Atom-09
.pdf1.1.5. Собственная проводимость полупроводников
Рассмотрим полупроводник, не содержащий примесей и дефектов. Кроме этого пренебрегаем влиянием поверхностных состояний. При Т=0 К электропроводность такого проводника равна нулю, поскольку в нем нет свободных носителей заряда. Действительно, валентная зона полностью заполнена и не дает никакого вклада в проводимость, а зона проводимость пуста. ПриT 0 K появляется вероятность заброса электронов из валентной зоны в зону проводимости (рис. 1.4.).
В валентной зоне при этом образуются дырки. Ясно, что концентрация электронов n в зоне проводимости будет равна концентрации дырок p в валентной зоне (n=p).
Одновременно с процессом образования свободных носителей (генерацией) идет процесс их исчезновения (рекомбинации). Часть электронов возвращается из зоны проводимости в валентную зону и заполняет разорванные связи (дырки). При данной температуре за счет действия двух конкурирующих процессов генерации и рекомбинации в полупроводнике устанавливается некоторая равновесная концентрация носителей заряда. Так, например, при комнатной температуре концентрация свободных электронов и дырок составляет в кремнии примерно
10 см , в германии приблизительно 10 см .
UV
UW
Рис.1.4. Диаграмма собственной проводимости
21
Если к полупроводнику приложить электрическое поле +&', то в нем возникает ток, складывающийся из электронной и дырочной составляющих. Полупроводники, в которых за счет перехода некоторого количества электронов из валентной зоны в зону проводимости образуется такое же количество дырок, называют собственными. Соответственно, их проводимость, состоящую из электронной и дырочной составляющих, называют собственной проводимостью.
Приписав электронам в зоне проводимости и дыркам в валентной зоне эффективную массу, мы можем считать их свободными и воспользоваться выражением для электропроводности, полученным в модели свободных электронов Друде Так, например, электронная составляющая тока будет
|
2 |
|
|
|
|
j = ne v = |
ne τ |
E. |
(1.25) |
|
* |
|||
|
|
m |
|
|
Здесь $RX |
|
n |
|
|
- эффективная масса электрона, F - время релаксации. |
Отсюда для удельной электропроводности с дрейфом электронов получаем
|
|
σ = |
ne2τ |
(1.26) |
|
|
* |
||
|
|
|
m |
|
Часто выражения для Y |
и |
|
n |
|
записывают несколько иначе. Как и |
для металлов введем подвижность электронов, численно равную
скорости |
дрейфа |
в |
электрическом |
поле |
единичной |
|||||||
напряженности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ |
|
= |
|
v |
. |
|
(1.27) |
||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
C учетом (1.27) для Y и имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
j = neµn E, |
|
(1.28) |
|||||||
|
|
|
σ = neµn . |
|
(1.29) |
|||||||
При этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ |
|
= |
eτ |
. |
|
(1.30) |
|||
|
|
|
n |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
m |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
22
Аналогичное выражение можно написать и для дырочной составляющей. Результирующая электропроводность собственного полупроводника определяется суммой электронной и дырочной компонент
σ = enµn + epµ p ,
где Z[ – подвижность дырок. В (1.31) входят параметра полупроводника – концентрация носителей зарядов.
(1.31)
два важнейших и подвижность
Концентрация носителей. Равновесная концентрация электронов, для которых возможный интервал энергий лежит в пределах зоны проводимости, определяется выражением
Ec max |
(1.32) |
n = ∫ Nc (E ) f (E)dE, |
Ec
где ?\ + – плотность электронных состояний в зоне проводимости, т.е. число состояний в единичном интервале энергий в единице объема кристалла, ]+ – известная функция распределения Ферми – Дирака, которая определяет вероятность того, что состояние с энергией E занято электроном в соответствии со следующим выражением.
|
|
E − EF |
|
−1 |
|
f (E )= exp |
|
|
+ 1 |
(1.33) |
|
|
|||||
|
|
kT |
|
, |
где +K - энергия Ферми.
Учитывая, что для стандартной зоны проводимости E(k) имеет вид вблизи минимума
E = E + |
ħ2k 2 |
= E + |
p2 |
, |
|
2m* |
2m* |
||||
c |
c |
|
|||
|
n |
|
n |
|
для ?\ + получаем выражение
3
2m* 2 1
Nc (E ) = 4π ħ2n (E − Ec )2 .
(1.34)
(1.35)
23
Аналогичное выражение мы получим и для валентной зоны. Так для максимума можно записать
E = E − |
ħ2k 2 |
|
|
= E − |
|
p2 |
, |
|
(1.36) |
||||||||
2m* |
|
|
|
||||||||||||||
|
v |
|
|
|
|
|
v |
|
2m* |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
||
а для плотности состояния дырок имеем выражение |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2m* |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
1 |
(1.37) |
||||||||||
Nv (E )= 4π |
|
|
|
p |
|
(Ev − E)2 . |
|||||||||||
|
ħ |
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя выражение (1.35) и выражение (1.33) в (1.32), |
|||||||||||||||||
получим выражение для концентрации электронов |
|
||||||||||||||||
|
|
2m* |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
∞ |
4π |
ħ |
2n |
|
|
|
(E − Ec )2 dE |
|
|||||||||
n = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(1.38) |
||||
|
|
|
|
E − EF |
|
|
|||||||||||
E |
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
||||||||||
|
exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|
|
||
Интегрирование в (1.38) нужно провести от дна зоны E_ до её |
|||||||||||||||||
потолка. Однако, функция Ферми – |
|
Дирака при + T +K |
быстро |
спадает до нуля, и поэтому верхний предел интегрирования в (1.38) заменен на бесконечность.
Введем безразмерные переменные |
|
||||
|
E − Eс |
= ε ; |
EF − Ec |
= η. |
(1.39) |
|
|
|
|||
|
kT |
kT |
|
Величины ` и a представляют собой приведенные в единицах 1 энергию электрона в зоне проводимости и уровень Ферми, отсчитываемые от дна зоны +с. С учетом этого выражение (1.38) преобразуется к виду
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2m* 2 |
3 ∞ |
ε2 dε |
|
|
||||
n = 4π |
|
2n |
(kT)2 |
|
|
|
= NcF1/2 |
(η ). |
|
ħ |
∫0 exp(ε −η )+ 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
где величина
|
|
|
|
3 |
Nc = 2 |
|
2π m*kT 2 |
||
|
|
n |
|
|
ħ |
2 |
|||
|
|
|
|
(1.40)
(1.41)
24
получила название эффективной плотности состояний в зоне проводимости, а выражение
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
F |
η |
|
= |
2 |
|
∞ |
ε2 dε |
- |
(1.42) |
||
) |
|
|
|
∫0 |
|
|
|||||
1/2 |
( |
|
π |
|
exp(ε −η )+ 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
получило название интеграла Ферми – Дирака порядка 1⁄2. Формулу (1.40) можно записать в более удобном для расчетов виде, если в (1.41) подставить численные значения универсальных постоянных:
|
|
3 |
3 |
|
|
n = 4,82 ×1015 |
m* 2 |
(1.43) |
|||
|
n |
|
T2 F1/2 (η ). |
||
|
|||||
|
|
m |
|
|
Для равновесной концентрации дырок в валентной зоне запишем выражение, аналогичное (1.32)
Ev |
(1.44) |
p = ∫ N (E ) f p (E)dE. |
|
Ev min |
|
где ][+ - функция распределения дырок |
в валентной зоне, |
которая определяет вероятность того, что в состоянии термодинамического равновесия на уровне с энергией E отсутствует электрон, в соответствие со следующим выражением
f p (E )= 1 − f (E ) = 1 − |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
(1.45) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
E − EF |
|
|
|
EF − E |
|
||||||||||||
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
+ 1 |
|
||||||||||||
|
|
exp |
|
|
|
|
|
exp |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|||
C учетом (1.45), а также (1.37) выражение (1.44) для |
||||||||||||||||||||
концентрации дырок принимает следующий вид |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2m*p |
|
3 |
Ev |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
(Ev − E)2 dE |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
p = 4π |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
(1.46) |
|
|
2 |
|
|
|
|
EF − E |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ħ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
−∞ exp |
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нижний предел интегрирования здесь заменен на N∞. Это можно сделать, если учесть, что функция ][ + быстро спадает.
25
Используя безразмерные переменные (1.39), а также введя обозначения
E − E |
Eg |
|
; |
E − E |
|
|
; |
E |
|
− E |
|
|
|
|
. |
(1.47) |
||
c |
υ |
= |
|
= ε |
υ |
= ε |
|
|
F |
|
= η + ε |
|
+ ε |
|
||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
i |
p |
|||||||||
|
kT |
kT |
i |
|
kT |
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражение (1.46) приводим к следующему виду:
p = Nv F1/2 (−η − εi ) |
(1.48) |
где Nυ - эффективная плотность дырочных состояний в валентной зоне, имеющая вид
|
|
2π m* kT |
3 |
||
Nυ = 2 |
2 |
||||
|
|
2 |
|
(1.49) |
|
|
|
|
p |
|
|
|
H |
|
|
||
|
|
|
, |
а F1/2( 0 η 0 εi) 0 интеграл Ферми – Дирака для валентной зоны имеющий следующий вид
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
∞ |
εp |
2 dεi |
|
(1.50) |
|
F1/2 |
(−η − εi )= |
|
|
|
∫0 |
|
|
. |
|
|
|
|
exp(εp + εi + η )+ 1 |
||||||
π |
|
||||||||
|
|
|
|
|
Таким образом, исходя из выражений (1.32) и (1.48), можно сделать вывод, что для определения концентрации электронов и дырок p необходимо вычислить интегралы Ферми – Дирака (1.42), (1.50). Эти интегралы не вычисляются точно, но для них имеются приближенные выражения, справедливые для определенных областей изменения аргумента, которые значительно упрощают формулы для концентрации электронов и дырок:
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пп |
|
x |
при |
- Ґ < x < - 1 |
(1.51) |
||||||
|
|
пe |
|
||||||||||
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
F |
x |
= п |
|
|
|
|
|
при - 1< x < 5 |
(1.52) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||
1/ 2 |
( ) |
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
п |
0, 27 + e |
|
|
|
|||||||
|
|
п |
|
|
|
||||||||
|
|
п |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
п |
|
|
|
|
|
x |
2 |
при 5 < x < Ґ |
(1.53) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
п |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
п |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|||
|
|
оп3 |
|
|
|
|
|
|
26
Приближение (1.51) соответствует статистики Больцмана. Оно
справедливо при a de"fdс g N1, т.е. при +K g +с N 1 . Таким образом, если уровень Ферми лежит ниже края зоны
проводимости Ec более чем на 1 , то полупроводник описывается классической статистикой, т.е. является невырожденным. Если +K лежит выше +с более чем на 51 , то полупроводник полностью вырожден. Аппроксимация (1.52), справедливая для случая +с N 51 g +K gg +с 51 , пригодна для описания полупроводников с промежуточными (от невырожденных к полностью вырожденным) свойствами.
Используя приближения (1.51) и учитывая (1.43), находим концентрацию электронов в невырожденном собственном полупроводнике:
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
m* 2 |
|
|
E − E |
F |
|
(1.54) |
|||
n = 4,82 |
×10 |
|
n |
|
T 2 |
exp |
− |
c |
|
||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
m |
|
|
|
kT |
|
, |
|
Температурная зависимость которой, в основном, определяется экспоненциальной составляющей.
Для полностью вырожденного полупроводника из (1.43) с учетом (1.51) и (1.53) получаем выражение для концентрации электронов
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
8π |
2mn* |
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
EF − Ec 2 |
|
2 |
|
|
|
(1.55) |
|||||||
n = |
|
|
|
N |
|
|
|
= |
|
|
|
(E |
|
−E ) |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
F |
, |
|||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
3 π |
|
|
|
3 |
|
c |
|
||||||||
|
|
|
kT |
|
|
|
m |
|
|
|
|
которое отражает отсутствие температурной зависимости.
Из (1.51) - (1.53) легко получить приближенное выражение для F1/2 ( 0 η 0 εi)
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
- h- |
|
при- |
Ґ |
< - h - e < - 1 |
|
(1.56) |
||||||
|
|
|
пe |
ei |
|
||||||||||||
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.57) |
|
F |
(- h - |
e )= н |
|
|
|
|
|
|
|
|
при- 1< - h - |
e < 5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
- h- |
ei |
||||||||||
1/2 |
|
i |
п |
0, 27 + e |
|
|
|
i |
|
|
|||||||
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.58) |
||
|
|
|
|
|
|
- h - |
e |
) |
при5 < - h - |
e |
< Ґ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
i |
|
i |
|
|
||||
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
п3 |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При+K T +i 1 полупроводник |
является |
невырожденным, а |
|||||||||||||||
при +K gg +i N 51 – полностью вырожденным. |
|
27
Принимая во внимание (1.56) и (1.58), из (1.48) получаем для концентрации дырок в невырожденном полупроводнике следующее выражение
4,82 1015 m* p = × p
m
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
exp |
|
|
EF − Eυ |
|
|
T 2 |
− |
||||
|
|
|||||
|
|
|
|
kT |
||
|
|
|
|
|
|
(1.59) |
|
|
|
|
Для вырожденного полупроводника концентрация определяется выражением:
|
4 |
|
Eυ |
− EF |
3 |
8π |
2 p |
3 |
|
||||
|
|
2 |
2 |
(E υ −EF ) |
|||||||||
p = |
|
|
|
Nυ |
|
|
|
= |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 π |
|
||||||||||||
|
|
|
kT |
|
|
m |
|
|
дырок
(1.60)
Полученные выражения для n и p позволяют вычислять концентрацию электронов и дырок, если известно положение уровня Ферми. Поскольку положение уровня Ферми
определяется условием |
электронейтральности |
собственного |
полупроводника, его можно найти, решив уравнение n=p или |
||
Nc |
F1/2 (η ) = Nυ F1/2 (−η − ε i ) |
(1.61) |
Для невырожденного полупроводника (1.61) принимает вид
Nce |
= Nυ e |
−η −εi |
|
(1.62) |
η |
|
, |
|
|
|
|
|
|
Из которого легко найти энергию Ферми EF :
E = |
Ec + Eυ |
+ |
kT |
ln |
Nυ |
. |
(1.63) |
2 |
|
|
|||||
F |
2 |
|
Nc |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
или с учетом выражений (1.41) и (1.49) для Nν и Nc выражение (1.63) преобразуется в следующий вид:
|
|
|
m*p |
|
3 |
|
|
|
E + E |
4 |
(1.64) |
||||
EF = |
c |
υ |
+ kT ln |
|
|
. |
|
|
2 |
* |
|||||
|
|
m |
|
|
|
||
|
|
|
|
n |
|
|
|
28
Если $[X $RX , то положение уровня Ферми в собственном полупроводнике на зависит от температуры и он лежит в середине запрещенной зоны. При $[X j $RX +K расположен в центре запрещенной зоны только для T=0 К. С повышением температуры он линейно смещается к той зоне, в которой меньше эффективная масса носителей, что иллюстрируется на рис 1.5.
U |
|
|
|
|
|
|
|
UV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lmX g lnX |
|
|
|
|
|
Uk |
|
|
|
|
X |
X |
|
|
|
lm |
ln |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
lnX g lmX |
|
|
|
|
|
UW |
|
|
|
|
|
|
0 |
T |
Рис.1.5. Зависимость уровня Ферми от температуры в собственном полупроводнике
Учитывая, что в собственном полупроводнике 4 = 4 , определим собственную концентрацию носителей заряда:
1 |
1 |
|
|
E − E |
|
(1.65) |
|
|
|
|
|||||
ni = (n p)2 |
= (Nc Nυ )2 |
exp |
− |
c |
υ |
|
|
2kT |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
или с учетом выражений для Nc и Nυ:
|
|
|
|
|
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2π k 2 |
|
Eg |
(1.66) |
|||||||
|
|
* * |
|
|
||||||||
ni |
= 2 |
|
|
2 |
|
(mn mp )4 T 2 |
exp |
− |
|
|
||
|
|
|||||||||||
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
2kT |
|
29
Концентрация носителей заряда (электронов и дырок) в невырожденном собственном полупроводнике оказалась не зависящей от положения уровня Ферми. Она увеличивается с температурой по экспоненциальному закону с энергией активации, равной половине ширины запрещенной зоны.
Температурная зависимость концентрации собственных носителей, построенная в координатах C4 4 от f, представляет собой практически прямую линию:
ni |
= const − |
3 ln |
1 |
|
− |
Eg |
(1.67) |
|
|
2kT |
|||||||
|
|
2 |
T |
|
|
Поскольку функцией ln vfw можно пренебречь по сравнению с членом, пропорциональным vfw (рис. 1.6.).
rm ms
q
0 |
o⁄p |
Рис.1.6. Зависимость концентрации носителей в собственном полупроводнике в координатах C4 4 от 1⁄
Тангенс угла наклона этой прямой определяется запрещенной зоны Eg в соответствии с выражением
tg (ϕ ) = − Eg 2k
шириной
(1.68)
Анализ (1.67) показывает, что для определения Eg можно использовать экспериментальную зависимость C4 4 от 1/T.
30