3.3 Вывод

В результате выполнения работы был произведен сбор данных, методом Пирсона для каждого полученного ряда данных проверено истинное распределение и ложное. Затем проверено распределение выборок при помощи метода анаморфоз. Для анаморфозы с наибольшим спрямлением построена прямая регрессия, рассчитан коэффициент детерминации, по нему сделан вывод о распределении выборки. При помощи коэффициентов линии регрессии рассчитаны оценки параметров генеральной совокупности выборки.

4 Генерация распределений. Проверка цпт и определений хи-квадрат, фишера и t-распределения стьюдента.

4.1 Постановка задачи

1. Сгенерировать выборку нормального распределения 𝑌 ∼ 𝑁 (𝜇, 𝜎2) используя определение центральной предельной теоремы.

2. Сгенерировать выборку -распределения R ~ используя определение распределения -распределения.

3. Сгенерировать выборку распределения Фишера на основе определения.

4. Сгенерировать выборку t-распределения на основе определения.

4.2 Ход работы

Составим выборку, подчиняющуюся нормальному распределению, воспользовавшись определением центральной предельной теоремы (ЦПТ).

В одной из формулировок ЦПТ звучит следующим образом: случайная величина, составленная в виде суммы случайных величин с неодинаковым математическим ожиданием и стандартным отклонением , обладает следующим свойством (4.1):

(4.1)

где — стандартное нормальное распределение.

При этом математическое ожидание полученной случайной величины рассчитывается по формуле (4.2):

(4.2)

Стандартное отклонение полученной случайной величины рассчитывается по формуле ( ():

(4.3)

Сгенерируем k = 15 различных равномерно распределённых выборок по n = 500 элементов.

Рассчитаем математическое ожидание и стандартное отклонение случайной величины при помощи точечных оценок, приведённых в формулах (4.2- (. 29.68, 3.72.

Построим на одном графику гистограмму нашей случайной величины, поделенную на ширину интервала, а также функцию плотности нормального распределения для рассчитанных точечных оценок параметров ( для ). Полученный график представлен на Рисунке 4.1.

Рисунок 4.1 — График гистограммы полученной выборки и функции плотности нормального распределения при рассчитанных точечных оценках параметров

Проведём тест на нормальное распределение с помощью критерия 𝜒2-Пирсона.

Для этого найдём гистограмму нашей выборки и рассчитаем теоретические частоты для нормального распределения с параметрами, для которых ранее была получена точечная оценка. На Рисунке 4.2 приведён график гистограмм реального и теоретического распределений.

Рисунок 4.2 — График гистограмм выборки и теоретического распределения

Для полученных частот критерий Пирсона равен 3.56 при критическом значении 12.59. Критерий меньше критического значения, следовательно, мы принимаем нулевую гипотезу H₀ о том, что наша выборка распределена по нормальному закону с 29.68, 3.72.

Качественно определим влияние числа сгенерированных равномерно распределенных величин на итоговое качество генерации нормального распределения при помощи взятия 3 тестовых генераций при разных n и проведения теста на распределение.

Тестовая генерация при k = 1 (Таблица 4.1). Графики представлены на Рисунках 4.3-4.4.

Таблица 4.1 — Результаты расчётов для выборки, полученной при k = 1

				Вывод
10.29	0.63	123.15	12.59	Отвергается нулевая гипотеза о том, что полученная выборка распределена по нормальному закону

Рисунок 4.3 — График гистограммы выборки и функции плотности распределения для k = 1

Рисунок 4.4 — График гистограмм выборки и теоретического распределения для k = 1

Тестовая генерация при k = 2 (Таблица 4.2). Графики представлены на Рисунках 4.5-4.6.

Таблица 4.2 — Результаты расчётов для выборки, полученной при k = 2

				Вывод
-0.59	1.71	23.73	12.59	Отвергается нулевая гипотеза о том, что полученная выборка распределена по нормальному закону

Рисунок 4.5 — График гистограммы выборки и функции плотности распределения для k = 2

Рисунок 4.6 — График гистограмм выборки и теоретического распределения для k = 2

Тестовая генерация при k = 5 (Таблица 4.3). Графики представлены на Рисунках 4.7-4.8.

Таблица 4.3 — Результаты расчётов для выборки, полученной при k = 5

				Вывод
24.43	2.45	8	12.59	Принимается нулевая гипотеза о том, что полученная выборка распределена по нормальному закону

Рисунок 4.7 — График гистограммы выборки и функции плотности распределения для k = 5

Рисунок 4.8 — График гистограмм выборки и теоретического распределения для k = 5

Составим выборку, подчиняющуюся хи-квадрат распределению, воспользовавшись определением хи-квадрат распределения.

Пусть имеется n случайных величин, распределённых по нормальному закону с различными математическим ожиданием и стандартным отклонением. Тогда сумма квадратов Z-оценок этих величин R будет распределена по хи-квадрат закону (4.4):

(4.3)

Сгенерируем k = 5 различных равномерно распределённых выборок по n = 500 элементов.

Построим на одном графике гистограмму нашей случайной величины, делёную на ширину интервала, а также функцию плотности хи-квадрат распределения для степени свободы d = k. Полученный график представлен на Рисунке 4.9.

Рисунок 4.9 — График гистограммы полученной выборки и функции плотности хи-квадрат распределения со степенью свободы d = k = 5

Проведём тест на хи-квадрат распределение с помощью критерия 𝜒2-Пирсона.

На Рисунке 4.10 приведён график гистограмм реального и теоретического распределений.

Рисунок 4.10 — График гистограмм выборки и теоретического распределения

Для полученных частот критерий Пирсона равен 12.22 при критическом значении 14.07. Критерий меньше критического значения, следовательно, мы принимаем нулевую гипотезу H₀ о том, что наша выборка распределена по хи-квадрат закону со степенями свободы d = k = 5.

Сгенерируем выборку распределения Фишера на основе определения распределения Фишера.

Пусть имеется две случайных величины, распределённых по хи-квадрат закону со степенями свободы d₁ и d₂. Тогда отношение этих случайных величин, делёных на свои степени свободы, имеет распределение Фишера со степенями свободы d₁ и d₂ (4.5):

(4.4)

Сгенерируем две выборки, распределённых по хи-квадрат закону с различными степенями d₁ и d₂, из n = 700 элементов.

Построим на одном графике гистограмму нашей случайной величины, делёную на ширину интервала, а также функцию плотности распределения Фишера со степенями свободы d₁ и d₂. Полученный график представлен на Рисунке 4.11.

Рисунок 4.11 — График гистограммы полученной выборки и функции плотности распределения Фишера со степенями свободы d₁ и d₂

Проведём тест на распределение Фишера с помощью критерия 𝜒2-Пирсона.

Для этого найдём гистограмму нашей выборки и рассчитаем теоретические частоты для распределения Фишера со степенями свободы d₁ и d₂. На Рисунке 4.12 приведён график гистограмм реального и теоретического распределений.

Рисунок 4.12 — График гистограмм выборки и теоретического распределения

Для полученных частот критерий Пирсона равен 3.06 при критическом значении 14.07. Критерий меньше критического значения, следовательно, мы принимаем нулевую гипотезу H₀ о том, что наша выборка распределена по закону Фишера со степенями свободы d₁ и d₂.

Составим выборку t-распределения на основе определения.

Пусть имеются k+1 случайных величин , имеющих стандартное нормальное распределение. Тогда случайная величина, рассчитываемая по формуле (4.6), имеет распределение Стьюдента с d = k степенями свободы:

(4.5)

Функция плотности t-распределения имеет вид (4.7):

(4.6)

где B(x, y) — бета-функция.

Бета-функция рассчитывается по формуле (4.8):

(4.7)

Сгенерируем k = 5 стандартно распределённых выборок по n = 500 элементов.

Построим на одном графике гистограмму нашей случайной величины, делёную на ширину интервала, а также функцию плотности t-распределения с k степенями свободы. Полученный график представлен на Рисунке 4.13.

Рисунок 4. 13 — График гистограммы полученной выборки и функции плотности t-распределения со степенью свободы k

Проведём тест на t-распределение с помощью критерия 𝜒2-Пирсона.

Для этого найдём гистограмму нашей выборки и рассчитаем теоретические частоты для t-распределения со степенью свободы k = 5. На Рисунке 4.14 приведён график гистограмм реального и теоретического распределений.

Рисунок 4.14 — График гистограмм выборки и теоретического распределения

Для полученных частот критерий Пирсона равен 8.05 при критическом значении 14.07. Критерий меньше критического значения, следовательно, мы принимаем нулевую гипотезу H₀ о том, что наша выборка распределена по закону Стьюдента со степенью свободы k = 5.