Болтушкин Л.С., группа 712-2, инд.задание

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра комплексной информационной безопасности электронно-

вычислительных систем (КИБЭВС)

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДАННЫХ

Отчет по индивидуальному заданию по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Студент гр. 712-2

__________ Л.С. Болтушкин

«___» __________ 2024 г.

Руководитель Доцент каф. КИБЭВС, к.т.н.

_______ __________ Ю.В. Шабля

оценка

«___» __________ 2024 г.

Томск 2024

2

Введение

Целью работы является закрепление полученных теоретических знаний в области математической статистики на примере выполнения практических задач с помощью специализированного программного обеспечения.

Задание:

1.Выбрать программное обеспечение для выполнения индивидуального задания;

2.Сформулировать исследуемый процесс, определить целевую функцию и влияющие факторы, сформировать выборку данных;

3.Выполнить проверку статистической гипотезы о виде закона распределения;

4.Провести однофакторный дисперсионный анализ;

5.Провести корреляционный и регрессионный анализ.

В качестве исследуемого процесса предлагается рассмотреть работу программы, реализующей сортировку пузырьком для массива убывающих чисел. Целевая функция (выходной параметр) – время сортировки массива.

Фактор (входной параметр) – размер массива.

Для выполнения индивидуального задания выбрана программа для работы с электронными таблицами «Microsoft Excel», так как она является мощным инструментом для работы с данными.

3

1 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Время сортировки массива принимает разные значения даже при одинаковых значениях входных параметров. Следовательно, можно принять время сортировки массива за некоторую случайную величину, которую обозначим как . Далее исследуем вид закона распределения случайной величины . Для этого с помощью исследуемой программы сформируем выборку при фиксированном значении входного параметра (размер массива

= 20 000 элементов) с многократным повторением ( = 210 раз).

Фрагмент с результатами работы программы представлен на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 – Фрагмент с результатами работы программы

Все полученные значения были перенесены в «Microsoft Exсel». Так как случайная величина Y является непрерывной, то в полученной выборке присутствует большое значение различных значений случайной величины с малыми частотами их появления. Такую выборку невозможно исследовать на

4

принадлежность к какому-либо виду закона распределения. Поэтому сгруппируем данные выборки, распределив их на равные интервалы значений,

и посчитаем соответствующие частоты попадания в каждый интервал.

Количество интервалов определяется по правилу Стёрджеса:

= 1 + log2 ,

где – объем выборки. Тогда для исследуемой выборки получаем

= 1 + log2 210 = 8.

Полученное статистическое распределение выборки в виде интервального ряда представлено на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2 – Статистическое распределение выборки

Далее на основе полученного статистического распределения выборки была построена гистограмма частот (рисунок 1.3).

Рисунок 1.3 – Гистограмма частот

5

Исходя из графического представления полученной гистограммы частот, можно сделать следующие выводы о возможном законе распределения случайной величины : гистограмма иллюстрирует , что значения распределены неравномерно. Большая часть данных сосредоточена в начальных интервалах и заметен перекос влево относительно середины диапазона. Это может указывать на логнормальное распределение или другое асимметричное распределение.

Далее проверим статистическую гипотезу о виде закона распределения по критерию Пирсона. В качестве проверяемых законов распределения рассмотрим равномерное и нормальное распределения.

Непрерывная случайная величина , распределенная по равномерному закону, определяется двумя параметрами ( = 2) и имеет следующие функцию плотности распределения вероятностей и функцию распределения вероятностей:

=1 ′

6

Определим критическое значение критерия Пирсона при уровне

значимости = 0,05 по формуле

кр = 2( ; − − 1) = 2(0,05; 8 − 2 − 1) = 2(0,05; 5) = 11,07.

На рисунке 1.4 представлены подробности промежуточных вычислений.

Рисунок 1.4 – Расчеты для равномерного закона распределения

Можно сделать вывод, что Кнабл>Ккр, поэтому нулевую гипотезу о равномерном распределении мы отвергаем.

Непрерывная случайная величина , распределенная по нормальному закону, определяется двумя параметрами ( = 2) и имеет следующие функцию плотности распределения вероятностей и функцию распределения вероятностей:

Для получения оценок параметров и нормального распределения воспользуемся методом наибольшего правдоподобия:

7

=1 ′

Определим критическое значение критерия Пирсона при уровне значимости = 0,05 по формуле

кр = 2( ; − − 1) = 2(0,05; 8 − 2 − 1) = 2(0,05; 5) = 11,07.

На рисунке 1.5 представлены подробности промежуточных вычислений.

Рисунок 1.5 – Расчеты для нормального закона распределения

8

Вывод для нормального закона распределения будет таким же, как и в равномерном законе распределения, а именно, что Кнабл>Ккр, поэтому нулевую гипотезу о нормальном распределении мы отвергаем.

9

2 ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

Далее исследуем значимость влияния размера массива убывающих чисел на время его сортировки. Для этого с помощью исследуемой программы сформируем выборку при = 3 фиксированных значениях входного параметра (размер массива 1 = 10 000, 2 = 20 000 и 3 = 30 000

элементов) с многократным повторением ( = 10 раз). Фрагмент с результатами работы программы представлен на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 – Фрагмент с результатами работы программы

10