Литература / Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. В. Е. Гмурман. 2004

-jp—=— If найдем

Сравнивая (Ф) И (•«)» окончательно получим /? . (/t, tt)^R . (/s» /i).

see. Известная корреляционная функция /^^^(т) ста­ ционарной функции X(t). Найти взаимные корреляцион­ ные функции случайной функции Х(/) и ее второй про­ изводной.

У к а з а н и е . Использовать задачу 807.

8в9. Задана корреляционная функция

Р е ш е н и е . Искомая корреляционная функция (§ 2, теорема 2)

^у ^'*' ' 1^ — *д ^^^"^ *i ^'^^^'^жк ^^^ + ''kjf ^^^* ^^®Р^ слагаемое равно

функция аргумента т: Лу(т) = Л;^(т)—*^(т).

871. Найти корреляционную функцию случайной функ­ ции Y(t)^X(t) + X'(i), зная корреляционную функцию Л^(т)«•€••*• стационарной функции X(t).

У к а з а н и е . Использовать задачу 870,

872. Известна корреляционная функция стационарной случайной функции X (t). Найти корреляционную функ­ цию случайной функции К(/), если: а) Y(t) = X(t) +

873* Известна корреляционная функция ^х('^)=^^*''^'х хГ1Ч-|т^| + (1/3)т*] стационарной случайной функции xXt). Найти корреляционную функцию случайной функ*

ОНИ Y{t)^X(i) + X''{t).

360

874*. Известна корреляционная функция стационар­ ной случайной функции X{t). Найти корреляционную функцию случайной функции К (/) = X (О + X' (/) + X" (t).

875.Известна корреляционная функция стационарной случайной функции X (t). Найти взаимные корреляцион­ ные функции случайной функции X(t) и ее третьей про­ изводной.

876.Известна корреляционная функция стационарной случайной функции X{t). Найти взаимную корреляцион­ ную функцию первой и второй производных.

У к а з а н и е . Использовать задачи 852, 853 и 865.

§ 6. Спектральная плотность стационарной случайной функции

Взаимной спектральной плстностью двух стационарных и ста­ ционарно связанных случайных функций л (/) и К (/) называют функцию Sxy (со), определяемую преобразованием Фурье:

о»

— 00

Взаимная корреляционная функция выражается через взаимную спектральную плотность с помощью обратного преобразования Фурье;

00

— 00

361

877. Доказать, что спектральная плотность стацио­ нарной случайной функции—четная функция.

878. Доказать, что, зная спектральную плотность стационарной случайной функции X{t), можно найти

дисперсию этой функции по формуле 0^= \ Sj^(<o)d(o.

— о»

У к а з а н и е . Принять во внимание, что

0D

—00

879.Найти дисперсию стационарной случайной функ­

ции X (О» зная ее спектральную плотность Sj^ (со) =

=10/я(1+й)«).

880.Доказать, что, зная спектральную плотность дифференцируемой стационарной случайной функции,

» 0О

362

ной функции X (t). Найти дисперсию производной X' (i). 882. Доказать, что, зная спектральную плотность дважды дифференцируемой стационарной случайной функ­ ции X{t)f можно найти спектральную плотность второй

производной Х'(/) по формуле s:^(a>)»<o*5«(a>).

У к а з а н и е . Использовать задачи 863, 880.

883. Найти спектральную плотность стационарной случайной функции X (О, зная ее корреляционную функ­ цию kjg{x)^l—I т I при I т I ^ 1; корреляционная функ­ ция paBHii нулю при | т | > 1.

Р е ш е н и е . Используя формулу

т

$x{fo)^r;r•Ч\ А^ (т) COS шт dT

я учитывая, что | т | » т в интервале (О, 1), имеем

1

. 1 ^ 0 - . .

Интегрируя по частям» окончательно получим а^ (ф)«>в2а1п* (а1/2)/я»*.

Выполнив выкладки, окончательно получим а«(а>)»1/д (!+<»*).

886. Найти спектральную плотность стационарной случайной функции, зная ее корреляционную функцию ik,(T) = Z>e-«bl (а>0).

363

выразить тригонометрические функции через показательные по фор* мулам Эйлера.

890*. Найти спектральную плотность стационарной функции, зная ее корреляционную функцию kjg(x)==^

Указание . Использовать формулу

— со

364

891*. Найти спектральную плотность стационарной функции, зная ее корреляционную функцию /?^ (х) •'=^ = De-«l^i(l+ahl) (а>0).

Р е ш е н и е . Используем формулу

— 00

Подставив заданную корреляционную функцию, представим правую часть равенства в виде суммы двух интегралов:

и подставив (••) в (*), окончательно получим s^ (со) s=s2Da^M(a*-r ^')^

892. Найти спектральную плотность стационарной функции, зная ее корреляционную функцию /г^(т)=: = 100е-о-ит| (1+о,1М).

У к а з а н и е . Использовать задачу 891.

893*. Найти спектральную плотность стационарной функции, зная ее корреляционную функцию й^(т) =

=£)е-«1^1(1+а|т| + у-аЧ») (а>0).

Р е ш е н и е . П е р в ы й с п о с о б . Используем формулу

365

ним выкладки; окончательно имеем

Второй способ. Введем обозначение

— «D

Найдем проиэводяую этого интеграла по параметру ок

да

Отсюда

- » Ж = # 5 «lT|e-«i4eW.«dT.

Аналогично найдем

чатеяьно получим искомую спектральную плотность: s^(ai)a

Достоинство этого способа состоит в том» что вместо трех ни* тегралов достаточно вычислить только один, причем самый простой.

использовать второй способ решения задачи 893:

где

366

при всех значениях со не выполняется. Действительно, допустив, что заданная функция к^^{1) является корреляционной функцией некоторой стационарной случайной функции X (/), и выполнив вы­ кладки, найдем функцию s^ (ш) = 4 (1 —0}^)/п (1 + (о^); при | ш | > 1

функция Sjp((0) < 0.

Итак, заданная функция kx(i) не является корреляционной функцией никакой стационарной случайной функции. Разумеется, это заключение можно было сделать, убедившись, что не выпол­ няется хотя бы одно свойство корреляционной функции.

896.а) Доказать, что функция Л^^ (т) = 5е-2т« может быть корреляционной функцией стационарной случайной функции X{t).

б) Доказать методом от противного, что не сущест­ вует такой стационарной функции, корреляционная функ­ ция которой сохраняет постоянное значение в интер­ вале (— т^, т^), симметричном относительно начала коор­ динат, и которая равна нулю вне этого интервала.

897.Задана спектральная плотность Sj^ ((о) = 10а/я(а* +

+<!)•) (а>0) стационарной случайной функции. Найти нормированную спектральную плотность.

Указание . Использовать задачу 878.

898.Задана спектральная плотность s^ (со) ==Оа/я (а* 4-

+<«>*) (а>0) стационарной случайной функции. Найти

спектральную функцию 5^^ (со) = J 5^^ (©) dco.

—оо

899.Доказать, что спектральная плотность равна производной от спектральной функции: Sje((o)==Si ((о).

900.Доказать, что для стационарных и стационарно связанных случайных функций X (/) и К (/) справедливо

367

соотношение, связывающее взаимные спектральные плот­ ности: s,|,(—со)»5у^(а)).

Р е ш е н и е . По определению взаимной спектральной плотности,

т

—•

Следовательно,

Поскольку /'ху(т)««Гух(—т) (см. задЁчу 346)» то

•*,r(-<»)-Sf J »*(-T)e-'-'-')dT.

—•

Сделаем замену переменной интегрирования, положив т^«*—t и, следовательно» d x i s — d t . Новый нижний предел интегрирова­ ния равен 00» а верхний —оо. Таким образом»

901. Доказать, что взаимные спектральные плотности дифференцируемой стационарной случайной функции и ее производной связаны равенством $xi (<^)"'—Sjrx(<o).

У к а з а н и е . Использовать соотношение г • (т)««*-г. (т).

XX ^ ' ХХ^ '

•02. Доказать» что, зная спектральную плотность 5^(а>) дифференцируемой стационарной случайной функ­ ции Х(0# можно найти взаимную спектральную плотность функции Х(/) и ее производцой по формуле

8ji (<0) SS i(OSjg (0|).

Р е ш е н и е . По определению взаимной спектральной плотности.

368

Отсюда окончательно имеем s . (<o)^i(o*Sjg{io).

903. Известна спектральная плотность Sj^ (со) = = 2£)а»/л (to*+0^*)* дифференцируемой стационарной слу­ чайной функции X{t). НаЙ1И взаимную спектральную плотность функции Х( 0 и ее производной.

У к а з а н и е . Использовать задачу 902.

904. Найти взаимную спектральную плотность диф­ ференцируемой стационарной случайной функции X (t) и ее производной, зная корреляционную функцию

У к а з а н и е . Найти сначала взаимную корреляционную функ­ цию г . (т)=:^^^(т), а затем искомую взаимную спектральную плот­ ность. Можно поступить иначе: найти спектральную плотность (см. задачу 890), а затем умножить ее на /ш (см. задачу 902).

905. Найти корреляционную функцию стационарной случайной функции Х(/), зная ее спектральную плот­ ность s^{(o) = s^ в интервале —со^^со^со^,; вне этого интервала s^(co) = 0.

Р е ш е н и е . Используем формулу

со

kjf (т) = 2 \ Sjg (й)) COS (ОТ d <D.

о

Учитывая, что SX((D) = SO В интервале (0; <DO)« получим

(О

kjg (Т) = 2SQ V COS 0>Т d О) ^ 25g (sin fi)oT)/T.

и

906. Найти корреляционную функцию стационарной случайной функции, зная ее спектральную плотность: Sjg{(o) = Sf^ в интервалах (—2(0^, —©о) и (©о> 2со<,); вне этих интервалов s^((o) = 0.

369