, то они называются одинаково распределёнными взаимно независимыми случайными величинами.

14. Начальные и центральные теоретические моменты. Смысл центральных моментов. Асимметрия и эксцесс.

- Начальные моменты определяются как E(X^n), где n - натуральное число.

- Центральные моменты определяются как E[(X - E(X))^n], где n - натуральное число. Первый центральный момент всегда равен нулю.

- Асимметрия (скос) измеряет симметрию распределения случайной величины. Если асимметрия равна нулю, распределение симметрично.

- Эксцесс измеряет остроту пика распределения. Положительный эксцесс указывает на более острый пик, отрицательный - на более плоский.

15. Биномиальное распределение. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях.

- Биномиальное распределение описывает число успехов (появлений события) в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p.

- Математическое ожидание числа появлений события в биномиальном распределении равно np.

- Дисперсия числа появлений события в биномиальном распределении равна np(1-p).

16. Распределение Пуассона. Простейший поток событий.

- Распределение Пуассона используется для моделирования числа событий, произошедших в фиксированном интервале времени или пространства, при условии, что события происходят редко и независимо друг от друга.

- Математическое ожидание и дисперсия в распределении Пуассона равны λ, где λ - среднее число событий в интервале.

17. Геометрическое и гипергеометрическое распределения.

- Геометрическое распределение описывает количество испытаний до первого успеха в серии независимых испытаний с вероятностью успеха p.

- Гипергеометрическое распределение описывает вероятность выбора k успехов из N объектов без возвращения из выборки при n выборках.

18. Законы больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Теорема Ляпунова.

- Законы больших чисел утверждают, что с увеличением числа испытаний относительная частота приближается к математическому ожиданию случайной величины.

- Неравенство Чебышева говорит о том, что для любой случайной величины с ограниченной дисперсией, вероятность отклонения от математического ожидания на определенное расстояние ограничена.

- Теорема Чебышева предоставляет верхнюю границу для вероятности отклонения случайной величины от математического ожидания.

- Теорема Бернулли и Теорема Ляпунова являются результатами, связанными с центральной предельной теоремой и аппроксимацией распределений.