Литература / Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. В. Е. Гмурман. 2004

где (3=а/2; г^р находят по таблице функции Лапласа с помощью равенства Ф(гкр)==(1—а)/2; знак [а\ означает целую часть числа а.

В остальном правило 1, приведенное в п. А, сохраняется.

2. При конкурирующих гипотезах Fi (х) < ^2 W и Fi {х) > ^2 (х)

631. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об однородности двух выборок объемов: 1X^ = 40 и Aij = 50 при конкурирующей гипотезе Н^: F^ {х) Ф F^ (х), если известно, что в общем вариационном ряду, состав­ ленном из вариант обеих выборок, сумма порядковых номеров вариант первой выборки и^набл== ^800.

Ф (гкр) =(1 —а)/2 = (1 —0,05)/2 =0.475.

получим 0У„ижн.кр=1578.

Найдем верхнюю критическую точку: ^верхн кр = (^1 + ^2+ О ^i—

— г1Униж.1.кр=(40+50+1).40—1578=2062. Так как а'„„жн.кр< и^иабл< < ^верх11.кр( J578 < 1800 < 2062), то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу об однородности выборок.

632. При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу об однородности двух выборок объемов: п^ == 40 и «2 = 60 при конкурирующей гипотезе Н{, F^ {х)фР^{х)^ если известно, что в общем вариационном ряду, состав­ ленном из вариант обеих выборок, сумма порядковых номеров вариант первой выборки и^набл = 3020.

633. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об однородности двух выборок объемов ni = 25 и Па = 30 при конкурирующей гипотезе Н^. F^{x)^^F^(x)\

250

§ 16. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона

А. Эмпирическое распределение задано в виде последовательно­ сти равноотстоящих вариант и соответствующих им частот. Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности рав­ ноотстоящих вариант и соответствующих им частот:

мер методом произведений или сумм, выборочную среднюю х^ и вы­ борочное среднее квадратическое отклонение Од.

2. Вычислить теоретические частоты nh , .

где п—объем выборки (сумма всех частот), к-^-шаг (разность между двумя соседними вариантами),

б) по таблице критических точек распределения х^, по задан­ ному уровню значимости а и числу степеней свободы k^=^s—3^(s — число групп выборки) находят критическую точку Хкр (а; k) право­ сторонней критической области.

Если Хнабл < Хкр — нет оснований отвергнуть гипотезу о нор­ мальном распределении генеральной совокупности. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо (случайно), Если Хнабл > Хкр—гипотезу отвергают. Другими сло­ вами, эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.

251

634. Почему при проверке с помсщью критерия Пир­ сона гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности число степеней свободы находят по фор­ муле k = s — 3?

635. Используя критерий Пирсона, при уровне зна­ чимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нор­ мальном распределении генеральной совокупности X с эмпирическим распределением выборки объема /i==200;

Xi 5 7 9 11 13 15 17 19 21 tii 15 26 25 30 26 21 24 20 13

252

Из табл. 18 находим Хнабл = 22,2.

б) По таблице критических точек распреде«1ения х^ (^м- прило­ жение 5), по уровню значимости а = 0,05 и числу степеней свободы fe--=s—3 = 9—3 = 6 находим критическую точку правосторонней кри­ тической области

Хкр(0,05; 6) =12,6.

Так как Хнабл > Хкр — гипотезу о нормальном распределении ге­ неральной совокупности отвергаем. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.

636. Используя критерий Пирсона, при уровне зна­ чимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нор­ мальном распределении генеральной совокупности X с эмпирическим распредеаением выборки объема п = 200:

Xi 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3 п,. 6 9 26 25 30 26 21 24 20 8 5

637. Используя критерий Пирсона, при уровне зна­ чимости 0,01 установить, с*1учайно или значимо расхож­ дение между эмпирическими частотами п,- и теоретическими частотами п\, которые вычислены, исходя из гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности X:

253

По таблице критических точек распределения у^ (см. приложе­ ние 5), по уровню значимости 0,01 и числу степеней свободы Аг = 5—

— 3 = 7—3 = 4 находим критическую точку правосторонней крити­ ческой области Хкр(0,01; 4)= 13,3.

Так как Хнабл < Хкр—нет оснований отвергнуть гипотезу о нор­ мальном распределении генеральной совокупности. Другими сло­ вами, расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами незначимо (случайно).

638. Используя критерий Пирсона, при уровне зна­ чимости 0,05 установить, случайно или значимо расхож­ дение между эмпирическими частотами/г^ и теоретическими частотами п\, которые вычислены исходя из гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности X:

Б. Эмпирическое распределение задано в виде последовательно­ сти интервалов одинаковой длины и COOTBCTCIвующих им частот. Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности интервалов (дс/, JC/+I) и соответствующих им частот л/ (п/—сумма частот, которые попали в i^•й интервал):

254

правило 2. Для того чтобы при уровне значимости а проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, надо:

1. Вычислить, например методом произведений, выборочную среднюю 1с и выборочное среднее квадратическое отклонение ав, при­ чем в качестве вариант х* принимают среднее арифметическое кон­ цов интервала:

интервалов выборки) находят критическую точку правосторонней критической области Хкр (а*. ^)»

Если Хнабл < Хкр — «^^ оснований отвергнуть гипотезу о нор­ мальном распределении генеральной совокупности. Если Хпабл > Хкр— гипотезу отвергают.

З а м е ч а н и е 2. Интервалы, содержащие малочисленные эмпи­ рические частоты («/ < 5), следует объединить, а частоты этих интер­ валов сложить. Если производилось объединение интервалов, то при определении числа степеней свободы по формуле /f = s — 3 следует в качестве s принять число интервалов, оставшихся после объеди­ нения интервалов.

639. Используя критерий Пирсона, при уровне зна­ чимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нор­ мальном распределении генеральной совокупности X с эмпирическим распределением выборки объема п=100, приведенным в табл. 20.

Р е ш е н и е 1. Вычислим выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение методом произведений. Для этого перейдем от заданного интервального распределения к распределе­ нию равноотстоящих вариант, приняв в качестве варианты х* сред-

255

Т а б л и ц а 20

нее арифметическое концов интервала: JC*=Cv, + jr| + i)/2. В итоге по­ лучим распределение:

Выполнив выкладки по методу произведении, найдем выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение: л* =20,7,

256

257

Так как Хнабл > Хкр—отвергаем гипотезу о нормальном распре­ делении генеральной совокупности X; другими словами, эмпириче­ ские и теоретические частоты различаются значимо. Это означает, что данные наблюдений не согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

640. Используя критерий Пирсона, при уровне зна­ чимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нор­ мальном распределении генеральной совокупности X с заданным эмпирическим распределением.

а)

п-ЗОО

258

в)

двух и последних двух интервалов, а также сами интервалы.

§17. Графическая проверка гипотезы

онормальном распределении генеральной совокупности.

Метод спрямленных диаграмм

А. Сгруппированные данные. Пусть эмпирическое распределение выборки из генеральной совокупности X задано в виде последова­ тельности интервалов (JCQ, Х^)^ (JCI, X2)t .*., (Xk-i*-Xk) и соответст­ вующих им частот /1/ (П|—число вариант» попавших в i-й интервал). Требуется графически проверить гипотезу о нормальном распреде­ лении X.

Предварительно введем определение р-квантили случайной вели­ чины X, Если задана вероятность р, то р-квантилый (квантилем) X

259