Экзамен по Теории вероятности и математической статистики.

1. Испытание. Совместные и несовместные события. Полная группа событий. Равновозможные события. Классическое определение вероятности.

- Испытание - это случайное явление, результат которого нельзя предсказать с уверенностью. Это создание совокупности условий, в которых может произойти случайное событие

- События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в том же испытании.

- Полная группа событий - это набор событий, одно из которых обязательно произойдет.

- Равновозможные события - события, которые имеют равные шансы на возникновение.

- Классическое определение вероятности - вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

2. Основные формулы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания.

- Перестановка - это упорядоченная последовательность элементов. Формула для перестановок: P(n) = n!

- Размещение - это упорядоченный набор элементов. Формула для размещений: A(n, m) = n! / (n - m)!

- Сочетание - это неупорядоченный набор элементов. Формула для сочетаний: C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)

3. Относительная частота и статистическая вероятность. Геометрическая вероятность.

- Относительная частота - это отношение числа благоприятных исходов к числу всех проведенных испытаний.

- Статистическая вероятность - это предполагаемая вероятность, вычисленная на основе наблюдений.

- Геометрическая вероятность - вероятность, вычисленная на основе геометрических соображений.

4. Сумма событий. Вероятность суммы несовместных событий. Вероятность суммы совместных событий.

- Вероятность суммы несовместных событий - сумма вероятностей этих событий.

- Вероятность суммы совместных событий - зависит от того, как они совместны и может быть вычислена с использованием формулы условной вероятности.

5. Произведение событий. Условная вероятность. Вероятность произведения событий.

- Вероятность произведения событий - вероятность того, что оба события произойдут, равна произведению их вероятностей, если события независимы.

- Условная вероятность - вероятность события A при условии, что событие B уже произошло, обозначается как P(A | B) и вычисляется как P(A и B) / P(B).

6. Независимые события. События, независимые в совокупности. Вероятность произведения событий, независимых в совокупности. Вероятность появления хотя бы одного события.

- События называются независимыми, если наступление одного из них не зависит от наступления другого.

- События называются независимыми в совокупности, если любое подмножество этих событий также является независимым.

- Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

- Вероятность появления хотя бы одного события можно вычислить с использованием формулы комплементарности: P(хотя бы одно) = 1 - P(ни одного).

7. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

- Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность события A как сумму вероятностей A при условии различных событий B, взвешенных их вероятностями P(B). Формула: P(A) = Σ P(A | B) * P(B), где сумма берется по всем возможным B.

- Формула Байеса позволяет вычислить вероятность события B при условии, что произошло событие A: P(B | A) = (P(A | B) * P(B)) / P(A).